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东城2013-2014高二第一学期期末数学文科


东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.设命题 p : ?x ? R, x ? 2014 ,则 ?p 为(
2

) B. ?x ? R, x ? 2014
2

A. ?x ? R, x ? 2014
2

C. ?x ? R, x ? 2014
2

D. ?x ? R, x ? 2014
2

2.直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 在 y 轴上的截距为( A. 3 3.双曲线 B. 2

) C. ?2 ) C. y ? ? 2 x ) D. y ? ? x D. ?3

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为( 2 2
B. y ? ?2 x

A. y ? ?4 x

4.如图,函数 y ? f ( x) 在 A , B 两点间的平均变化率是( A.1 B.-1 C.2 D.-2

5. 设点 P(a, b, c) 关于原点的对称点为 P? ,则 PP ? 等于( A. 2 a ? b ? c
2 2 2 2


2 2

B. a ? b ? c D. 2 a ? b ? c ( )

C. a ? b ? c

6.若图中直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,则 A. k1 < k 2 < k3 C. k3 < k 2 < k1 B. k1 < k3 < k 2 D. k3 < k1 < k 2

7.已知 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, B1 , B2 分别为椭圆的上、下顶点,若△ PB1 B2 的面积为 6,则 16 9
) B.2 C.4 D.6 )

满足条件的点 P 的个数为( A.0

8. “ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2与圆(x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 9.已知 l 表示空间一条直线,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ,? 表示空间两个不重合的平面,有以下三个语句:① l ? ? ;② l ∥ ? ;
1

③ ? ? ? .以其中任意两个作为条件,另外一个作为结论,可以得到三个命题,其中正确命题的个数是 ( ) A.0
2 2

B.1

C.2

D.3

10.若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 关于直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和直线 l 2 ; x ? 3 y ? 0 都对称,则 D ? E 的 值为( A. ? 4 ) B. ? 2 C. 2 D. 4 )

11.若函数 f ( x) ? ax ? ln x 在 ( ,?? ) 内单调递增,则 a 的取值范围为( A. [2,??) C. (??,0] 12. 抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线
2

1 2

B. (??,2] D. (??,0] ? [2,??)

x2 点 F 为抛物线的焦点, 若△ FAB ? y 2 ? 1(a ? 0) 交于 A, B 两点, 2 a
) C. 5 D. 6

为直角三角形,则双曲线的离心率为( A.

5 5
3

B.

6 5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.将答案填在题中横线上. 13.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 3) 处的切线的斜率为 . .

14.若直线 x ? (m+1) y ? 2 ? m 与直线 mx ? 2 y ? ?8 互相垂直,则 m 的值为

15.已知 F1 , F2 是椭圆 长为 8 ,则 k 的值为

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,若△ ABF2 的周 k ? 2 k ?1
.

16.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 全等的等腰直角三角形,则这个几何体的体积为 .

17.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 P , Q 两点,且 ?POQ ? 120 (其中 O 为原点),则 k 的值为
2 2
?

. 18.已知椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a 2 ? b2 ? 0 )的离心率相

同,且 a1 ? a2 .给出如下三个结论: ①椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点; 其中所有正确结论的序号是________.
2



a1 b1 ? ; a2 b2

2 2 2 2 ③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (本题满分 8 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面与正方形 ADPQ 所在的平面相互垂直, E 是 QD 的中点. (I)求证: QB ∥平面 AEC ; (II)求证:平面 QDC ⊥平面 AEC .

Q

P

E

A B C

D

20. (本题满分 8 分) 已知圆 M 的圆心在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,且与 x 轴交于两点 A(?5, 0) , B(1,0) . (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)求过点 C (1, 2) 的圆 M 的切线方程.

3

21. (本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? bx ? c .
3 2

(Ⅰ)当 c ? 0 时, f ( x) 的图象在点 (1,3) 处的切线平行于直线 y ? x ? 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 a ?

3 , b ? ?9 时, f ( x) 在点 A, B 处有极值, O 为坐标原点,若 A, B, O 三点共线,求 c 的值. 2

22. (本题满分 9 分) 已知曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (m ? R ) . m ? 2 3? m

(Ⅰ)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)设 m ? 2 ,过点 D(0, 4) 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点, O 为坐标原点,若 ?OMN 为直角, 求直线 l 的斜率.

4

东城区 2013—2014 学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1.A 7.C 2. C 8.A 3.D 9.B 4.B 10.D 5.A 11.A 6.B 12.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分. 13. 1 14. ?

