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江苏省金陵中学2010届高三上学期期中考试(数学)


w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

江苏省金陵中学 2010 届高三上学期期中考试 数 学 试 题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 A = {x | ?

1 < x < 2}, B = {x | x 2 ≤ 1}, 则A U B = 2




2.函数 f ( x) = 1 ? log 3 x 的定义域是 3.复数 i 2 (1 ? 2i ) 的实部是 。

4.已知角 α 的终边上一点的坐标为 (sin

2π 2π , cos ), 则角α 的最小正值为 3 3



5.已知向量 a,b 满足 | a |= 1, | b |= 2, a与b的夹角为60 o ,向量c = 2a + b. 则向量 c 的模为 。 6.为了在运行如右所示的伪代码后输出的 y 值为 16,应输入 的整数 x = 。 7.在等差数列 {a n }中, a3 = 7, a 5 = a 2 + 6, 则a 6 = 。

? x ? y + 6 ≥ 0, ? 8.不等式组 ? x + y ≥ 0, 表示的平面区域的面积为 ?x ≤ 3 ?
9.若 0 < x <



π
2

, 则函数y = sin x + cos( x ?

π
6

) 的最大值为



10.不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共有 个。 11.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以 1,2,3,4,5,6) 。连续抛掷 2 次,则 2 次向 上的数之和不小于 10 的概率为 。 12.已知周期函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x ) 的最小正周期为 3, f (1) < 2,

f (2) = m, 则m 的取值范围为
13.若椭圆



x2 y2 a + 2 = 1(a > b > 0)上横坐标为 的点到左焦点的距离大于它到右准线的 2 3 a b


距离,则椭圆离心率 e 的取值范围是

1 x 14.已知函数 f ( x ) = ( ) ? log 2 x,0 < a < b < c, f ( a ) f (b) f (c ) < 0, 实数d是函数f ( x ) 3
的一个零点。给出下列四个判断: ①d < a ②a > b 。 其中可能成立的个数为 ③d < c ④d > c

1

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) 15. (本题 14 分)已知平面直角坐标系 xOy中, A(4 + 2 3 ,2), B ( 4,4) ,圆 C 是△OAB 的外 接圆。 (1)求圆 C 的方程; (2)若过点(2,6)的直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程。

16. (本题 14 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, DC//AB,∠BAD=90°,且 AB=2AD=2DC=2PD=4(单位:cm) 为 PA 的中点。 ,E (1)证明:DE//平面 PBC; (2)证明:DE⊥平面 PAB;

17. (本题 16 分)已知 f ( x ) = 4m sin x ? cos 2 x ( x ∈ R ). (1)若 m = 0, 求f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f (x ) 的最大值为 3,求实数 m 的值。

2

18. (本题 16 分)某机床厂今年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第 一年维修保养、费用 12 万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利总额 为 y 元。 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利? (3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床。 问哪种方案处理较为合理?请说明理由。

19. (本题 16 分)将数列 {a n } 中的所有项按每一年比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2,a 3 a 4,a 5,a 6 a7,a8,a9,a10 …… 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 {bn } ,b1 = a1 = 1 . Sn 为数列 L

{bn } 的前 n 项和,且满足
(Ⅰ)证明数列 ?

2bn = 1(n ≥ 2) . 2 bn S n ? S n

?1? ? 成等差数列,并求数列 {bn } 的通项公式; ? Sn ?
4 时,求上表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和. 91

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公 比为同一个正数.当 a81 = ?

3

20. (本题 14 分)设函数 f ( x ) = p ( x ? 底数)

1 2e ) ? 2 ln x, g ( x) = .(p 是实数,e 是自然对数的 x x

(1)当 p=2 时,求与函数 y = f (x ) 的图象在点 A(1,0)处相切的切线方程; (2)若函数 f (x ) 在其定义域内单调递增,求实数 p 的取值范围; (3)若在[1,e]上至少存在一点 x0 , 使得f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范围。

21.[选做题]在下面 A,B,C,D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分。 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连结 AD 交⊙O 于点 E,连结 BE 与 AC 交于点 F,判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由。

B.选修 4—2:短阵与变换

?1 已知矩阵 M = ? 2 ? ?0

? 0? , 矩阵 M 对应的变换把曲线 y = sin x 变为曲线 C, C 的方程。 求 ? 2?

