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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第3章 第7节 正弦定理和余弦定理


课时作业
一、选择题 1.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cos A>cos B” 成立的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 C [a<b?A<B?cos A>cos B.] B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

π 2.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= 3 ,b=1,△ABC 的面积为 3 ,则 a 的值为 2 ( A.1 3 C. 2 B.2 D. 3 )

π 1 1 3 D [由已知得2bcsin A=2×1×c×sin 3 = 2 , 解得 c=2, π 则由余弦定理可得 a2=4+1-2×2×1×cos 3 =3?a= 3.] 3.(2014· “江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, tan A 2c 已知 a=2 3,c=2 2,1+tan B= b ,则 C= ( A.30° C.45°或 135° tan A 2c B [由 1+tan B= b 和正弦定理得 cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 1 即 sin C=2sin Ccos A,所以 cos A=2,则 A=60°. B.45° D.60° )

2 3 2 2 2 由正弦定理得sin A=sin C,则 sin C= 2 , 又 c<a,则 C<60°,故 C=45°.] 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为 ( 3 A. 2 1 C.2 C 2 B. 2 1 D.-2 [由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C, )

1 1 又 c2=2(a2+b2),得 2abcos C=2(a2+b2), a2+b2 2ab 1 即 cos C= 4ab ≥4ab=2.] 5.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 C.钝角三角形 C
2 2 2

)

B.直角三角形 D.不能确定

a2+b2-c2 [由正弦定理得 a +b <c ,所以 cos C= 2ab <0,所以 C 是钝角,故

△ABC 是钝角三角形.] tan A → +CB → )· → =3|AB →2 6.(2014· 乌鲁木齐一诊)△ABC 中,若(CA AB 5 | ,则tan B的值为 ( A.2 C. 3 B.4 D.2 3 )

B [设△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边, → +CB → )· → =3|AB →2 由(CA AB 5 | 得, → ·AB → +CB → ·AB → =3|AB →2 CA 5 |, 3 即 bccos(π-A)+accos B=5c2,

3 ∴acos B-bcos A=5c, 3 由正弦定理得 sin Acos B-cos Asin B=5sin C 3 3 =5sin(A+B)=5(sin Acos B+cos Asin B), tan A 即 sin Acos B=4cos Asin B,∴tan B=4.] 二、填空题 7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的 大小为________. 解析 由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0,

1 ∴sin A=2,∴A=30°或 A=150°. 答案 30°或 150°

8.(2014· 长春调研)△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a2-c2= 2b,且 sin B=6cos Asin C,则 b 的值为__________. 解析 由正弦定理与余弦定理可知,

b2+c2-a2 sin B=6cos Asin C 可化为 b=6· 2bc ·c, 化简可得 b2=3(b2+c2-a2), 又 a2-c2=2b 且 b≠0,得 b=3. 答案 3

1 9. (2012· 北京高考)在△ABC 中, 若 a=2, b+c=7, cos B=-4, 则 b=________. 解析 答案 ? 1? 根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×?-4?,解得 b=4. ? ? 4

三、解答题 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C =bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c.

解析

(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2.

由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 2 故 cos B= 2 ,因此 B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= 2+ 6 4 .

2+ 6 sin 60° sin A sin C 故 a=b×sin B= =1+ 3,c=b×sin B=2× = 6. sin 45° 2 11.(2014· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小; →· → 的值. (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求AB AC 解析 所以 (1)因为 3a-2bsin A=0, 3sin A-2sin Bsin A=0,

3 因为 sin A≠0,所以 sin B= 2 . π 又 B 为锐角,所以 B= 3 . π (2)由(1)可知,B= 3 .因为 b= 7.

π 根据余弦定理,得 7=a2+c2-2accos 3 , 整理,得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,得 ac=6. 又 a>c,故 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= 2bc = 4 7 = 14 ,
7 → → → → 所以AB· AC=|AB|· |AC|cos A=cbcos A=2× 7× =1. 14

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小;

3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= 4 ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 解析 (1)解法一:由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,得

(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0, sin B(2cos A-1)=0. 1 ∵0<B<π,∴sin B≠0,∴cos A=2. π ∵0<A<π,∴A= 3 . 解法二:由(2b-c)cos A-acos C=0, b2+c2-a2 a2+b2-c2 及余弦定理,得(2b-c)· 2bc -a· 2ab =0, b2+c2-a2 1 整理,得 b +c -a =bc,∴cos A= 2bc =2,
2 2 2

∵0<A<π, π ∴A= 3 . 1 3 3 (2)∵S△ABC=2bcsin A= 4 , π 3 3 1 即2bcsin 3 = 4 , ∴bc=3, ①

π ∵a2=b2+c2-2bccos A,a= 3,A= 3 , ∴b2+c2=6, 由①②得 b=c= 3, ∴△ABC 为等边三角形. ②



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