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高中数学典型例题解析:第十章


第十章
一、知识导学

导数及其应用
§10.1 导数及其运算

1.瞬时变化率: 设函数 y ? f ( x) 在 x 0 附近有定义, 当自变量在 x ? x0 附近改变量为 ?x 时, 函数值相应地改变 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x) ,如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于一个常数 c (也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 ? ?x ?x
对值越来越小, 可以小于任意小的正数) , 那么常数 c 称为函数 f ( x) 在点 x 0 的瞬时变化率。

2.导数:当 ?x 趋近于零时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ? ”记作: ?x

当 ?x ? 0 时,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? c ,符号“ ? ” ? c 或记作 lim ? x ? 0 ?x ?x

读作 “趋近于” 。 函数在 x 0 的瞬时变化率, 通常称作 f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 并记作 f ?( x0 ) 。

3.导函数:如果 f ( x) 在开区间 (a, b) 内每一点 x 都是可导的,则称 f ( x) 在区间 (a, b) 可导。 这样,对开区间 (a, b) 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f ?( x) 。于是,在区间 (a, b) 内,

f ?( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y ? f ( x) 的导函数。记为 f ?( x) 或 y ?
(或 y ? x )。 4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差)。 2)函数积的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则

[ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3)函数的商的求导法则:设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则

1

? ? f ( x) ? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ?
? 5.复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u ? x ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的 ? ? f ?(u ) ,则复合函数 y ? f [? ( x)] 在点 x 处有导数,且 对应点 u 处有导数 y u ? ? y? x ? yu ? u x .
6.几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0(C为常数) (3) (sin x)? ? cos x (5) (ln x ) ? ? (7) (e )? ? e
x

? ? nx (2) (x )
n

n ?1

(n ? Q)

(4) (cos x)? ? ? sin x (6) (log a x)? ?
x x

1 x
x

1 log a e x

(8) (a )? ? a ln a

二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

? ? 2.运用复合函数的求导法则 y ? x ? y u ? u x ,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后, 常出现如下错误,如 (cos 2 x)? ? ? sin 2 x 实际上应是 ? 2 sin 2 x 。 (3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如

y?

1 1 4 选成 y ? , u ? v , v ? 1 ? w, w ? 3x 计算起来就复杂了。 4 u (1 ? 3x)

3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时 速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够 的重视。 4. f ?( x0 )与f ?( x)的关系

f ?( x0 ) 表示 f ( x)在x ? x0 处的导数,即 f ?( x0 ) 是函数在某一点的导数; f ?( x) 表示
函数 f ( x) 在某给定区间 (a, b) 内的导函数,此时 f ?( x) 是在 (a, b) 上 x 的函数,即 f ?( x) 是 在 (a, b) 内任一点的导数。 5.导数与连续的关系 若函数 y ? f ( x) 在 x 0 处可导,则此函数在点 x 0 处连续,但逆命题不成立,即函数
2

y ? f ( x) 在点 x 0 处连续,未必在 x 0 点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,表示曲线在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,因

此,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程可如下求得: (1)求出函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的导数,即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处 切线的斜率。 (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下, 求得切线方程为:y ? y 0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 如果曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定 义可知,切线方程为 x ? x0 . 三、经典例题导讲 [例 1]已知 y ? (1 ? cos 2 x) ,则 y ? ?
2

.

?1 2 ( x ? 1)( x ? 1) ? ?2 [例 2]已知函数 f ( x) ? ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ?2 ?
[例 3]求 y ? 2 x ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 [例 4]求证:函数 y ? x ? 的切线方程. [例 6]求抛物线 y ? x 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离. 四、典型习题导练 1.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处不可导,则过点 P( x0 , f ( x0 )) 处,曲线 y ? f ( x) 的切线 ( ) A.必不存在 B.必定存在 C.必与 x 轴垂直 D.不同于上面结论
2 2

1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 x

2. y ?

x?3 在点 x=3 处的导数是____________. x2 ? 3
3 2

3.已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值为____________.

3

4.已知 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y ? x 上的两点,则与直线 PQ 平行的曲线

2

y ? x 2 的切线方程是 _____________.
5.如果曲线 y ? x ? x ? 10 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,求切点坐标与切线
3

方程. 6.若过两抛物线 y ? x ? 2 x ? 2 和 y ? ? x ? ax ? b 的一个交点为 P 的两条切线
2 2

互相垂直.求证:抛物线 y ? ? x ? ax ? b 过定点 Q ,并求出定点 Q 的坐标.
2

§10.2 导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f ( x) 在点 x 0 附近有定义,且若对 x 0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或

f ( x) ? f ( x0 ) ),则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x 0 为极大(小)值点.
(2)求可导函数 f ( x) 极值的步骤: ①求导数 f ?( x) 。求方程 f ?( x) ? 0 的根. ②求方程 f ( x) ? 0 的根.
/

③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧 附近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 (1)设 y ? f ( x) 是定义在区间 ?a, b ? 上的函数, y ? f ( x) 在 (a, b) 内有导数,求函数

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值. ②将 y ? f ( x) 在各极值点的极值与 f (a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. (2)若函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上单调增加,则 f (a ) 为函数的最小值, f (b) 为函数的最大值; 若函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上单调递减,则 f (a ) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值.
4

二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数 f ?( x) 取值为 0 的点称为函数 f ( x) 的 驻点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数 y ?| x | 在点

x ? 0 处有极小值 f (0) =0,可是这里的 f ?(0) 根本不存在,所以点 x ? 0 不是 f ( x) 的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数 f ( x) ? x 的导数
3

f ?( x) ? 3x 2 ,在点 x ? 0 处有 f ?(0) ? 0 ,即点 x ? 0 是 f ( x) ? x 3 的驻点,但从 f ( x) 在

?? ?,??? 上为增函数可知,点 x ? 0 不是 f ( x) 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时, 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格, 这样可使函 数在各单调区间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时, 一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式, 并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) , 并且按常理分析, 此函数在这一开区间内应该有最大 (小) 值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住 这个定理很有好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较 为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤. 2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有 区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但 如果连续函数在区间 (a, b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 [例 1]已知曲线 S : y ? ?

