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高中数学选修2-1人教A教案导学案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示


3. 1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量 的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量 平行。 重、难点 1.空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2.坐标判断两个空间向量平行 。 教学过程 1.情景创设: 平面向量可用坐标表示,空间向量能用空间直角坐标表示吗? 2.建构数学:

?? ? 如图: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 分别取与 x 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 i, j , k y z

? 作为基向量,对于空间任一向量 a ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,
? ? ? ? ? z) ,使 a ? xi ? y j ? zk ;有序实数组(x,y,z)叫做向量 a 的空间直角坐标系 O ? xyz 中的

? 坐标,记作 a =(x,y,z) 。 ??? ? 在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任意一 点 A(x,y,z) ,向量 OA 是确定的,容
易得到 ? ? ? ??? ? OA ? xi ? y j ? zk 。

??? ? ??? ? 因此,向量 OA 的坐标为 OA ? (x,y,z) 。
这就 是说,当空间向量 a 的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量 a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算,我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设 a=( a1 , a2 , a3 ) ,b=( b1 , b2 , b3 ) ,则 a+b=( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a-b=( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

? a=( ? a1 , ? a2 , ? a3 ) ? ?R 。
空间向量平行的坐标表示为 a∥b(a≠0) ? b1 ? ? a1 , b2 ? ? a2 , b3 ? ? a3 (? ?R) 。 例题分析: 例 1:已知 a=(1,-3,8) ,b=(3,10,-4) ,求 a+b,a-b,3a。 例 2:已知空间四点 A(-2,3,1) ,B(2,-5,3) ,C(10,0,10) 和 D(8,4, 9) ,求证:四边形 ABCD 是梯形。

1

例 3:求点 A(2,-3,-1)关于 xOy 平面,zOx 平面及原点 O 的对称点。 练习:见学案 小结: 作业:见作业纸

2

3.1.4 空间向量的正交分 解及其坐标表示
课前预习学案 预习目标:1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 预习内容: 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单 位正交基底,用 {i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基 底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴:

?? ?

z

?? ?

?? ?

A(x,y,z) k i x O j y

x 轴、 y 轴、 z 轴,它 们都叫
标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量

.我们称建立了一个空间直角坐 都叫坐标向量. 叫坐

标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A , 使 坐标,记作 , 有序实数组 ,x叫 ,y叫 ,

叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 ,z叫 .

提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 学习目标:1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 重点难点:空间向量的坐标表示 学习过程: 例 1 :已知 a=(1,-3,8) ,b=(3,10,-4) ,求 a+b,a-b,3a。 例 2:已知空间四点 A(-2,3,1) ,B(2,-5,3) ,C(10,0,10)和 D(8,4,9) , 求证:四边形 ABCD 是梯形。 。 当堂检测: 1 求点 A(2,-3,-1)关于 xOy 平面,zOx 平面及原点 O 的对称点 课后练习与提高: 1.一向量的终点在点 B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是 4,-4 和 7,则这向量的终点 A 的坐标是( )

3

A、(-2,3,0)

B、(-1,3,5)

C、(3,-1,2) )

D、(0,2,-2)

2.点( 1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是( A、(-2,7,1) B、(-3,7,0) C、(1,-7,0)

D、(1,2,5)

4



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