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【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.9 函数的应用配套课件 理 新人教A版


数学

R A(理)

§2.9 函数的应用
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数 模型 二次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
x 2

难点正本 疑点清源

1 . 要注意实 际问题的 自变量的 取 值 范 围,合理 确定函数 的 定 义 域.

指数函数模型 f(x)=ba +c(a, b, c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)三种函数模型的性质
函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 y=ax(a>1) 单调 递增 越来越快 逐渐表现为 与 y轴 平行 y=logax(a>1) y=xn(n>0) 单调 递增 越来越慢 渐表现为与 x轴 平行 单调递增 相对平稳 随 n 值变化 而各有不同

难点正本 疑点清源

1 . 要注意实 际问题的 自变量的 取 值 范 围,合理 确定函数 的 定 义 域.

随 x 的增大 随 x 的增大逐

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

2. 解函数应用问题的步骤(四步八字) 2.解决函数应用问题重点解决 以下问题 (1)审题:弄清题意,分清条件和 (1) 阅读理解、整理数据:通 结论,理顺数量关系,初步选择 过分析、画图、列表、归类等 数学模型; 方法, 快速弄清数据之间的关 (2)建模:将自然语言转化为数学 系,数据的单位等等; 语言,将文字语言转化为符号语 (2) 建立函数模型:关键是正 言,利用数学知识,建立相应的 确选择自变量将问题的目标 数学模型; 表示为这个变量的函数, 建立 函数的模型的过程主要是抓 (3)解模:求解数学模型,得出数 住某些量之间的相等关系列 学结论; 出函数式, 注意不要忘记考察 (4)还原:将数学问题还原为实际 函数的定义域; 问题的意义.

基础知识·自主学习
要点梳理
以上过程用框图表示如下:
难点正本 疑点清源

(3)求解函数模型: 主要是研究函 数的单调性,求函数的值域、最 大(小)值, 计算函数的特殊值等, 注意发挥函数图象的作用; (4)回答实际问题结果: 将函数问 题的结论还原成实际问题, 结果 明确表述出来.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
78℃
2 500

解析

D
B

A

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品,其生产的总 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的 函数关系式可以近似地表示为 y= x2 -48x+8 000, 已知此生产线年产 5 量最大为 210 吨. (1) 求年产量为多少吨时 , 生产每吨 产品的平均成本最低,求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万 元,那么当年产量为多少吨时,可以 获得最大利润?最大利润是多少?

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品,其生产的总 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的 函数关系式可以近似地表示为 y= x2 -48x+8 000, 已知此生产线年产 5 量最大为 210 吨. (1) 求年产量为多少吨时 , 生产每吨 产品的平均成本最低,求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万 元,那么当年产量为多少吨时,可以 获得最大利润?最大利润是多少?

(1)根据函数模型,建立函数解 析式.(2)求函数最值.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
思维启迪


【例 1】 某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品,其生产的总 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的

解析

探究提高

y (1)每吨平均成本为x(万元).

y x 8 000 x 8 000 函数关系式可以近似地表示为 y= 则 x = 5 + x - 48≥2 5· x - x2 -48x+8 000, 已知此生产线年产 5 48=32, 量最大为 210 吨. x 8 000 (1) 求年产量为多少吨时 , 生产每吨 当且仅当5= x ,即 x=200 时取 产品的平均成本最低,求最低成本; 等号. (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万 元,那么当年产量为多少吨时,可以 ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本

获得最大利润?最大利润是多少? 最低,最低为 32 万元.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 某化工厂引进一条先进生产

线生产某种化工产品,其生产的总 (2)设可获得总利润为 R(x)万元, 2 x 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的 则 R(x)=40x-y=40x- +48x- 5 2 函数关系式可以近似地表示为 y= x 8 000=- +88x-8 000 x2 5 -48x+8 000, 已知此生产线年产 5 1 =-5(x-220)2+1 680 (0≤x≤210). 量最大为 210 吨. ∵R(x)在[0,210] 上是增函数, (1) 求年产量为多少吨时 , 生产每吨 ∴x=210 时, 1 产品的平均成本最低,求最低成本; R(x)有最大值为- (210-220)2+ 5 (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万 1 680=1 660. 元,那么当年产量为多少吨时,可以 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利 获得最大利润?最大利润是多少? 润 1 660 万元.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数模型
思维启迪 解析 探究提高
二次函数是常用的函数模型, 建立二 次函数模型可以求出函数的值域或 最值.解决实际中的优化问题时,一 定要分析自变量的取值范围. 利用配 方法求最值时, 一定要注意对称轴与 给定区间的关系: 若对称轴在给定的 区间内,可在对称轴处取最值,在离 对称轴较远的端点处取另一最值; 若 对称轴不在给定的区间内, 最值都在 区间的端点处取得.

