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编号45 2.1.2求曲线的方程


2.1.2求曲线的方程

复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念 2. 练习: (1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______

1.解析几何与坐标法: 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫 解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研究几何 问题的一门数学学科.

2.平面解析几何研究的主要问题是:

(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质。

求曲线的方程

探究问题一 直接法求曲线方程 例1、设A、B两点的坐标是(-1 , -1 )、( 3 , 7 )

求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 ( 2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) .
2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解法二:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点 P ? ?M | MA |?| MB |? ,也就是点M属于集合 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程 ①的解,即: x+2y1-7=0 x1=7-2y1

点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13);

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2 ? ( 4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,

即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

这种求曲线的方程的方法叫:直接法

求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐 标,及相关点的坐标; 二、(限)找条件,由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.

以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . ..

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点 Y

? MA ? MB ? 2
2

2)列式(限)

?M ? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x o X B 8 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是
2

A(0, 2) ?

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到 一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线 的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等, 因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.

探究问题二 几种常见求轨迹方程的方法

(1)直接法(直译法); 适用范围:任何情况 (2)定义法; 适用范围:所给的几何条件中恰好已知曲线
的定义,且可以直接用这些曲线的定义写出这 些曲线的方程。
例、求到坐标原点的距离等于 2 的轨迹方程. x2+y2=4

例3:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程.

Y

p

M A X

o

例3:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为 ? x, y ? , 点P的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , 则 ?2 x ? x0 ? 3, ? x0 ? 2 x ? 3, 2 2 ? 又 ? x , y 在圆 x ? y ? 1上, ? 0 0? ? ? ? 2 y ? y0 , ? y0 ? 2 y. 3 2 1 2 2 2 ? ? 2x ? 3? ? 4y ? 1,? ( x ? ) ? y ? . 2 4

3.相关点法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可 用x、y表示,则将Q点坐标表达式代 入已知曲线方程,即得点P的轨迹方 程.这种方法称为相关点法(或代入 法 ).

练习1、已知线段AB, B点的坐标(6,0),A点在曲 线y=x2+3上运动,求AB的中点M的轨迹方程. 解;设AB的中点M的坐标为(x,y), 又设A(X1,Y1),则
x1 + 6 ? x= ? ? x1 = 2x - 6 ? 2 ∴? ? y ? y1 = 2y ?y = 1 ? 2 ?
10

y

8

y=x2+3

6

A
4

点A(X1,Y1)在曲线y=x2+3上,则 y1=x1
2+3
2

M

代入,得 2y=(2x-6)2+3
整理, 得AB的中点的轨迹方程为 3 2 y = 2?x - 3? + 2

O
-2

B

x

-4

练习 2 :△ ABC 的顶点 B 、 C 的坐标分别为 (0,0) 、 (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
法一 : 设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 x ? ( x1 , y1 ) x1 ? ? ? 2 由中点坐标公式可知 ? ?y ? y 1 A ? ? 2

y

( x, y )

∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 ? 4)2 ? y12 ? 9

B

化简整理得 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 0 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 . ? y ? 0?

?

D

? ? ? x C M

?

注: 这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(转移代入法)

法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质(定义法)

求轨迹方程的常见方法:

①直接法 ② 定义法 ③相关点法 ④参数法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程。 3.相关点法:这个方法又叫代入法.即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x, y)依赖于P’(x’,y’),那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中,得到 动点P的轨迹方程.

4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动点 坐标x,y,得出轨迹的参数方程, ? x ? f (t ) ? 消去参数,即得其普通方程。 ? y ? g (t ) 例4:(P37 练习第3题)已知点C的坐标是(2,2), 过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直 线CA垂直的直线与y轴交于点B ,设点M是线 段AB的中点,求点M的轨迹方程。
y

归纳:选参数时必须首先考虑 到制约动点的各种因素,然后 再选取合适的参数,常见的参 数有角度、直线的斜率、点的 坐标、线段长度等。

B
M

C

0

A

x

例 4:( P 练习第 3 题)

37

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程.

活用几何性质来找关系

y

B

思维漂亮!

M
0

( x, y ) C
A

?

x

小结:
1.求曲线方程的几种常见方法;
2.求曲线方程的一般步骤; 3.运用数形结合、化归与转化等思想 方法。

练习1、已知?ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(?5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m ? 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
直线 AC 的斜率 kAC=
y (x≠-5) ; x?5

(直接法) 解:设 C(x,y) .由已知,得

直线 BC 的斜率 kBC=
y (x≠5) ; x?5

由题意,得 k ACkBC=m, y y 所以, × =m(x ≠±5) . x?5 x?5 x2 y2 写成 - =1(x≠±5) .
25 25m

( x ? 3) ? y ? 48
2 2

x 2 ? y 2 ? 25


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