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熟记向量八结论速解有关高考题


熟记向量八结论

速解有关高考题
卢伯友满新民

湖南省慈利县第一中学427200 结论1 非零向量a,b垂直的充要条件: 式为

(1)a上bc=m?b=0; (2)a上西§I 例l
a+b I=l a—b I

A.4口一56=3 C.4口+5b=14

台.5n一4b:3
D.5a+4b=14

(2010年四川高考题)设点肘是线段BC


的中点,点A在直线曰c外,(赢)2:16,l府+赢
l=l AB—AC A.8



由结论3知蔚?焉=O—B?焉所
所以4D+5=8+56所以
4口一

I,则l AM l=(
B.4 C.2 D.1



OA?OC=OB?OC,又OA?OC=4a+5。OB

?OC=8+5b



因为I窟+赢I-I吞一赢l,所以府上

5b=3故A正确. 结论4 对任意向量a,b,不等式|I
a a

AC,又M是线段BC的中点,所以,在直角AABC中,

I-I



I薪I:÷I赢I:2,从而选c.
例2 (2010年湖南高考题)在RtAABC中, )
D.16

Il≤I口±b I≤I

I+I



I恒成立.

例5

(2007年浙江高考题)若非零向量a,b满 l,则( )
B.I 2口I<I 2口+b D.1 26 I<l a+26 l≤I a+b

足I

a+b l=I b

[C=90。,AC=4,AB?AC等于(
A.一16 B.一8 C.8

A.1 2以J>I 2口+易I C.I 26 l>l a+2厶I



因为Z.C=90。,所以赢.C—B:o,所以吞
且I 设el、P2不共线,若Alel+/zle2=a2el




因为I a+拍I=l(a+b)+b


?AC=(AC+CB)?AC=(AC)2+AC?CB=16, 故选D. 结论2

I+I bI=I b I+I bI=2 a+b

I,又由于a,b为非零向量,

I=I西f,所以a,b不共线,因此,I(口+6) I中的“=”不成立,故选C.

+b I≤I a+b f+I b

+p2e2,(Al、A2雌1 412∈R)贝0 Al=A2且/.t1 例3

p2.

结论5

已知蔚,商不共线,且昴:石.蔚+
1.

(2009年北京高考题)已知向量口、b不共

,,?DB(戈,),,∈R),则A、B、P三点共线的充要条件 是戈+',2 例6

线,c=ka+b(||}∈R),d=口一b,如果c//d另B么
( ) A.后=一1且C与d同向 C.I|}=l且C与d同向 解 B.后=l且c与d反向 D.J|}=一1且C与d反向

(2007年江西

高考题)在AABC中,点0 是BC的中点,过点0的直 线分别交AB、AC于不同的 两点肘、Ⅳ,若AB=m? AM,AC=n?AN,贝0
rrt+n

因为c//d,所以,存在唯一的实数m,使c

=md,即施+b=m(a—b)=mat—mb,又口、b不共 线,所以,I|}=m且1=一m,即|j}=m=一1,故选D. 结论3 设a,b都是非零向量,则a在b方向上

=——?


的投影为南导
例4(2007年天津高考题)设a(a,1),B(2, b),C(4,5)为坐标平面上的三点,0为坐标原点,若

因为M、0、N三点共线,所以A—O:聋.劢

————}———}————}———}

+),?AN,且戈+,,=1,又AB=m?AM,AC=n?AN--..-k,

所以蔚=羔.吞+上.丽,因为0是Bc的中点,
Fit ,I

蔚与赢在苑上的投影相同,则口与6满足的关系
48

万方数据

所以蔚=T1(a—S+赢),所以吾=虿1,考=虿1,m+
n=2(茗+y)=2. 例7(2009 年安徽高考题)给 定两个长度为l的
———’——-_

件是存在非负实数A,使赢=A(F嚣T+广鲁)
例10(2009年天津高考题)在四边形ABCD

ee,A—B=D—C=(1'1)'矗万赢+矗万赢=

平面向量OA,OB, 它们的夹角为 1200,C在以0为圆心的弧A曰上变动,若DC=菇?OA‘

r鲁蔚,则四边形ABCD的面积是——’


,.,

由府:D—C知四边形ABCD为平行四边

形,由第二个条件知四边形ABCD为菱形,其边长为

厄,I

+),?OB,则菇+,,的最大值为一
解 且A+肛=1,令I
OCI=,,ll

设DC与AB交于M,则D肘=A

OA+pDB,

糍=一丢掘in£BA。=譬删‰∞=
(厄)2×等=压

B—D 1_万l A—B l-厢,所以cos/_BAD:

OMI,贝0DC=mA?DA

+,q嵋?OB,所以菇+y=r,I(A+ix)=m,因此只要 m为最大,又I DCI=1,所以只要l 0膨l最小,显然 og上AB时,I D膨I最小,易求得I D肘I的最小值


例11(2003年江苏高考题)设0是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足

为÷,所以m的最大值为2,故石+y的最大值为2.


茆=耐训篇+焉),A≥啪4
一定通过AABC的 A.外心 解 B.内心

P的轨迹 ( )

结论6

G是AABC所在平面内一点,点G是

△ABC的重心的充要条件是:甜+C,B+GC=0.
例8(2010年湖北高考题)已知AABC和点

C.重心D.垂心

M满足耐+府+府:o,若存在实数m使得窟+
AC=m

AM成立,则m=(
B.3


D.5

由题设得商一O—A=A(篇+焉), 即在=A(等+篇).由结论3知动点P的轨
迹一定通过AABC的内心,故选B. 结论8 若直线的方向向量为(口,6)(n≠O),

A.2

c.≯



因为删+肘百+MC=0,所以M为AABC
———▲’'——o


的重心,连接AM并延长交Bc于D,则A斯=÷A百①

则直线的斜率为兰
例12(2010年上海高考题)在平面直角坐标 系中,双曲线F的中心在原点,它的一焦点坐标为

因为AD为中线,Np_IA一8+A—C:2府:mA—M,即2
AD’=m

A衍②,联立①②可得m=3,故B正确.

例9(2006年全国高考题)设平面向量口,、a:、 a3的和4l+a2+a3=0.如果平面向量bl、b2、b3满 足l
bi l=2I

(帕,0),P,=(2,1),P:=(2,一1)分别是两条渐近
线的方向向量,任取双曲线厂上的点P,若Dp=口口。

a。I,且ai顺时针旋转30。后与西i同向,

+be:(口、b∈R),则口、6满足的一个等式是——.
解 因为P。=(2,1),P:=(2,一1)是渐进线

其中i=l,2,3,则
A.一6l+西2+b3=0 C.西l+易2一西3=0 B.b1一b2+63=0 D.b】+b2+b3=0

方向向量,所以双曲线渐近线方程为y=±÷x,又c



类比结论6,可设商=口,,蔬:口:,葡=

=√亨,所以口=2,b=1,所以双曲线方程为争一y2

口,,则点D是AABC的重心,将三个向量按照已知旋 转后,可知对应0点仍为新三角形的重心,故选D. 结论7 点P在/_ABC的角平分线上的充要条

鱼掣一(口一6)::l,化简得4口b:1.

=1,O—P=oel+be2=(2a+2b,o一6),所以

万方数据


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