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2012年浙江高考数学(理科)试题解析


2012 年浙江高考数学(理科)试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= B A (1,4) B (3,4) C (1 ,3) 解析:B ={x|-1≤x≤3}, CRB={x|x>3 或 x<-1} D (1,2)∪(3,4)

2. 已知 i 是虚数单位,则 A 1-2i 解析: B 2-i

3?i = 1? i

D D 1+2i

C 2+i

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) ? ? 1 ? 2i 1? i 1? i

3. 设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的 A A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析: “直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的充要条件是“a=1 或 a=-2” 。 4.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左 平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是 A

解析:y=cos2x+1 伸长 2 倍得到 y=cosx+1,想左平移得到 y=cos(x+1)+1,向下平移 1 个 单位得到 y=cos(x+1) 。 5.设 a,b 是两个非零向量 。C A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 解析:由图可知它们是共线的,故应为 C。

6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 D
2 解析:第一种:奇奇偶偶 C5 ? 4 C2 4 第二种:奇奇奇奇 C4 4 第三种:偶偶偶偶 C5

7.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错误的是 A.若 d<0,则列数﹛Sn﹜有最大项 C B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N * , 均有Sn ? 0 D. 若对任意 n ? N * , 均有Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列 解析:举特例,数列﹛Sn﹜为-10,-7,-4,-1,2,4?? [来源:学_科_网]

x y2 8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点, a b
直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别教育 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M, 若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 B[来源:学科网] A.

2

2 3 3

B

6 2

C..

2

D.

3

b ? ? y ? c ( x ? c) ac bc -ac bc ? 可得Q( , ),同理P( , ) ? b c-a c-a c+a c+a 解析: ? y? x ? a ? 而M(3C,0),由 MQ ? MP 可得答案为B.
9.设 a 大于 0,b 大于 0. A

A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b C.若 2a-2a=2b-3b, 则 a>b

B.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

解析:可看作 f ( x) ? 2x ? 2 x,( x ? 0) 和 g ( x) ? 2x ? 3x,( x ? 0) 函数,可知它们都是递增函 数,结合图像可知选 A。 [来源:学。科。网] 10. 已知矩形 ABCD,AB=1, BC= 。 将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,

在翻折过程中。 C[来源:学科网 ZXXK] A.存在某个位置,使得 直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直 线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , ,

解析:

过A作BD的垂线交与E点,连结EC,若AC ? BD, 则BD ? 平面AEC, 那么BD ? EC, 这是不可能的。

若AD ? BC, 而CD ? BC, 那么BC ? AC, 而这是不可能的。
故选择 C [来源:学科网 ZXXK]

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm) 如图所示,则该三棱锥的体积等于__1___cm3.

解析:这是一个三棱锥,高是 2,底面是就是俯视图。

12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是_____1/120_____。

解析: 13.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn。若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=_____3/2______。 解析: ?

?S2 =3a 2 +2 两式相减可得2a 4 +3a 2 =a 3,即2q2 ? q ? 3 ? 0 。 ?S4 =3a 4 +2
2

14.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +??+a5(1+ x)5,其中 a0,a1,a2,?a5 为实数,则 a3=______10______。
5 4 4 解析: a5C5 x5 ? x5可得a5 =1 ,(a5C5 +a4C4)x4的系数为0,故a4 =-5,同理可得 3 3 3 a3C3 +a4C4 +a5C5 =0,可得a3 =10.

15.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB?AC =___-16__.

??? ??? ? ?

解析:不妨把它看成一个等腰三角形,则

??? ???? ??? ???? ? ? AB?AC ? AB AC cos ?BAC ? 34(2cos 2 ?BAD ? 1) =-16

16.定义:曲线C上 的点到直线l的距离的最小值 称为曲线C到直线l的距离,已知曲线 C1 :

y ? x2 ? a 到直线l:y=x的距离等于曲线 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线l :y=x的距离,则实
数a=___9/4_。 解析: y ? x2 ? a 到直线l:y=x的距离,只需求出切点P,通过求导得到 P ( ,

1 1 ? a ) ,得到P 2 4

a2 ?
点到直线l的距离为

1 4

2
得a ?

,圆到直线的距离最近就是圆心到直线l的距离为 2 2 ,可解

9 . 4

17.设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=_____3/2_____。 解析: 把a看作一个自变量,则原式等价于(xa-x-1)(-xa+x -1)? 0,x>0,a ? R.
2

[来源:Z.xx.k.Com]

考虑特殊情形,它们刚好相交于 x 轴上的 B 点,则

x ? 1 x2 ?1 ? ,解得 x=2 或 x=-1(舍) x x

所以 a=

x ? 1 2 ?1 3 ? ? . x 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。[来 源:学科网 ZXXK]

18.(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 cosA= sinB= 5 cos C。 (1)求 tanC 的值;[来源:Z,xx,k.Com] (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 [来源:Z*xx*k.Com]

2 , 3

19.(本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分, 取出一个黑球得 1 分。现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机 变量 X 为取出此 3 球所得分数之和。[来源:学科网] (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X) 。

20.(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, ∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点。

(1)证明:MN∥平民啊 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面 角的余弦值。

21.(本题满 分 15 分)如图,椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 2 2 a b

P(2,1)的距离为 10 ,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直 .... 线OP平分。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△APB 面积取最大值时直线 l 的方程。

2 2.(本题满分 14 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b。 (Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时。 (1)函数 f(x)的最大值为 2a ? b ? a ; (2) f ( x) ? 2a ? b ? a ? 0 ; (Ⅱ)若-1 ? f(x) ? 1 对 x∈ ?0,1? 恒成立,求 a+b 的取值范围。


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