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数学理卷·2014届黑龙江省大庆一中高三上学期第三阶段考试(2013.12)


黑龙江省大庆一中 2014 届高三学年上学期第三阶段考试(数学理)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U={1,3,5,6,8},A={1,6},B={5,6,8},则(CUA)∩B=( A.{6} B.{5,8} C.{6,8} ) C.16 ) D.平行且反向 D.32 D.{3,5,6,8} 2.等比数列 {a n } 中, a 4 =4,则 a 2 ? a 6 =( A.4 B.8 )

3.已知向量 a =( ? 5 ,6) , b =(6,5) ,则 a 与 b ( A.垂直 4.函数 f ( x ) = A.y 轴对称 称 B.不垂直也不平行

C.平行且同向

1 ? x 的图象关于( x

) C.坐标原点对称 D. 直线 y = x 对

B.直线 y =- x 对称

5.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2 x 上,则

cos 2θ =
A.



) B.

4 5

3 5

C. ?

3 5
)

D. ?

4 5

6.数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a n =

1 ,则 S 5 =( n(n + 1)
C.
0.3

A. 1

B.

1 30

1 6


D.

5 6

1 ?1? 7. 设 a = log 1 2 , b = log 1 , c = ? ? ,则( 3 ? 2? 3 2
A.a<b<c B.b<a<c 8.由曲线 y = x 2 , y = x 3 围成的封闭图形面积为 ( A.

C.b<c<a ) D.

D.a<c<b

1 12

B.

1 4

C.

1 3

7 12


2 9. 设 p、q 是两个命题,p :log 1 (| x | ?3 ) >0, q :x ? 2

5 1 x + >0,则 p 是 q 的( 6 6

A.充分而不必要条件 必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不

2e ? x 的图象大致是( 10.函数 f ( x ) = 2?x

)

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11. 定义域为 R 的 偶函数 f ( x ) 满足对 ?x ∈ R , 都有 f ( x + 2) = f ( x ) ? f (1) 成 立,且当

x ∈ [2, 3]时, f ( x ) = ?2x 2 + 12x ? 18 .若函数 y = f ( x ) ? log a ( x + 1) 在 (0,+∞ ) 上至少
有三个零点,则 a 的取值范围是( ) A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

C. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

D. ? 0,

? ? ?

6? ? 6 ? ?

12.已知方程 的是 ( )

| cos x | = k 在 (0,+∞ ) 上有两个不同的解 α , β ( α < β ) ,则下面结论正确 x π α?1 )= 4 α+1 π β?1 )= 4 β+1

A. tan(α + C. tan(β +

π α+1 )= 4 α ?1 π β+1 )= 4 β?1

B. tan(α + D. tan(β +

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在 Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,则 AB ? AC = 14. 函数 f ( x ) = x 3 ? 3x 2 + 1 在 x = 处取得极小值. 。

2 2 , 15. 设 {a n } 是首项为 1 的正项数列,且 (n + 1)a n +1 ? na n + a n + 1 a n = 0( n = 1,2,3,…)

则它的通项公式是 a n = 16.下面有五个命题:



⑴函数 y = sin 4 x ? cos 4 x 的最小正周期是 π ; ⑵终边在 y 轴上的角的集合是 ?α | α =

? ?

kπ ? , k ∈ Z? ; 2 ?

⑶在同一坐标系中,函数 y = sin x 的图象和函数 y = x 的图象有三个公共点; ⑷把函数 y = 3 sin( 2x +

π π ) 的图象向右平移 个单位得到 y = 3 sin 2x 的图象; 3 6

第 2 页 共 6 页

⑸函数 y = sin( x ?

π ) 在[ 0, π ]上是减函数。 2

其中,真命题的编号是_______(写出所有真命题的编号) 。 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设函数 f ( x ) =| x ? a | +3x ,其中 a>0。 ⑴当 a=1 时,求不等式 f ( x ) ≥ 3x + 2 的解集; ⑵若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 {x | x ≤ ?1} ,求 a 的值。

18. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x cos 2 值。 ⑴求 ? 的值;

? + cos x sin ? ? sin x (0< ? < π )在 x = π 处取最小 2

⑵在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a = 1 , b = 求角 C。

2 ,f (A) =

3 , 2

19. 设 {a n } 是等差数列, {b n }是各项都为正数的等比数列, 且 a1 = b1 = 1 , a 3 + b 5 = 21 ,

a 5 + b 3 = 13 。
⑴求 {a n } 、 {b n }的通项公式; ⑵求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n 。 ?bn ?

20. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD, 侧棱 PA=PD= 2 , 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB ⊥ AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。 ⑴求证:PO ⊥ 平面 ABCD; ⑵求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; ⑶线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为

3 ?若存 2

第 3 页 共 6 页

在,求出

AQ 的值;若不存在,请说明理由。 QD

21.如图,倾斜角为 α 的直线经过抛物线 y 2 = 8x 的焦点 F,且与抛物线交于 A , B 两点。 ⑴求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; ⑵若 α 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P, 证明: | FP | ? | FP | cos 2α 为定值,并求此定值。

22. 已知函数 f ( x ) = ax +

b + c ( a >0) 的图象在点 (1, f (1) ) x

处的切线方程为 y = x ? 1 。 ⑴用 a 表示出 b , c ; ⑵若 f ( x ) ≥ ln x 在 [1,+∞ ) 上恒成立,求 a 的取值范围; ⑶证明: 1 +

1 1 1 n + + L + > ln(n + 1) + 2 3 n 2(n + 1)

(n ≥ 1) 。

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