4

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4 sin(θ +

π
4

) ,求曲线 C 的普通方程。

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x, y, z ∈ R , 且x + y + z = 3, 求x 2 + y 2 + z 2 的最小值。

[必做题] 22. (本题 10 分)利用空间向量的方法解决下列问题:在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点。 (1)求 AE 与 D1F 所成的角; (2)证明 AE⊥面 A1D1F。

23. (本题 10 分)如图,若 M 是抛物线 y 2 = x 上的一定点(M 不是顶点) ,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB。证明: 直线 EF 的斜率为定值。

5

参考答案
一、填空题 1. {x | ?1 ≤ x < 2} 6.—5 11. 2. (0,3] 3. (—1) 8.36 4.

11π 6

5. 2 3 10.7

7. a 6 = a1 + 5d = 13 12. (?2,+∞)

9. 3 14.5

1 6

13. ( 7 ? 2,1)

二、解答题 15.解: (1)设圆 C 方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,

?F = 0 ? 则 ?4 D + 4 E + F + 32 = 0 ? ?(4 + 2 3 ) D + 2 E + F + 32 + 16 3 = 0
解得 D=—8,E=F=0。 所以圆 C: ( x ? 4) 2 + y 2 = 16.

………………4 分

………………8 分

(2)当斜率不存在时, l : x = 2被圆截得弦长为4 3 , 符合题意;…………10 分 当斜率存在时,设直线 l : y ? 6 = k ( x ? 2), 即kx ? y + 6 ? 2k = 0, 因为被圆截得弦长为 4 3 ,所以圆心到直线距离为 2, 所以

| 4k + 6 ? 2k | 1+ k
2

4 = 2, 解得k = ? , 3
4 ( x ? 2), 即4 x + 3 y ? 26 = 0. ………………14 分 3

所以直线 l : y ? 6 = ?

故所求直线 l为x = 2, 或4 x + 3 y ? 26 = 0. 16.解: (1)设 PB 的中点为 F,连接 EF、CF,EF//AB,DC//AB, 所以 EF//DC,且 EF=DC=

1 AB, 2

故四边形 CDEF 为平行四边形, 可得 ED//CF。 …………4 分

6

ED ? 平面 PBC,CF ? 平面 PBC, 故 DE//平面 PBC。 ………………7 分 (2)PD⊥平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD, 所以 AB⊥PD, 又因为 AB⊥AD,PD∩AD=D, AD ? 平面 PAD,PD ? 平面 PAD, 所以 AB⊥平面 PAD。 ………………10 分 ED ? 平面 PAD,故 ED⊥AB, 又 PD=AD,E 为 PA 之中点,故 ED⊥PA;…………12 分 PA∩AB=A,PA ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, 所以 DE⊥平面 PAB。 …………14 分 17.解: (1)当 m = 0时, f ( x) = ? cos 2 x , ………………2 分 令 2kπ ≤ 2 x ≤ 2kπ + π ( k ∈ Z), 得kπ ≤ x ≤ kπ + 因此 f ( x ) = ? cos 2 x的单调增区间为[ kπ , kπ +

π
2

(k ∈ Z).
…………6 分

π

2

](k ∈ Z).

(2) f ( x) = 4m sin x ? cos 2 x = 2 sin 2 x + 4m sin x ? 1 = 2(sin x + m) 2 ? ( 2m 2 + 1) ………………8 分 令 t = sin x, 则g (t ) = 2(t + m) 2 ? ( 2m 2 + 1)( ?1 ≤ t ≤ 1) 。 ①若 ? m ≤ 0, 则在t = 1时, g (t )取最大值1 + 4m. 由?

?1 + 4m = 3 1 , 得m = ; ………………12 分 2 ?? m ≤ 0

②若 ? m > 0, 则在t = ?1时, g (t )取最大值1 ? 4m. 由?

