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2017安庆一中高一数学


安庆一中高一数学
一、选择题 1.下列不等式正确的是( ) A.若 a>b,则 a?c>b?c B.若 a?c2>b?c2,则 a>b C.若 a>b,则 < D.若 a>b,则 a?c2>b?c2 )

2.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( A. B. C. D. )

3.若 1≤x≤4,3≤y≤6,则 的取值范围是( A. B. C.

D. ,满足条件的△ABC( D.有两解 )

4.在△ABC 中,∠A=60°,a= ,b= A.不能确定 B.无解? C.有一解 5.数列{an}的通项公式 an= A.98 B.99 C.96 D.97

,则该数列的前(

)项之和等于 9.

6.数列{an}的通项 an= A.3 B.19 C.

,则数列{an}中的最大值是( D. )



7.下列不等式一定成立的是(

A.x2+ >x(x>0) B.x2+1≥2|x|(x∈R) C.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) D. >1(x∈R)

8.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边.若 b=2acosC,则△ABC 的形状一 定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sm=x,S2m=y,S3m=z,则( ) 2 2 2 A.x+y=z B.y =x?z C.x +y =xy+xz D.2y=x+z 10.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边 形的边数 n 等于( ) A.12 B.16 C.9 D.16 或 9 11.若不等式(﹣1)na<2+ 对于任意正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是

A.

B.

C.[﹣3,2] D. (﹣3,1)

12.已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1 ≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2, 其中真命题有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式 <0 的解集为 .

14.两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 15.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 .

,则

=



16.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数) ,an+1= m 所有可能的取值的个数为

若 a6=1,则



三、解答题(第 17、18、19 题各 10 分,20 题 12 分,21、22 题 14 分,共 70 分)

17. y 满足约束条件 设变量 x,

, 求目标函数 z=2x+y 的最大值及此时的最优解.

18.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求证: <1.

19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S= .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 20.各项均为正数的数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意 n∈N*,有 2Sn=2an2+an ﹣1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn=2n?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 21.某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度 H(单位:m)如示意图,垂直放 置的标杆 BC 高度 h=2m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (Ⅰ)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.21,tanβ=1.17,请据此算出 H 的值;

(Ⅱ)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到胜利之塔的距离 d(单位:m) , 使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若胜利之塔的实际高度为 60m,试问 d 为多少 时,α﹣β 最大?

22.设数列{an}的通项公式为 an=pn+q(n∈N*,P>0) .数列{bn}定义如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an≥m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p= ,求 b3;

(Ⅱ)若 p=2,q=﹣1,求数列{bm}的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm=4m+1(m∈N*)?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如不 存在,说明理由.

安庆一中高一数学
参考答案与试题解析

一、选择题 1.下列不等式正确的是( ) A.若 a>b,则 a?c>b?c B.若 a?c2>b?c2,则 a>b C.若 a>b,则 < D.若 a>b,则 a?c2>b?c2

【考点】不等式比较大小. 【分析】A.当 c≤0 时,ac≤bc; B.利用不等式的基本性质即可判断出; C.取 a=2,b=﹣1,不成立; D.c=0 时不成立. 【解答】解:A.当 c≤0 时,ac≤bc,因此不正确; B.∵a?c2>b?c2,∴a>b,正确; C.取 a=2,b=﹣1,则不成立; D.c=0 时不成立. 综上可得:只有 B 正确. 故选;B. 2.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c 等于( A. B. C. D. )

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】求出 C,利用正弦定理直接求出 c 即可. 【解答】解:由题意,在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,所以 C=180°﹣75°﹣60°=45°.

根据正弦定理得:

,即 c=

=



故选 C.

3.若 1≤x≤4,3≤y≤6,则 的取值范围是( A. B. C.

) D.

【考点】不等式的基本性质. 【分析】根据已知结合不等式的基本性质,可得 的范围. 【解答】解:∵3≤y≤6, ∴ ,

又∵1≤x≤4, ∴ , ,

即 的取值范围是 故选:B.