【例 1】 某化工厂引进一条先进生产 线生产某种化工产品,其生产的总 成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的 函数关系式可以近似地表示为 y= x2 -48x+8 000, 已知此生产线年产 5 量最大为 210 吨. (1) 求年产量为多少吨时 , 生产每吨 产品的平均成本最低,求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万 元,那么当年产量为多少吨时,可以 获得最大利润?最大利润是多少?

题型分类·深度剖析
变式训练 1 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台

c

)

解析 设利润为 f(x)万元,则

f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000 (0<x<240,x∈N*).
令 f(x)≥0,得 x≥150,
∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
【例 2】诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励 给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人 类作出最有益贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利 息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为 19 800 万美元. 设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金 总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖 金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32) 思 维 启 迪 探 究 提 高 解 析

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
【例 2】诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励 给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人 类作出最有益贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利 息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为 19 800 万美元. 设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金 总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖 金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32) 思 维 启 迪 探 究 提 高 解 析

从所给信息中找出关键词,增长率问题可以建立指数函数模型.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
【例 2】诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励 给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人 类作出最有益贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利 息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为 19 800 万美元. 设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金 总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖 金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32) 思 维 启 迪 探 究 提 高 解 析 1 解 (1)由题意知,f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)· 6.24%=f(1)(1+3.12%), 2 1 f(3)=f(2)(1+6.24%)- f(2)· 6.24%=f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%)2, 2 - ∴f(x)=19 800(1+3.12%)x 1 (x∈N*).

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
【例 2】诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励 给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人 类作出最有益贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利 息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为 19 800 万美元. 设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金 总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖 金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32) 思 维 启 迪 探 究 提 高 解 析

(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 136, 11 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为6· 6.24%≈136(万美元),与 150 2f(10)· 万美元相比少了约 14 万美元,是假新闻.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数模型
【例 2】诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励 给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人 类作出最有益贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利 息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为 19 800 万美元. 设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金 总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖 金高达 150 万美元”是否为真, 并说明理由. (参考数据: 1.031 29=1.32) 思 维 启 迪 探 究 提 高 解 析 此类增长率问题, 在实际问题中常可以用指数函数模型 y=N(1+p)x(其中 N 是基础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函数模型 y=a(1+x)n(其中 a 为 基础数,x 为增长率,n 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算, 要注意与已知表格中给定的值对应求解.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟) - 的变化规律:θ=m· 2t+21 t(t≥0,并且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. ? 1? t t 1-t 解 (1)若 m=2,则 θ=2· 2 +2 =2?2 +2t?, ? ?
1 5 1 5 当 θ=5 时,2t+2t=2,令 2t=x≥1,则 x+ x=2, 1 2 即 2x -5x+2=0,解得 x=2 或 x=2(舍去),此时 t=1. 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ≥2 恒成立, ?1 1? 2 t ? 亦 m· 2 +2t≥2 恒成立,亦即 m≥2 2t-22t?恒成立. ? ? 1 令2t=x,则 0<x≤1,∴m≥2(x-x2), 1 1 2 由于 x-x ≤4,∴m≥2. ?1 ? 因此, 当物体的温度总不低于 2 摄氏度时, m 的取值范围是?2,+∞?.
? ?

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系, 项目获利和月处理量 的关系也是分段函数关系.

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪


解 析

探 究 提 高

(1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S, ?1 ? 1 1 2 ? 则 S=200x- 2x -200x+80 000?=-2x2+400x-80 000=-2(x-400)2, ? ? 所以当 x∈[200,300] 时,S<0,因此该单位不会获利.

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

当 x=300 时,S 取得最大值-5 000,所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项 目不亏损.