?1 ? 4m = 3 1 , 得m = ? ; ………………16 分 2 ?? m > 0 1 . 2
+

综上, m = ±

18.解: (1)y= -2x2+40x-98, x ∈ N (2)由-2x2+40x-98>0

………………4 分

解得, 10 ? 51 < x < 10 + 51 ,且 x ∈ N ,
*

所以 x = 3,4, L ,17, 故从第三年开始盈利。 (3)由 ………………10 分

98 y = 40 ? (2 x + ) ≤ 40 ? 2 2 × 98 = 12 ,当且仅当 x=7 时“=”号成立, x x
7

所以按第一方案处理总利润为 ? 2 × 7 + 40 × 7 ? 98 + 30 = 114 (万元)……12 分
2

由 y= -2x2+40x-98= -2—- (x-10)2+102 ≤ 102 , 所以按第二方案处理总利润为 102+12=114(万元) ………………14 分 由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理. …………16 分 19.证明: (Ⅰ)由已知

2bn = 1, bn S n ? S n2

又 S n = b1 + b2 + L + bn , 所以

2( S n ? S n ?1 ) = 1 , ………………2 分 2 ( S n ? S n ?1 ) S n ? S n



2( S n ? S n ?1 ) 1 1 1 = 1 ,所以 ? = (n ≥ 2) , ………………4 分 ? S n ?1S n S n S n ?1 2

又 S1 = b1 = a1 = 1 . 所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列.………………6 分 2 ? Sn ?
1 1 n +1 2 = 1 + (n ? 1) = ,即 S n = .…………8 分 Sn 2 2 n +1 2 2 2 ? =? . n +1 n n(n + 1)

由上式可知

所以当 n ≥ 2 时, bn = S n ? S n ?1 =

?1,    n = 1, ? ………………10 分 bn = ? 2 ? ,n ≥ 2. ? n(n + 1) ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q > 0 . 因为 1 + 2 + L + 12 = 78 , 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 {an } 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列, 因此 a81 = b13 × q = ?
2

4 91

又 b13 = ?

2 , 13 × 14
………………14 分

所以 q = 2 .

8

记表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和为 S , 则S =

bk (1 ? q k ) 2 1 ? 2k 2 =? × = (1 ? 2 k )(k ≥ 3). 1? q k (k + 1) 1 ? 2 k (k + 1)
p 2 ? , x2 x
………………2 分

…………16 分

20.解: (1)Q f ′( x) = p +

当p = 2时, 点A(1,0)在函数y = f ( x)图象上, ∴ f ′(1) = 2. 则y = f ( x)在该点处的切线方程为y = 2( x ? 1),
即 2 x ? y ? 2 = 0. (2) f ′( x ) = Q ………………5 分

px 2 ? 2 x + p , 要使f ( x)为单调增函数, 须f ′( x) ≥ 0在(0,+∞) 恒成立, x2

即px 2 ? 2 x + p ≥ 0在(0,+∞)恒成立, 即p ≥ 2 1 x+ x 2x = x +1
2

2 1 x+ x

在(0,+∞)恒成立,



≤ 1, 所以当p ≥ 1时, f ( x)在(0,+∞)为单调增函数;LLL10分

(3)因 g ( x ) =

2e 在[1, e]上为减函数, 所以g ( x) ∈ [2,2e]. x p 2 ①当 p ≤ 0时, f ′( x ) = p + 2 ? < 0对于x ∈ [1, e] 恒成立, x x
则f ( x)在[1, e]上递减, 所以f ( x) max = f (1) = 0 < 2, 不合题意;

②当 p ≥ 1 时,由(2)知 f ( x)在[1, e] 上递增,

f ( x) min = f (1) < 2, 又g ( x)在[1, e]上为减函数, 故只需f ( x) max > g ( x) min , 1 4e 即f (e) = p (e ? ) ? 2 ln e > 2, 解得p > 2 ; e e ?1
③当 0 < p < 1时,因x ?

1 ≥ 0, x

1 1 所以f ( x) = p ( x ? ) ? 2 ln x ≤ x ? ? 2 ln x x x

9

由(2)知 x ?

1 ? 2 ln x在[1, e] 上为增函数, x 1 1 1 2 所以 x ? ? 2 ln x ≤ e ? ? 2 ln e < 3 ? ? 2 = < 2 ,不合题意。 x e 3 3 4e 综上,p 的取值范围为 ( 2 ,+∞) ………………14 分 e ?1

21.A.证明:BE 平面∠ABC。 ∵CD=AC,∴∠D=∠CAD。 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。 ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD。 ………………5 分 ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD。 ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平面∠ABC。 ………………10 分 B.解:设 P ( x, y ) 是所求曲线 C 上的任意一点,它是曲线 y = sin x 上点 P0 ( x0 , y 0 ) 在 矩阵 M 变换下的对应点,

?1 ?x ? ? 则有 ? ? = 2 ? y ? ?0 ?