4.在△ABC 中,∠A=60°,a= ,b= A.不能确定 B.无解? C.有一解

,满足条件的△ABC( D.有两解



【考点】正弦定理. 【分析】由题意画出图形,再结合条件可此三角形解的情况. 【解答】解:因为 A=60°,b= ,a= ,如图: 所以 h=bsinA= 又 < < = ,

,则此三角形有两解,

故选:D.

5.数列{an}的通项公式 an= A.98 B.99 C.96 D.97

,则该数列的前(

)项之和等于 9.

【考点】数列的求和. 【分析】先将分母有理化,再利用叠加法可求和,进而可得结论 【解答】解:∵an= ∴an= ∴ ∴ ∴n=99 故选 B. , , ,

6.数列{an}的通项 an= A.3 B.19 C.

,则数列{an}中的最大值是( D.



【考点】数列的函数特性. 【分析】利用数列的通项公式结合基本不等式的性质即可得到结论.

【解答】解:an= ∵f(n)=n+

=



在(0,3

)上单调递减,在(3

,+∞)上单调递增,

∴当 n=9 时,f(9)=9+10=19,当 n=10 时,f(10)=9+10=19, 即 f(9)=f(10)为最小值, 此时 an= 故选:C. 7.下列不等式一定成立的是( ) 取得最大值为 a9=a10= ,

A.x2+ >x(x>0) B.x2+1≥2|x|(x∈R) C.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) D. >1(x∈R)

【考点】基本不等式. 【分析】根据基本不等式的性质判断 A、B,根据特殊值法判断 C、D 即可. 【解答】解:对于 A:x2+ ≥2 =x,当且仅当 x= 时“=”成立,故 A 错误;

对于 B:x2+1≥2|x|,B 正确; 对于 C:比如 sinx=﹣1 时,不成立,C 错误; 对于 D:比如 x=1 时,不成立,D 错误; 故选:B. 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边.若 b=2acosC,则△ABC 的形状一 定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 【考点】正弦定理. 【分析】 (法一)根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知 的式子,由内角的范围即可判断出△ABC 的形状; (法二)根据余弦定理化简已知的式子,即可判断出△ABC 的形状. 【解答】解: (法一)∵b=2acosC,∴由正弦定理得 sinB=2sinAcosC, ∵B=π﹣(A+C) ,∴sin(A+C)=2sinAcosC, 则 sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC, sinAcosC﹣cosAsinC=0,即 sin(A﹣C)=0, ∵A、C∈(0,π) ,∴A﹣C∈(﹣π,π) ,则 A﹣C=0, A=C ABC ∴ ,∴△ 是等腰三角形; (法二)∵b=2acosC,∴由余弦定理得 b=2a? 化简得 a2﹣c2=0,即 a=c, ,

∴△ABC 是等腰三角形, 故选:C. 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sm=x,S2m=y,S3m=z,则( ) 2 2 2 A.x+y=z B.y =x?z C.x +y =xy+xz D.2y=x+z 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由等比数列的性质得 Sm,S2m﹣Sm,S3m﹣S2m 成等比数列,从而 x,y﹣x,z﹣y 也成等比数列,由此能求出结果. 【解答】解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sm=x,S2m=y,S3m=z, 由等比数列的性质得 Sm,S2m﹣Sm,S3m﹣S2m 成等比数列, ∴x,y﹣x,z﹣y 也成等比数列, ∴(y﹣x)2=x(z﹣y) , 2 2 整理得:x +y =xy+xz. 故选:C. 10.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边 形的边数 n 等于( ) A.12 B.16 C.9 D.16 或 9 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的通项公式可得多边形的内角 an=120°+5° (n﹣1)=5°n+115°,由 n 边形 内角和定理和等差数列的前 n 项和公式可得, (n﹣2)×180°=n×120°+n(n﹣1)2×5°.解出即可. 【解答】解:由题意可得多边形的内角 an=120°+5°(n﹣1)=5°n+115°, 由 an<180°,可得 n<13 且 n∈N*, 由 n 边形内角和定理得, (n﹣2)×180°=n×120°+ 解得 n=16 或 n=9 ∵n<13,∴n=9. 故选 C. ×5°.

