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(人教b版)数学必修三练习:2.3.2两个变量的线性相关(含答案)


第二章

2.3

2.3.2

一、选择题 1. 设某大学的女生体重 y(单位: kg)与身高 x(单位: cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, ^ yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg [答案] D [解析] 本题主要考查线性相关及回归方程. D 选项断定其体重必为 58.79kg 不正确. 注意回归方程只能说“约”、 “大体”而不能说“一定”、 “必”. ^ 2.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y=150+60x,下列判断正确的是( A.劳动生产率为 1 000 元时,工资为 210 元 B.劳动生产率提高 1 000 元,则工资平均提高 60 元 C.劳动生产率提高 1 000 元,则工资平均提高 210 元 D.当月工资为 270 元时,劳动生产率为 2 000 元 [答案] B ^ ^ ^ [解析] 由回归系数b的意义知,b>0 时,自变量和因变量按同向变化(正相关),b<0 时自变量和 ^ ^ 因变量按反向变化(负相关),回归直线斜率b=60,所以 x 每增加 1,y平均增加 60,可知 B 正确. 3.下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的回归直线必过点( x y A.(2,2) C.(1,2) [答案] D [解析] - 0+1+2+3 - 1+3+5+7 - - x= =1.5, y = =4,回归直线必过点( x , y ),故选 D. 4 4 0 1 1 3 2 5 3 7 ) ) )

B.(1.5,2) D.(1.5,4)

4.(2013· 湖北文,4)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x、y 之间的相关关系,并求得回归 直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423;

^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ [答案] D [解析] 本题考查的是线性相关关系及回归直线方程. ^ 若 y 与 x 负相关,则y=bx+a 中 b<0,故①不正确,②正确; ^ 若 y 与 x 正相关,则y=bx+a 中 b>0,故③正确,④不正确; 故选 D. 5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 ) ) B.②③ D.①④

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 [答案] B [解析] 本题主要考查了回归分析及回归直线方程. ^ ^ 依题意: x =3.5, y =42,又b=9.4,∴42=9.4×3.5+a. ^ ^ ^ ∴a=9.1,∴y=9.4x+9.1,当 x=6 时,y=65.5,故选 B. 6.以下关于线性回归的判断,正确的有________个.( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; ②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的 A、B、C 点; ^ ^ ③已知回归直线方程为y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y的估计值为 11.69; ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. A.0 个 B.1 个

C.2 个 [答案] D

D.3 个

[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有按最小二乘 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 法求得回归系数a、b得到的直线y=ax+b才是回归直线,∴①不对;②正确;将 x=25 代入y=0.50x ^ -0.81,解得y=11.69,∴③正确;④正确,∴选 D. 二、填空题 ^ 7.若施化肥量 x 与小麦产量 y 之间的回归直线方程为y=250+4x,当施化肥量为 50kg 时,预计 小麦产量为________. [答案] 450kg [解析] ^ 将 x=50 代入回归直线方程得y=250+4×50=450,故预计小麦产量为 450kg.

8.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 ^ x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:y=0.254x+0.321. 由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. [答案] 0.254 [ 解析 ] 本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义.由题意知 [0.254(x + 1) + 0.321] -

(0.254x+0.321)=0.254. 三、解答题 9.要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一年级学生中随 机抽取 10 名学生,分析他们入学的数学成绩(x)和高一年级期末数学考试成绩(y)(如下表): 编号 x y (1)画出散点图; (2)判断入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)是否有线性相关关系; (3)如果 x 与 y 具有线性相关关系,求出回归直线方程; (4)若某学生入学数学成绩为 80 分,试估计他高一期末数学考试成绩. [解析] (1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图如下: 1 63 65 2 67 78 3 45 52 4 88 85 5 81 92 6 71 89 7 52 73 8 99 98 9 58 56 10 76 75

(2)从散点图可以看出这两组变量具有线性相关关系.

^ ^ ^ - - (3)设所求的回归直线方程为:y=a+bx,经计算可得: x =70, y =76.3, - - ?xiyi-10 x y - xi2-10 x 2 i=1
10

^ b=

i=1

?

10

=0.787 389,

^ - ^- a= y -b x =21.182 78, 因此所求的回归直线方程为 ^ y=21.182 78+0.787 389x. (4)把某学生入学数学成绩 80 分,代入回归直线方程可得:y≈84 分.即这个学生高一期末数学成 绩预测值为 84 分.

一、选择题 1.观测两相关变量得如下数据: x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 ) ^ B.y=x ^ D.y=x+1 -4 -3 -5 -1 5 1 4 5 3 3 2 7 1 9

则两变量间的回归直线方程为( ^ 1 A.y= x-1 2 1 ^ C.y=2x+ 3 [答案] B

^ ^ ^ [解析] 由回归系数公式可算出b=1,a=0.故回归直线方程为y=x,故选 B.也可以根据回归直线 - - 方程过( x , y )代入求解. 2.某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查,根据统计结果,该生运用所学知 ^ 识得到气温 x℃与当天销售量 y(个)之间的线性回归方程为:y=-2.352x+147.767,当 x=2℃时可卖 出热饮杯的杯数约为( A.109 C.134 [答案] D ^ [解析] 把 x=2℃代入线性回归方程得y=-2.352×2+147.767≈143.故选 D. 二、填空题 3.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是________. ) B.128 D.143

^ [答案] y=1.23x+0.08 ^ ^ ^ - - ^ - - [解析] 设回归直线方程为y=bx+a,( x , y )是样本点的中心.依题意,b=1.23, x =4, y = ^ - ^- ^ 5,所以a= y -b x =0.08,所以回归直线的方程是y=1.23x+0.08. 4.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天的气 ^ 温(如下表),并求得线性回归方程为y=-2x+60. 气温(℃) 用电量(度) c 24 13 34 10 38 -1 d

但后来不小心表中数据 c、d 丢失,那么由现有数据知 2c+d=________. [答案] 100 [解析] 22+c - 1 96+d - 1 由题意得, x = (c+13+10-1)= , y = (24+34+38+d)= ,又线性回归 4 4 4 4

22+c 96+d ^ 方程为y=-2x+60,故-2× +60= ,解得 2c+d=100. 4 4 三、解答题 5.假设学生在初中的数学成绩和高一的数学成绩是线性相关的.现有 10 名学生的初中数学成绩 (x)和高一数学成绩(y)如下: x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72

求由此得到的回归直线的斜率.
10 - - [解析] 求斜率即求回归方程中的 b,按照公式进行计算.因为 x =71,?x2 i =50 520, y =72.3, i=1

i=1

?xiyi=51 467,所以b=
斜率为 1.218 2.

10

^

51 467-10×71×72.3 ≈1.218 2. 50 520-10×712

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据. x y (1)请画出上表数据的散点图; ^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预 测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

[解析] (1)由题设所给数据,可得散点图如下图.

(2)由对照数据,计算得: ?i2 i =86,
i=1

4

- 3+4+5+6 - 2.5+3+4+4.5 x= =4.5, y = =3.5, 4 4 已知 ?xiyi=66.5,
i=1 4

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

^ b=

i=1

?xiyi-4 x ·y ?xi2-4 x 2
4

4

-- 66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 86-4×4.52



i=1

^ - ^- a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. 因此,所求的线性回归方程为 y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗, 得降低的生产能耗为: 90-(0.7×100 +0.35)=19.65(吨标准煤).


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