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

?1 2 x -80x+5 040,x∈[120,144?. y ?3 (2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为x=? ?1x+80 000-200,x∈[144,500]. x ?2

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
y 1 1 ①当 x∈[120,144)时,x= x2-80x+5 040= (x-120)2+240, 3 3 y 所以当 x=120 时,x取得最小值 240.

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高
1 80 000 x× x -200=200, 2

y 1 80 000 ②当 x∈[144,500]时,x= x+ x -200≥2 2

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

1 80 000 y 当且仅当 x= x ,即 x=400 时,x取得最小值 200. 2

因为 200<240,所以当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

题型分类·深度剖析
题型三 分段函数模型
【例 3】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 ?1 3 2 ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, 表示为 y=? 且每处理一吨二氧化碳 1 ? x2-200x+80 000,x∈[144,500], ?2 得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理量在不同范围内,处理的 成本对应的函数解析式也不同, 故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最 值,然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2011· 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所 ? ? ? 用的时间(单位:分钟)为 f(x)=? ? ? ? c ,x<A, x c ,x≥A A

(A,c 为常数).已

知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分 钟,那么 c 和 A 的值分别是 A.75,25 B.75,16 C.60,25
解析

( D ) D.60,16
c = A

由函数解析式可以看出,组装第 A 件产品所需时间为

c 15,故组装第 4 件产品所需时间为 =30,解得 c=60,将 c=60 4 c 代入 =15,得 A=16. A

题型分类·深度剖析
答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

(1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供的信息,从图形可 看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法.

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 解 设该店月利润余额为 L,则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50 ?14≤P≤20?, ? ? 由销量图易得 Q=? 3 2分 - P+40 ?20<P≤26?, ? ? 2

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
?-2P+50??P-14?×100-5 600 ?14≤P≤20?, ? ? ? 代入①式得 L=?? 3 ? - P+40??P-14?×100-5 600 ?20<P≤26?, ? ?? 2 ?
4分

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元;

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 8分 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元.

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
(2)设可在 n 年后脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20.
即最早可望在 20 年后脱贫.
12分

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典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

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典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知 识建立相应的数学模型;

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结 果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
(1)本题经过了三次建模:①根据月销量图建立 Q 与 P 的函数关系;②建立利润余额函数; ③建立脱贫不等式.

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答题模板 3.函数建模问题
典例:(12 分) 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的 优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型 企业乙, 并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的 全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转 让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价 为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示; ③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最 大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒
(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解 决的问题发生了变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活中分段 函数的应用非常广泛. (3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.

思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧 失 误 与 防 范
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题 的基础;

2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次 函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
1.函数模型应用不当是常见的解题错误.所以,正确理 解题意, 选择适当的函数模型是正确解决这类问题的 前提和基础. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定

函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1. 有一批材料可以围成 200 m 长的围墙,现用 此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图),且内部用此材料隔成三个面积相等 的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 A.1 000 m2 B.2 000 m2 C.2 500 m2 ( ) D.3 000 m2

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1. 有一批材料可以围成 200 m 长的围墙,现用 此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图),且内部用此材料隔成三个面积相等 的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 A.1 000 m2 B.2 000 m2 C.2 500 m2 ( C ) D.3 000 m2

解 析
设围成的场地宽为 x m,面积为 y m2, 1 则 y=3x(200-4x)×3=-4x2+200x (0<x<50). 当 x=25 时,ymax=25×100=2 500.
∴围成的矩形场地的最大面积为 2 500 m2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 湖北改编)里氏震级 M 的计算公式:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震 的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000, 此时标准地震的振幅为 0.001, 则此次地震的震级为______级; 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的______倍. ( ) A.6 1 000 B.4 1 000 C.6 10 000 D.4 10 000

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 湖北改编)里氏震级 M 的计算公式:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震 的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000, 此时标准地震的振幅为 0.001, 则此次地震的震级为______级; 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的______倍. ( C ) A.6 1 000 B.4 1 000 C.6 10 000 D.4 10 000 由 M=lg A-lg A0 知,M=lg 1 000-lg 0.001=3- 解 析
A1 设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅为 A2,则 lg = A2 A1 lg A1-lg A2=(lg A1-lg A0)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.∴A =104= 2 10 000,∴9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍.
(-3)=6,∴此次地震的震级为 6 级.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地 网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函 数关系如图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式 电话费相差 40 A.10 元 B.20 元 C.30 元 D. 元 3

