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高中数学幂函数知识点总结


高中数学幂函数知识点总结(一)

定义: 形如 y=x^a(a 为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量 的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当 a 为不同的数值时, 幂函数的定义域的不同情况如下: 如果 a 为任意实数, 则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过 这时函数的定义域还必须根[据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函 数的定义域为不等于 0 的所有实数。 当 x 为不同的数值时, 幂函数的值域的不同 情况如下:在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时,则 只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数,0 才进入函数 的值域 性质: 对于 a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果 a=p/q,q 和 p 都是整数,则 x^(p/q)=q 次根号(x 的 p 次方),如果 q 是奇数,函数的定义域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是[0, +∞)。当指数 n 是负整数时,设 a=-k,则 x=1/(x^k),显然 x≠0,函数的定义 域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点,一是有可能 作为分母而不能是 0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就 可以知道:

排除了为 0 与负数两种可能,即对于 x>0,则 a 可以是任意实数; 排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数,a 就不能是 负数。 总结起来, 就可以得到当 a 为不同的数值时, 幂函数的定义域的不同情况如 下: 如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数; 如果 a 为负数, 则 x 肯定不能为 0, 不过这时函数的定义域还必须根据 q 的 奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大 于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。 在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。 在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一 象限的各自情况. 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为单调递 减函数。 (3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时,幂函数图形上 凸。 (4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。

(5)a 大于 0,函数过(0,0);a 小于 0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。

高中数学幂函数知识点总结(二)

1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量,指数是常数,可 以为任何实数;与指数函数的形式正好相反。 2 幂函数的图像和性质比较复杂,高考只要求掌握指数为 1、2、3、-1、 ?时幂函数的图像和性质。 3 了解其它幂函数的图像和性质,主要有: ①当自变量为正数时, 幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都 是过点(1,1)的减函数,以坐标轴为渐近线,指数越小越靠近 x 轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1,1)的增函数;在 x=1 的右侧 指数越大越远离 x 轴。 ②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出: 要么是 x≥0, 要么是关于原点 对称。前者只在第一象限有图像;后者一定具有奇偶性,利用对称性可以画出二 或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。 ③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。 当指数是偶数或分子是偶 数的分数时是偶函数;否则是奇函数。 4 幂函数奇偶性的一般规律: ⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。 ⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。 ⑶指数是分母为偶数的分数时,定义域 x>0 或 x≥0,没有奇偶性。

⑷指数是分子为偶数的分数时,幂函数是偶函数。 ⑸指数是分子分母为奇数的分数时,幂函数是奇数函数。



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