11.若不等式(﹣1)na<2+ ( A. ) B.

对于任意正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是

C.[﹣3,2] D. (﹣3,1)

【考点】函数恒成立问题. 【分析】要使不等式 对于任意正整数 n 恒成立,讨论 n 为奇数和

偶数,令 f(n)=(﹣1)n?a﹣



求得最大值,由最大值小于 2,列出不等式求出 a 的范围即可. 【解答】解:由不等式 得: (﹣1)n?a﹣ <2,

令 f(n)=(﹣1)n?a﹣



当 n 取奇数时,f(n)=﹣a﹣ ; 当 n 取偶数时,f(n)=a+ . 所以 f(n)只有两个值,当﹣a﹣ <a+ 时,f(n)max=a+ , 即 a+ <2,得到 a< ; 当﹣a﹣ ≥a+ 时,即﹣a﹣ <2,得 a≥﹣2, 所以 a 的取值范围为﹣2≤a< . 故选:A. 12.已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1 ≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2, 其中真命题有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】数列的应用. 【分析】根据数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j (1≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,可知①错 误,其余都正确. 【解答】解:∵对任意 i,j(1≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的项, ①数列 0,1,3 中,a2+a3=1+3=4 和 a3﹣a2=3﹣1=2 都不是该数列中的数,故①不正确; ②数列 0,2,4,6,aj+ai 与 aj﹣ai(1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项,并且 a4﹣a3=2 是该数列中的项,故②正确; ③若数列 A 具有性质 P,则 an+an=2an 与 an﹣an=0 两数中至少有一个是该数列中的一项, ∵0≤a1<a2<…<an,n≥3, 而 2an 不是该数列中的项,∴0 是该数列中的项, ∴a1=0;故③正确; ④∵数列 a1,a2,a3 具有性质 P,0≤a1<a2<a3 ∴a1+a3 与 a3﹣a1 至少有一个是该数列中的一项,且 a1=0, 1°若 a1+a3 是该数列中的一项,则 a1+a3=a3,

∴a1=0,易知 a2+a3 不是该数列的项 ∴a3﹣a2=a2,∴a1+a3=2a2 2°若 a3﹣a1 是该数列中的一项,则 a3﹣a1=a1 或 a2 或 a3 ①若 a3﹣a1=a3 同 1°, ②若 a3﹣a1=a2,则 a3=a2,与 a2<a3 矛盾, ③a3﹣a1=a1,则 a3=2a1 综上 a1+a3=2a2, 故选 B. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式 <0 的解集为 {x|﹣2<x<3} .

【考点】其他不等式的解法. 【分析】原不等式可化为 x﹣3 与 x+2 乘积小于 0,即 x﹣3 与 x+2 异号,可化为两个一元一 次不等式组,分别求出解集,两解集的并集即为原不等式的解集. 【解答】解:原不等式可化为: (x﹣3) (x+2)<0, 即 或 ,

解得:﹣2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|﹣2<x<3}. 故答案为:{x|﹣2<x<3}

14.两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列{an}和{bn}的前 n 项和的性质可得: =

,则

=



,即可得出.

【解答】解:∵两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若





=

=

=



故答案为:



15.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 【考点】基本不等式.

18 .

【分析】首先左边是 xy 的形式右边是 2x+y 和常数的和的形式,考虑把右边也转化成 xy 的 形式,使形式统一.可以猜想到应用基本不等式 .转化后变成关于 xy 的方程, 可把 xy 看成整体换元后求最小值. 【解答】解:由条件利用基本不等式可得 , 令 xy=t2,即 t= >0,可得 可解得 , . .

即得到 又注意到 t>0,故解为 所以 xy≥18. 故答案应为 18.

