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数学必修5 3.3.2 简单的线性规划问题


第三章

不等式

数学· 必修 5(人教 A 版)

3. 3

二元一次不等式(组)与简单的线 性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题

?基础达标 y≤2x ? ? 1.(2013· 湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1 +2y 的最大值是( ) 5 5 5 A.- B.0 C. D. 2 3 2 答案:C ,则 x

2.变量 x、y 满足下列条件: 2x+y≥12, ? ?2x+9y≥36, ?2x+3y≥24, ? ?x≥0,y≥0. 则使得 z=3x+2y 的值最小的(x,y)是( )

第三章 A.(4,5) C.(9,2) 分析: B.(3,6) D.(6,4)

不等式

本题考查直线线性规划的基础知识, 作出直线包纳范围, 画出可 行域,求解. 解析:画出如图所示的可行域,将 z=3x+2y 平移到点 M(3,6) 有最小值.故选 B. 答案:B

3.已知非负实数 x、y 同时满足 2x+y-4≤0,x+y-1≥0,则 目标函数 z=x2+(y+2)2 的最小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7

? ?2x+y-4≤0, 解析:不等式组? (x,y≥0)表示的平面区域如下 ? ?x+y-1≥0

图所示:

第三章

不等式

又 x2+?y+2?2表示区域内的点到点 B(0,-2)的距离,当点(x, y)在点 A(1,0)处时, ( x2+?y+2?2)min= 5,∴z=x2+(y+2)2 的最小值为 5. 答案:B

x-y+2≥0, ? ? 4.不等式组?x+y+2≥0, ? ?2x-y-2≤0

所确定的平面区域记为 D.若点(x,

y)是区域 D 上的点,则 2x+y 的最大值是______;若圆 O:x2+y2= r2 上的所有点都在区域 D 上,则圆 O 的面积的最大值是________. 解析:区域 D 如下图所示:

当直线 2x+y=z 过点 A(4,6)时,zmax=14. 又圆 x2+y2=r2 在区域 D 上, 故半径 r 的最大值是原点 O 到直线 |-2| 2 2x-y-2=0 的距离 d= 2 , 2= 5 2 +?-1? 4 ∴圆 O 的面积的最大值为 π. 5 4 答案:14 π 5

第三章 0≤x≤2, ? ? 5.在条件?0≤y≤2, ? ?x-y≥1 ________.

不等式

下,z=(x-1)2+(y-1)2 的取值范围是

解析:不等式组所表示的平面区域如下图所示:

z 表示区域内的点 P(x,y)到点 A(1,1)距离的平方,又|PA|min 就是 2 点 A 到直线 x-y=1 的距离 , |PA|max 就是点 A 到点(2,0)的距离 2, 2 ?1 ? 1 ∴ ≤z≤2,即 z 的取值范围是?2,2?. 2 ? ? ? 1 ? 答案:? 2,2? ? ?

6. 预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子, 希望 使桌椅的总数量尽可能的多, 但椅子数不少于桌子数, 且不多于桌子 数的 1.5 倍.问桌子和椅子各购买多少? 解析:设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组, 50x+20y≤2 000, ? ?y≥x, 即约束条件为? y≤1.5x, ? ?x,y∈N ,
*

第三章

不等式

?x= 7 , ? ?50x+20y=2 000, 由? 解得:? 200 ? ?y=x ? ?y=
7 ,
?200 200? ∴A 点的坐标为? 7 , 7 ?. ? ?

?

200

? ? ?50x+20y=2 000, ? 由 解得:? 75 ?y=1.5x y= , ? ?
2
? 75? ∴B 点的坐标为?25, 2 ?. ? ?

x=25,

?200 200? ? 75? 所以满足约束条件的可行域是以 A? 7 , 7 ?, B?25, 2 ?, O(0,0) ? ? ? ? 为顶点的三角形区域(如上图).观察图形可知,目标函数 z=x+y 在 ? 75? 可行域内的最优解为?25, 2 ?,但注意到 x∈N*,y∈N*,故取 y=37. ? ? 故买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择.