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3
3 2

[例 2]已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. [例 3]当 x ? 0 ,证明不等式

x ? ln(1 ? x) ? x . 1? x

[例 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? [例 5]函数 f ( x) ? 3x ? 3ax ? 1, g ( x) ? f ( x) ? ax ? 5 ,其中 f ( x) 是 f ( x) 的导函数.(1)
3 ' '

对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f ( x) 的图象与直线 y =3 只
5
2

有一个公共点. [例 6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动, 桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A, 问 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ?BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 2 成反比) 四、典型习题导练 1.已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 2 ,若 x ? ?1 是 y ? f ( x) 的一个极值点,则 a 值为
3 2

( ) A.2
3

B.-2
2 2

C.

2 7

D.4 .

2.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值为 10,则 f (2) = 3.给出下列三对函数:① f ( x) ? ?

1 , g ( x) ? ? x ?1 ② f ( x) ? ax 2 (a ? 0) , g ( x ) ? x

x a

③ f ( x) ? ?( ) , g ( x) ? ? log(? x) ;其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同
x

1 3

是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导函数分别是

f ?( x)
3

, g ?( x) ?
2

.

4.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1有极大值和极小值,求 a 的取值范围. 5.已知抛物线 y ? ? x ? 2 ,过其上一点 P 引抛物线的切线 l ,使 l 与两坐标轴在第一象限 围成的三角形的面积最小,求 l 的方程. 6.设 g ( y ) ? 1 ? x ? 4 xy ? y 在 y ? ?? 1,0? 上的最大值为 f ( x) , x ? R ,
2 3 4 2

(1)求 f ( x) 的表达式;(2)求 f ( x) 的最大值. §10.3 定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1.可微:若函数 y ? f ( x) 在 x 0 的增量 ?x 可以表示为 ?x 的线性函数 A?x ( A 是常数)与 较 ?x 高阶的无穷小量之和: ?y ? A?x ? o(?x) (1),则称函数 f 在点 x 0 可微,(1)中的

A?x 称为函数 f 在点 x 0 的微分,记作 dy

x ? x0

? A?x 或 df ( x )

x ? x0

? A?x .函数 f ( x) 在点

x 0 可微的充要条件是函数 f ( x) 在 x 0 可导,这时(1)式中的 A 等于 f ?( x0 ) .若函数

y ? f ( x) 在区间 I 上每点都可微,则称 f ( x) 为 I 上的可微函数.函数 y ? f ( x) 在 I 上的微
分记作 dy ? f ?( x)?x .
6

2.微积分基本定理:如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [a, b] 上可积.则

?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) .其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数.
由于 [ F ( x) ? c]? ? f ( x) , F ( x) ? c 也是 f ( x) 的原函数,其中 c 为常数. 二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的 数学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用. 1)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者 ? 趋 近于 0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0,但有的时候为了解题的方便,我们选择 将区间等份成 n 份,这样只要 2 其中的使

b

1 ? 0 就可以了. n

2) 对每个小区间内 ? i 的选取也是任意的, 在解题中也可选取区间的左端点或是右端点. 3)求极限的时候,不是 n ? ? ,而是 ? ? 0 . 2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般 情况下选那个不带常数的。因为

?a f ( x)dx ? [F ( x) ? c] a ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) .
b b

b

3.利用定积分来求面积时,特别是位于 x 轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算, 然后求两部分的代数和. 三 、经典例题导讲 [例 1]求曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 [0,2? ] 上所围成阴影部分的面积 S. [例 2]用微积分基本定理证明

?a f ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?c
1)

b

c

b

f ( x)dx ( a ? c ? b )

[例 3]根据等式求常数 a 的值。

dx ?3 x x [例 4]某产品生产 x 个单位时的边际收入 R ?( x) ? 200 ? ( x ? 0) 100

??a

a

x 2 dx ? 18(a ? 0)

2)

?e

a

(1) (2)

求生产了 50 个单位时的总收入。 如果已生产了 100 个单位时,求再生产 100 个单位时的总收入。

[例 5]一个带电量为 Q 的电荷放在 x 轴上原点处,形成电场,求单位正电荷在电场力作用下 沿 x 轴方向从 x ? a 处移动到 x ? b 处时电场力对它所作的功。 [例 6]一质点以速度 V (t ) ? t ? t ? 6(m / s) 沿直线运动。求在时间间隔 (1,4) 上的位移。 四、典型习题导练 1. A.
31
2

?2 x dx ?
1 1 ? 3 2

(

) B. ln 3 ? ln 2 C. ln 2 ? ln 3 D.

1 1 ? 2 3
7

2.

?0

2?

cos xdx ? (
B.2

) C.-2 。 D.4

A.0 3.
1

?0 x(a ? x)dx ? 2 ,则 a ?
? 1
2 n ??

4.利用概念求极限: lim n ? 5.求下列定积分; (1)

? (n ? 1)

?

1 ( n ? 2) 2

???

? ? ( n ? n) 2 ? 1

?1

2

( x ? x ?1 )dx

(2) 2 ? cos dx ?
2

?

?

6.写出下面函数在给定区间上的总和 S n ?

? f ( xi )?x 及 S10 , S100 , S1000 的表达式
i ?1

n

f ( x) ? x 3

x ? [0,1]

8



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