(

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地 网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函 数关系如图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式 电话费相差 40 A.10 元 B.20 元 C.30 元 D. 元 3

( A )

解 析
设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5, 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150×5-20=10.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营 运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位: 10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如 右图所示 ),则每辆客车营运多少年时,其营运 的平均利润最大 A.3 B. 4 ( C.5 D.6 )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营 运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位: 10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如 右图所示 ),则每辆客车营运多少年时,其营运 的平均利润最大 ( C ) A.3 B. 4 C.5 D.6 2 由题图可得营运总利润 y =- ( x - 6) +11, 解 析 y 25 则营运的年平均利润x=-x- x +12, y 25 * ∵x∈N ,∴x≤-2 x· x +12=2, 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”. x ∴x=5 时营运的平均利润最大.

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

5.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间, 单位: 小时, y 表示病毒个数), 则 k=_______,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为______个.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间, 单位: 小时, y 表示病毒个数),

2ln 2 ,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为______ 则 k=_______ 1 024 个. 解 析
当 t=0.5 时,y=2,
∴2= e 2 ,
∴k=2ln 2, ∴y=e2tln 2,当 t=5 时, ∴y=e10ln 2=210=1 024.
1k

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

6.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过 部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现某人乘坐一次 出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过 部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现某人乘坐一次

9 出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 解 析
设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,

?9,0<x≤3 ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8 ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8 ?

由 y=22.6,解得 x=9.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.2008 年我国人口总数为 14 亿,如果人口的自然年增长率控制在 1.25%,则________年我国人口将超过 20 亿.(lg 2≈0.301 0, lg 3≈0.477 1,lg 7≈0.845 1)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.2008 年我国人口总数为 14 亿,如果人口的自然年增长率控制在

2037 年我国人口将超过 20 亿.(lg 2≈0.301 0, 1.25%,则________
lg 3≈0.477 1,lg 7≈0.845 1)

解 析
由已知条件:14(1+1.25%)x-2 008>20,

10 lg 7 1-lg 7 x-2 008> = =28.7, 81 4lg 3-3lg 2-1 lg 80

则 x>2 036.7,即 x=2 037.

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

8.(10 分)某种出口产品的关税税率为 t,市场价格 x(单位:千元) 与市场供应量 p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=2
(1 ? kt)( x ? b) 2



其中 k,b 均为常数.当关税税率 t=75%时,若市场价格为 5 千元,则市场供应量为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场 供应量约为 2 万件. (1)试确定 k,b 的值; (2)市场需求量 q(单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式: q=2-x,当 p=q 时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡 价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
2

6

7

8

9

解 析


?1-0.75k??5-b? ? ?1=2 (1)由已知? ?1-0.75k??7-b? ? ?2=2

2

2 ? ??1-0.75k??5-b? =0 ,?? 2 ? ??1-0.75k??7-b? =1

.

解得 b=5,k=1.
(2)当 p=q 时, 2
2
(1?t )( x ?5) 2

=2-x,

x 1 ∴(1-t)(x-5) =-x?t=1+ =1+ 25 ?x-5?2 x+ -10 x 25 而 f(x)=x+ 在(0,4]上单调递减, x
41 ∴当 x=4 时,f(x)有最小值 , 4

故当 x=4 时,关税税率的最大值为 500%.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b (a>b).在 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?求出这个最大面积.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b (a>b).在 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?求出这个最大面积.
设四边形 EFGH 的面积为 S, 1 2 由题意得 S△AEH=S△CFG=2x , 1 S△BEF=S△DHG=2(a-x)· (b-x).

解 析



?1 ? 1 2 由此得 S=ab-2?2x +2?a-x??b-x??=-2x2+(a+b)x ? ? 2 ? ? ? a + b ? a + b ?2 =-2? + . x - ? 8 4 ? ? ?

a+b 函数的定义域为{x|0<x≤b},因为 a>b>0,所以 0<b< 2 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b (a>b).在 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、CF 都等于 x,当

x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?求出这个最大面积. 2 a + b a + b ? a + b ? 解 析 若 ≤b,即 a≤3b,x= 时面积 S 取得最大值 ; 4 4 8 2 ? ? a+b ? a + b ? a + b ?2 若 >b,即 a>3b 时,函数 S=-2? 在(0, x - ? ? + 4 8 4 ? ? b]上是增函数,因此,当 x=b 时,面积 S 取得最大值 ab-b2. a+b 综上可知,若 a≤3b,当 x= 时,四边形 EFGH 的面积 4 ?a+b?2 取得最大值 8 ;若 a>3b,当 x=b 时,四边形 EFGH 的 面积取得最大值 ab-b2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润 (单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该 公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最大利润为 A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 ( )