16.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数) ,an+1= m 所有可能的取值的个数为 【考点】数列递推式. 【分析】a6=1,可得 a5 必为偶数,因此 3 .

若 a6=1,则

=1,解得 a5=2.当 a4 为偶数时,



解得 a4=4;当 a4 为奇数时,a5=3a4+1=2,解得 a4= ,舍去.依此类推即可得出. 【解答】解:∵a6=1, ∴a5 必为偶数,∴a6= 当 a4 为偶数时,a5= ∴a4=4. 当 a3 为偶数时,a4= =4,解得 a3=8;当 a3 为奇数时,a4=3a3+1=4,解得 a3=1. ,解得 a2=16;当 a2 为奇数时,a3=3a2+1=8,解得 a2= , =1,解得 a5=2. ,解得 a4=4;当 a4 为奇数时,a5=3a4+1=2,解得 a4= ,舍去.

当 a3=8 时,当 a2 为偶数时,a3= 舍去. 当 a3=1 时,当 a2 为偶数时,a3= 舍去. 当 a2=16 时,当 a1 为偶数时,a2= 解得 a1=5=m. 当 a2=2 时,当 a1 为偶数时,a2= a1= ,舍去. 综上可得 m=4,5,32. 故答案为:3.

=1,解得 a2=2;当 a2 为奇数时,a3=3a2+1=1,解得 a2=0,

=16,解得 a1=32=m;当 a1 为奇数时,a2=3a1+1=16,

=2,解得 a1=4=m;当 a1 为奇数时,a2=3a1+1=2,解得

三、解答题(第 17、18、19 题各 10 分,20 题 12 分,21、22 题 14 分,共 70 分)

17. y 满足约束条件 设变量 x,

, 求目标函数 z=2x+y 的最大值及此时的最优解.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义即可得到结论. 【解答】解:由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 过点 C 时,直线 y=﹣2x+z 的在 y 轴的截距最大,此时 z 最大, 由 ,得 ,即 C(2,1) ,

此时 z=2×2+1=5, 即最优解为(2,1) ,z 取得最大值 5.

18.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求证: 【考点】数列的求和;数列递推式. a1, a3, a9 成等比数列, 【分析】 (Ⅰ) 由题设知公差 d≠0, 由 a1=1, 可得
2

<1.

=a1?a9, 即 (1+2d)

=1×(1+8d) ,解出即可得出. = = .利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明. =a1?a9,∴

(II)

【解答】 (Ⅰ)解:由题设知公差 d≠0,由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列,∴ (1+2d)2=1×(1+8d) ,化为:4d2=4d, 解得 d=1,d=0(舍去) ,故{an}的通项 an=1+(n﹣1)×1=n. (II)证明: = = .





19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S= .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (I)由 S= = acsinB,代入 cosB= ,即可得出.

(II)由 a,b,c 成等比数列,可得 ac=b2,由正弦定理可得:sinAsinC=sin2B. 【解答】解: (I)在△ABC 中,∵S= ∴tanB= , ∵B∈(0,π) , ∴B= . = acsinB,cosB= .

(II)∵a,b,c 成等比数列, ∴ac=b2, 由正弦定理可得:sinAsinC=sin2B= = .

20.各项均为正数的数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意 n∈N*,有 2Sn=2an2+an ﹣1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn=2n?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)对任意 n∈N*,有 2Sn=2an2+an﹣1.令 n=1,可得: ﹣1,a1>0,

解得 a1.n≥2 时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1) ,化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣ )=0.数列{an}的各项 均为正数,可得 an﹣an﹣1= .利用等差数列的通项公式即可得出. (II)bn=2n?an=(n+1)?2n﹣1,再利用“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前 n 项和公 式即可得出. 【解答】解: (I)对任意 n∈N*,有 2Sn=2an2+an﹣1.令 n=1,可得: a1>0,解得 a1=1. ﹣1,

n≥2 时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an2+an﹣1﹣ an﹣1﹣ )=0. ∵数列{an}的各项均为正数, ∴an﹣an﹣1﹣ =0,即 an﹣an﹣1= . ∴数列{an}为等差数列,公差为 ,首项为 1. ∴an=1+ (n﹣1)= .