?巩固提高 0≤x≤1, ? ? 7.若?0≤y≤2, ? ?2y-x≥1, 则 z=2y-2x+4 的最小值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 解析:作出可行域,当直线 z=2y-2x+4 过可行域上点 B 时, 直线在 y 轴上的截距最小,z 最小,又点 B(1,1),∴zmin=2×1-2×1 +4=4.

第三章 答案:C

不等式

8.将大小不同的两种钢板截成 A、B 两种规格的成品,每张钢 板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所示.若现在需要 A、 B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则至少需要这两种钢板共 ______张. 规格类型 A规 B规 钢板类型 格 格 第一种钢板 2 1 1 3 第二种钢板 解析:设这两种钢板分别需要 x,y 张,依题意有: ? ? 2x+y≥12, ? 且 x,y∈N, ? ?x+3y≥10 可行域如下图所示:

目标函数 z=x+y,
?2x+y=12, ? 由? ? ?x+3y=10

26 ? ?x= 5 , ?? 8 ? y = ? 5,

∵x、y∈N,∴当 x=5,y=2 时,zmin=7, 即当直线 x+y=z 过点(5,2)时,z 取最小值 7. 答案:7

第三章

不等式 y-3 则 k= 的取 x+1

y≥0, ? ? 9.实数 x、y 满足不等式组:?x-y≥0, ? ?2x-y-2≤0, 值范围为________.

解析:不等式所表示的平面区域如下图所示. k 表示区域内的点与点 M( - 1,3) 连线的斜率.由下图可知: kMO≤k≤kMA

1 1 又 kMO=-3,kMA=- ,∴-3≤k≤- . 3 3 ? 1? 故 k 的取值范围是?-3,-3?. ? ? ? 1? 答案:?-3,-3? ? ?

10. 某工厂有甲、 乙两种产品, 计划每天各生产量不少于 15 吨. 已 知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨,电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨需煤 4 吨,电力 5 千瓦时,劳力 10 个.甲产品每 1 吨利润 7 万 元,乙产品每 1 吨利润 12 万元,但每天用煤不超过 300 吨,电力不 超过 200 千瓦时,劳力只有 300 个.问每天各生产甲、乙两种产品多 少,能使利润总额达到最大? 分析:将已知数据列成表,如下表所示. 产品 消耗量 甲产品 乙产品 资源 煤/吨 9 4

资源限额 300

第三章 电力/千瓦时 劳力/个 利润/万元 4 3 7

不等式 5 10 12 200 300

设出未知量, 根据资源限额建立约束条件, 由利润建立目标函数. 解析:设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨,利润总额 x+4y≤300, ?9 ?4x+5y≤200, 为 z 万元,那么?3x+10y≤300, ?x≥15, ?y≥15. z=7x+12y. 作出以上不等式组的可行域,如下图所示.

7 7 z 目标函数为 z=7x+12y,变为 y=- x+ ,得到斜率为- , 12 12 12 z 在 y 轴上截距为 ,且随 z 变化的一簇平行直线.由图可以得到,当 12 z 直线经过可行域上点 A 时,截距 最大,z 最大. 12 ? ?4x+5y=200, 解方程组? 得点 A 坐标为(20,24). ?3x+10y=300 ? 所以 zmax=7×20+12×24=428(万元). 答:生产甲、乙两种产品分别为 20 吨,24 吨时,利润最大,最 大值为 428 万元.

第三章

不等式

解简单线性规划问题的基本步骤: 1.画图.画出线性约束条件所表示的平面区域,即可行域. 2.定线.令 z=0,得一过原点的直线. 3.平移.在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. 4.求最优解.通过解方程组求出最优解. 5.求最值.求出线性目标函数的最大或最大值.


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