D.45.51 万元

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润 (单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该 公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最大利润为 A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 ( B )

D.45.51 万元

解 析
依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆,总利润 S= L1+ L2,则总利润 S=5.06x- 0.15x2+ 2(15- x)=- 0.15x2 + 3.06x + 30 = - 0.15(x - 10.2)2 + 0.15×10.22 + 30 (x≥0).∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元).

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如 图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角 料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当 截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 B.x=12,y=15 D.x=10,y=14 ( )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如 图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角 料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当 截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 B.x=12,y=15 D.x=10,y=14 ( A )

24-y x 5 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 4 24-8 20 5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180,
∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若 把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能 是 ( )

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若 把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能 是 ( A )

解 析
汽车加速行驶时, 速度变化越来越快, 而汽车匀速行驶时, 速度保持不变,体现在 s 与 t 的函数图象上是一条直线, 减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面 上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的 边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、 宽应分别为_______________.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面 上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的 边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、

30 cm、20 cm . 宽应分别为_______________ 解 析
设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b-2)
=606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486,
当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

5.某商人购货,进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物订一新价, 以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价 25%的利润,则此商人 经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为 ______________.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

5.某商人购货,进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物订一新价, 以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价 25%的利润,则此商人 经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为 a * y = x ( x ∈ N ). ______________ 4

解 析
设新价为 b,依题意,有 b(1-20%)-a(1-25%)=b(1- 5 5 20%)· 25%,化简得 b= a.∴y=b· 20%· x= a· 20%· x,即 y 4 4 a = x (x∈N*). 4

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

6.某医院为了提高服务质量,对挂号 处的排队人数进行了调查,发现: 当还未开始挂号时, 有 N 个人已经 在排队等候挂号;开始挂号后排队 的人数平均每分钟增加 M 人. 假定 挂号的速度是每个窗口每分钟 K 个 人,当开放一个窗口时,40 分钟后 恰好不会出现排队现象;若同时开 放两个窗口时,则 15 分钟后恰好 不会出现排队现象.根据以上信 息,若要求 8 分钟后不出现排队现 象,则需要同时开放的窗口至少应 有________个.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

6.某医院为了提高服务质量,对挂号 处的排队人数进行了调查,发现: 当还未开始挂号时, 有 N 个人已经 在排队等候挂号;开始挂号后排队 的人数平均每分钟增加 M 人. 假定 挂号的速度是每个窗口每分钟 K 个 人,当开放一个窗口时,40 分钟后 恰好不会出现排队现象;若同时开 放两个窗口时,则 15 分钟后恰好 不会出现排队现象.根据以上信 息,若要求 8 分钟后不出现排队现 象,则需要同时开放的窗口至少应 4 有________ 个.

解 析

设要同时开放 x 个窗口才能满足要求, ① ?N+40M=40K, ? 则?N+15M=15K×2, ② ?N+8M≤8Kx. ③ ? ? ?K=2.5M, 由①②,得? ? ?N=60M,

代入③,得 60M+8M≤8×2.5Mx, 解得 x≥3.4.
故至少同时开放 4 个窗口才能满 足要求.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (13 分)(2011· 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/ 时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度 不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量(单位时间内通过桥上某观测 点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最 大值.(精确到 1 辆/时)

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

解 析 解 (1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;
当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, 再由已知得? 解得? ? ?20a+b=60, ?b=200. 3 ? 60, 0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?200-x?, 20<x≤200. ? ?3
60x, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x?200-x?, ? ?3 0≤x≤20, 20<x≤200.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

解 析
当 0≤x≤20 时, f(x)为增函数, 故当 x=20 时, 其最大值为 60×20=1 200;
? 1 1? ?x+?200-x??2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? , ? = 3 3 3? 2 ?

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.

10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 3 .
10 000 综上, 当 x=100 时, f(x)在区间[0,200] 上取得最大值 3 ≈3 333,
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.


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