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高一数学必修四 2.3 .2-3平面向量的正交分解和坐标表示及运算


2.3.2-2.3.3

平面向量的正交分解及坐标表示和运算

复习:平面向量基本定理 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.

什么叫平面的一组基底?

不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.
平面的基底有多少组?

无数组

引入: 1.我们知道平面内建立了直角坐标系,点A就可以 用坐标表示. 2.在直角坐标系中,平面向量是否也有类似的坐 标表示呢?

y
b

? a

A(a,b)

O

a

x

走进新课:

平面向量的正交分解定义:

F2

G

F1

把一个向量分解为两个互相垂直的向 量,叫作把向量正交分解

如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便。

在直角坐标系内,我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a, xi 由平面向量基本定理,有且只 a 有一对实数x、y,使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, o i 记作 a ? ( x, y ) ⑴
? ?

?

A
y j
?

x

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

⑴式叫做向量的坐标表示. 显然, i ? ?1,0?, j ? ?0,1?, 0 ? ?0,0?

?

注:向量的坐标唯一, 即 a ? x i ? y j ? ?x, y ?

?

?

?

如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便。

在直角坐标系内,我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a, xi 由平面向量基本定理,有且只 a 有一对实数x、y,使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, o i 记作 a ? ( x, y ) ⑴
? ? ? ? ?

?

A
y j
?

x

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.
说明:以原点O为起点作 OA ? a .设 OA ? x i ? y j , 则向量 OA的 坐标?x, y ?就是向量终点A的坐标.
?

例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y ? ? ? ? ? ? 5 b ? ?2i ? 3 j B ??? ? AB ? 2i ? 3 j 4 b ? (?2,3) ? 3 ? (2,3) a
2 1

? ? ? c ? ?2i ? ? ?3? j ? (?2, ?3)

-4 -3

-2

-1

? 1O 2 i -1
-2

? j

A 3 4

x

? c

? ? d

? ? ? ? d ? 2i ? ? ?3? j ? (2, ?3)

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

? (1)a ? (1, 2)
解:
y

? (2)b ? (?1, 2)
B(?1, 2)
y

o

. A(1, 2) ? a x

.

? b

o

x

平面向量的坐标运算
1.已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),求a+b,a-b.

解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j
即 同理可得 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两向量
相应坐标的和与差

练习.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b的 坐标.
解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);

结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两向量
相应坐标的和与差

平面向量的坐标运算
2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

O

x

结论2:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
坐标减去始点的坐标.

练习:已知A?2,3?,B?? 3,5?, 求 BA坐标.

?

??? ? 已知AB ? (1, ?2), A(2,1), 求B的坐标.

结论2:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
坐标减去始点的坐标.

平面向量的坐标运算

已知 a ? ?1,3?, 求2 a ?
分析: a ? ?1,3? ? 1? i ? 3 ? j ? 2 a ? 2 ? i ? 6 ? j ? ?2,6?
? ?

?

?

? a ? ??x, ?y ?
结论3:实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原
来的向量的相应坐标.

?

练习.已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a,3a+4b 的坐标.

结论3:实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原
来的向量的相应坐标.

对向量坐标表示的几点说明
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)有向线段表示的向量坐标等于有向线段的 终点坐标减去起点坐标;当向量的起点在原点 时,向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.

若a ? b , a ? ( x1, y1),b ? ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ),即x1 ? x2 , y1 ? y2 .

例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4), 求顶点D的坐标。
y B(-1,3)) A(-2,1)
-6 -4 -2 4 3

C(3,4)

2

D(x,y)

1

分析:

O
-1

2

4

6

x

法1:利用相等向量,即 AB ? DC . 法2:利用向量加法的平行 四边形法则 .即:
-2 -3

?

?

BD ? BA? BC

?

?

?

-4

课堂总结:

? ? ? 1.向量的坐标的概念: a ? xi ? y j ? ( x, y)
2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系;

(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ? ? ? ? (1)若a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), ? ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), ? a ? (? x1, ? y1 ) ??? ? ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), ? AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )

课堂练习:

1.若向量a ? (x ? 3, x ? 3 x ? 4)与 AB相等,
-1 其中A( 1, 2) , B(3,2), 则x ? _______

2

2. 已知向量a ? (5,2), b ? ( x 2 ? y 2 , xy), 且a ? b, 则xy ? _______ 2 3.若点O(0, 0),A( 1, 2),B( ? 1, 3),且
(2,4) OA/ ? 2OA, OB / ? 3OB则点A/的坐标为_____

点B

/

( -3,9) 向量 A 的坐标为 _______,

/

( -5,5) B 的坐标为 _____

/

4.平行四边形ABCD的对角线交于O,且 则

AD ? (3,7), AB ? (?2,1)

(?2.5,?3) OB 的坐标为_______________


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