1 ? ? 0 ? ? x0 ? ? x = x0 ,即 2 , ? ? y0 ? ? ? ? ?y = 2y 2? 0 ?

…………5 分

? x0 = 2 x ? 所以 ? 1 , 又点P0 ( x0 , y 0 )在曲线y = sin x上, ? y0 = 2 y ?
即 y 0 = sin x 0 , 从而

1 y 0 = sin 2 x , 2
………………10 分

所求曲线 C 的方程为 y = 2 sin 2 x. C.解:曲线 C 的极坐标方程

π ρ = 4 sin(θ + ), 可化为ρ = 2 2 (sin θ + cosθ ) , ………………5 分
4
化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 ? 2 2 x ? 2 2 y = 0, 即 (x ?

2 ) 2 + ( y ? 2 ) 2 = 4.

………………10 分

D.解法一:注意到 x, y, z ∈ R , 且x + y + z = 3 为定值, 利用柯西不等式得到 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 12 + 12 ) ≥ ( x × 1 + y × 1 + z × 1) 2 = 9 , ………………5 分 从而 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3, 当且仅当x = y = z = 1 时取“=”号, 所以 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 3。 ………………10 分

10

解法二: 22.解法一(1)设正方体的棱长为 1,

AE ? D1 F = ( AB + BE ) ? ( D1 D + DF ) = AB ? D1 D + AB ? DF + BE ? D1 D + BF ? DF
= AB ? DF + BE ? D1 D =
2 1 1 AB 2 ? D1 D = 0 2 2

所以 AE ⊥ D1 F , 即AE与D1 F 所成的角为 90° …………5 分 (2)由(1)

AE ⊥ D1 F , 又 AE ? A1 D1 = ( AB + BE ) ? A1 D1 = AB ? A1 D1 + BE ? A1 D1 = 0,
所以 AE ⊥ A1 D1 ,又 D1 F I A1 D1 = D1 , 所以 AE⊥平面 A1D1F. ………………10 分 解法二(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0) , E(1,1,

1 1 ) ,F(0, ,0) , 2 2 1 2

D1(0,0,1)D(0,0,0)

1 ,?1). 2 1 1 可得 AE ? D1 F = (0,1, ) ? (0, ,?1) = 0, 2 2
所以 AE = (0,1, ), D1 F = (0, 故 AE ⊥ D1 F即AE与D1 F 所成的角为 90° (2) DA = (1,0,0) = D1 A1 , 且 D1 A1 ? AE = (1,0,0) ? (0,1, ) = 0 所以 AE ⊥ A1 D1 , 又 D1 F I A1 D1 = D1 , 故 AE⊥平面 A1D1F.
2

1 2

…………10 分

23.证明:设 M ( y 0 , y 0 ), 直线ME的斜率为k ( k > 0), 方程为 y ? y 0 = k ( x ? y 0 ).
2

则直线 MF 的斜率为 ? k , 方程为y ? y 0 = ? k ( x ? y 0 ).
2

由?

2 ? ? y ? y 0 = ?k ( x ? y 0 ), ?y2 = x ?

11

消去x得ky 2 ? y + y 0 (1 ? ky 0 ) = 0, 解得y E = 1 ? ky 0 (1 ? ky 0 ) 2 , 所以x E = , k k2 (1 ? ky 0 ) 2 1 ? ky 0 , ). k k2
………………5 分

点 E 的坐标为 (

(1 + ky 0 ) 2 1 + ky 0 同理可得,点 F 的坐标为 ( , ). ?k k2
1 ? ky 0 1 + ky 0 2 ? y ? yF 1 k ?k = E = = k =? , 2 2 ? 4ky 0 xE ? xF 2 y0 (1 ? ky 0 ) (1 + ky 0 ) ? k2 k2 k2
………………10 分

所以 k EF

所以直线 EF 的斜率为定值。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

12



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