2 3

15. 2

16.

64 3

17. ? 3 或 3

18. ①②

三、解答题:本大题共 4 个小题,共 34 分. 19. (本题满分 8 分) 解:(I)连接 BD 交 AC 于 O ,连接 EO . 在三角形 BDQ 中, E , O 分别为 QD 和 BD 的中点, 所以 EO ∥ QB . 又 EO ? 平面 AEC , QB ? 平面 AEC , 所以 QB ∥平面 AEC . ………..………..………..4 分 ………..………..………..2 分

Q

P

E

A B O C

D

(II)因为矩形 ABCD 所在的平面与正方形 ADPQ 所在的平面相互垂直, 平面 ABCD ? 平面 ADPQ = AD , CD ? 平面ABCD , CD ? AD , 所以 CD ? 平面ADPQ . 又 AE ? 平面ADPQ , 所以 CD ? AE . 又因为 AD ? AQ , E 是 QD 的中点, 所以 AE ? QD . 又 QD ? CD ? D ,所以 AE ? 平面QDC . 由 AE ? 平面AEC , 所以平面 QDC ⊥平面 AEC . ………..………..………..8 分 ………..………..………..7 分 ………..………..………..6 分

5

20. (本题满分 8 分) 解: (Ⅰ) 因为圆 M 与 x 轴交于两点 A(?5, 0) , B(1,0) ,所以圆心在直线 x ? ?2 上. 由?

? x ? ?2, ? x ? ?2, 得? 即圆心 M 的坐标为 (-2,1). ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ? y ? 1.
2 2

………..………..2 分

半径 r ? 3 ? 1 ? 10 , 所以圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? (y ? 1) ? 10 .
2 2

………..………..4 分 ………..………..6 分 ………..………..8 分

(Ⅱ)由 C 坐标可知点 C 在圆 M 上,由 kCM ?

1 ,可知切线的斜率为 ?3 . 3

故过点 C (1, 2) 的圆 M 的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .

21. (本题满分 9 分) 解: (Ⅰ) 当 c ? 0 时, f ( x) ? x ? 2ax ? bx .
3 2

所以 f '( x) ? 3x ? 4ax ? b .
2

………..………..2 分

依题意可得 ( f 1 ) =3 , f ?(1) ? 1 ,

即?

?3 ? 4a ? b ? 1, ?a ? 2, 解得 ? ?1 ? 2a ? b ? 3, ?b ? 6.

???????5 分

(Ⅱ)当 a ?

3 , b ? ?9 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? c . 2
2

所以 f '( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1) . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 3 , x2 ? ?1 . 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 变化情况如下表:

???????7 分

x
f '( x) f ( x)

(??, ?1)

?1
0

(?1,3)
?

3
0

(3, ??)

?
?

?
?

5+c

?

?27+c

所以当 x ? ?1 时, f ( x)极大值 ? 5 ? c ;当 x ? 3 时, f ( x)极小值 ? ?27 ? c . 不妨设 A(?1,5 ? c) , B(3, ?27 ? c) . 因为 A, B, O 三点共线,所以 kOA ? kOB . ???????8 分

6

5+c ?27 ? c ,解得 c ? 3 . ? ?1 3 故所求 c 值为 3 .
即 22. (本题满分 9 分) 解: (Ⅰ)若曲线 C :

???????9 分

x2 y2 ? ? 1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则有 m ? 2 ? 3 ? m ? 0 , m ? 2 3? m

解得

1 ? m ? 3. 2

-------------------3 分

x2 (Ⅱ) m ? 2 时,曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1 , C 为椭圆, 4
由题意知,点 D(0, 4) 的直线 l 的斜率存在,所以设 l 的方程为 y ? kx ? 4 ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 . ? y ? kx ? 4 ?
? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,当 ? ? 0 时,解得 k 2 ?
设 M , N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 因为 ?OMN 为直角,所以 kOM ? k ? ?1 ,即 整理得 x1 ? 4 y1 ? y1 .
2 2

------------------5 分

15 . 4

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 , x1 x1
------------------7 分
2





x12 ? y12 ? 1 ,② 4

将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,

解得 y1 ?

2 或 y1 ? ?2 (舍去) , 3

将 y1 ?

y ?4 2 2 ?? 5. 代入①,得 x1 ? ? 5 ,所以 k ? 1 x1 3 3
-------------------9 分

故所求 k 的值为 ? 5 .

7


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