,化为: (an+an﹣1) (an﹣

(II)bn=2n?an=(n+1)?2n﹣1, ∴Tn=2×1+3×2+4×22+…+(n+1)×2n﹣1, 2Tn=2×2+3×22+…+n×2n﹣1+(n+1)×2n, 两式相减可得:﹣Tn=2+2+22+…+2n﹣1﹣(n+1)×2n=1+ ∴Tn=n×2n. 21.某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度 H(单位:m)如示意图,垂直放 置的标杆 BC 高度 h=2m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (Ⅰ)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.21,tanβ=1.17,请据此算出 H 的值; (Ⅱ)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到胜利之塔的距离 d(单位:m) , 使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若胜利之塔的实际高度为 60m,试问 d 为多少 时,α﹣β 最大? ﹣(n+1)×2n=n×2n,

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】 (I)根据三角函数的定义用 H,h,tanα,tanβ 表示出 AD,BD,AB,根据 AD﹣ AB=DB 列方程解出 H. (II)根据两角差的正切公式得出 tan(α﹣β)关于 H,h,d 的函数关系式,使用基本不等 式求出 tan(α﹣β)取得最大值的条件. 【解答】解: (I)∵tanβ= ∴AD= ,BD= = ,tanα= . ,

,AB=

∵AD﹣AB=DB,∴ 解得: ∴胜利塔的高度 H 是 60.5m. (II)∵tanα= ,tanβ= ,

, .

∴tan(α﹣β)=

=

=



∵d+ (当且仅当 d= ∵0<β<α< ∴故当

≥2 =

, =2 , 时取等号)

,则 0<α﹣β<

时,tan(α﹣β)最大.

22.设数列{an}的通项公式为 an=pn+q(n∈N*,P>0) .数列{bn}定义如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an≥m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p= ,求 b3;

(Ⅱ)若 p=2,q=﹣1,求数列{bm}的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm=4m+1(m∈N*)?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如不 存在,说明理由. 【考点】数列与不等式的综合;数列的概念及简单表示法;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)由题意,得 ,解 ,得 n 的范围即可得出. .根据 bm 的定义可知当 . ∴b1+b2+…+b2m= (b1+b3+…+b2m

(Ⅱ)由题意,得 an=2n﹣1,对于正整数,由 an≥m,得 m=2k﹣1 时,
﹣1

; 当 m=2k 时,

)+(b2+b4+…+b2m) ,分组利用等差数列的求和公式即可得出. .由于 ,

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn+q≥m 及 p>0 得 ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

即﹣p﹣q≤(4p﹣1)m<﹣q 对任意的正整数 m 都成立.对 4p﹣1 分类讨论即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由题意,得 ∴ ,解 ,得 .

成立的所有 n 中的最小整数为 8,即 b3=8.

(Ⅱ)由题意,得 an=2n﹣1,对于正整数,由 an≥m,得 当 m=2k﹣1 时, ;当 m=2k 时,

.根据 bm 的定义可知 .

∴b1+b2+…+b2m=(b1+b3+…+b2m﹣1)+(b2+b4+…+b2m)=(1+2+3+…+m)+[2+3+4+…+ (m+1)]= . . ,

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn+q≥m 及 p>0 得 ∵ , 根据 bm 的定义可知, 对于任意的正整数 m 都有

即﹣p﹣q≤(4p﹣1)m<﹣q 对任意的正整数 m 都成立. 当 4p﹣1>0(或 4p﹣1<0)时,得 当 4p﹣1=0,即 ∴存在 p 和 q,使得 时,得 (或 ,解得 ;p 和 q 的取值范围分别是 ) ,这与上述结论矛盾! . , .

2017 年 1 月 4 日


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