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§2.2.1椭圆及其标准方程(第1课时)


§2.2.1 椭圆及其标准方程(第 1 课时)
2012 年 11 月 19 日星期一 一、教学目标 1.知识教学点 使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 2.能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导, 培养学生分析探索能力, 增强运用坐标法解 决几何问题的能力. 3.学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力. 二、教材分析 1.重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. (解决办法:用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义,最后加以强调;对椭圆的标准方程 单独列出加以比较.) 2.难点:椭圆的标准方程的推导. (解决办法:推导分 4 步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.) 3.疑点:椭圆的定义中常数加以限制的原因. (解决办法:分三种情况说明动点的轨迹.) 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答. 四、教学过程 (一)椭圆概念的引入 前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答: 问题 1: 什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可 少? 对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在 已有知识基础上去探求新知识. 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形. 问题 2:圆的几何特征是什么?你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索? 一般学生能回答: “平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”. 对同学提出的轨 迹命题如: “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.” 教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神. 比如说, 若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”, 那么动点轨迹是 什么呢?这时教师示范引导学生绘图: 取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如图 2-13),当绳 长大于 F1 和 F2 的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画 出一个椭圆. 教师进一步追问:“椭圆,在哪些地方见过?”有的同学说:“立体几何中圆的直观 图.”有的同学说:“人造卫星运行轨道”等?? 认识椭圆(幻灯片)

彗星 太阳
1.1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起,海

1

尔·波普彗星将逐渐接近地球, 4 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 年后,它还将光 过 临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出 彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆, 通过观察它运 行中的一些有关数据, 可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的 的周长 在此基础上,引导学生概括椭圆的定义: 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距. 学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数、教师在演示 中要从两个方面加以强调: (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到 需加限制条件:“在平面内”. (2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若常数=|F1F2|,则是线段 F1F2;若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:“此 常数大于|F1F2|”. (二)椭圆标准方程的推导 1.标准方程的推导 由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所 知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程. 如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤, 可分: (1)建系设点; (2)点的集合; (3)代数方程;(4)化简方程等步骤. (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜 率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰 当的. 以两定点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(如 图 2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有 F1(-1,0),F2(c, 0). (2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}. (3)代数方程
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(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师 巡视,适当给予提示:①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由 详见问题 3 说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ②为使方程对称和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,下节课还要 (a>b>0). 关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略. 示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0).这里 c2=a2-b2. 2.两种标准方程的比较(引导学生归纳) F1(-c,0)、F2(c,0),这里 c2=a2-b2; F1(-c,0)、F2(0,c),这里 c2=a2+b2,只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到. 教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个 坐标轴上. 标准方程 不

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

2

同 点 图形

y M F1 o F2 x

y M F2 o F1 x

焦点坐标 定义 共 同 点 a、b、c 的 关系 焦点的位 置的判定

F1(-c,0) , F2(c,0)

F1(-c,0) , F2(c,0)

a 2 ? b2 ? c 2
a>b>0,b,c 大小不确定。 x?,y?项中哪个分母大,焦点就在那一条轴上。

(三)例题与练习 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 ∵ 2a=10,2c=8, ∴ a=5,c=4. ∴ b2=a2-c2=52-42=9. 所以所求椭圆的标准方程为 (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知,

又 c=2, ∴

b2=a2-c2=10-4=6.

所以所求椭圆的标准方程为 例 2 (补充) 已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且△ ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 分析:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择 适当的坐标系,常常需要画出草图. 在图 8-4 中,由△ ABC 的周长等于 16,|BC|=6 可知,点 A 到 B、C 两点的距离的和 是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,据此 可建立坐标系并画出草图(图 8-4). 解:如图 8-4,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中点重合.

3

由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10, 即点 A 的轨迹是椭圆,且 2c=6,2a=16-6=10, ∴ c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形,所以点 A 的轨 迹方程是 注 求出曲线的方程后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有 不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件. 练习 1、椭圆 焦点坐标是

x2 y2 ? ? 1 的 a=_________,b=__________,c=____________. 16 9

P42 练习 2、动点 P 到两个定点 1 ( ) A、椭圆 B、线段 F1F2 C、直线 F1F2
2 2

F ? ?4, 0 ? , F2 ? 4, 0 ?

。 的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为

D、不能确定

练习 3、椭圆

x y ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 100 36

的距离是_____4__。 练习 4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,a=4,b=1 (2) a ? b ? 10,c ? 2 5 练习 5、方程 x2+ky2=2 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( ) A、(0,+∞) B、(0,2) C、(1,+ ∞ ) D、(0,1) 2 2 练习 6、方程 表示焦点在 X 轴上的椭圆, x y ? ?1 24 ? k 16 ? k 则 k 的取值范围为 . 引申: 在平面直角坐标系中,已知 ΔABC 中 B(-3,0),C(3,0),且三边|AC|, |BC| , |AB|长 依次成等差数列,求顶点 A 的轨迹方程。 (四)小结 1. 定义: 椭圆是平面内与两定点 F1、 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹. F2 2.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c).椭圆的定义中, 2a ? 2c ? 0 3.讨论了求椭圆标准方程的方法: 注意:求出曲线的方程之后,要验证方程的曲线上的点是否都符合题意,如有不符合题 意的点应在所得方程后注明限制条件。 4.求满足条件的点的轨迹方程时: (1)若不清楚轨迹类型:用坐标法; (2)若清楚轨迹类型,则建立适当的坐标系,设出其方程,再确定方程中的参数即可。 五、布置作业 、P49 习题 2.2 A 组 1、2、

§2.2.1 椭圆及其标准方程(第 2 课时)
2012 年 11 月 19 日星期一 教学目的: 1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 ? 2.使学生掌握转移法(也称代换法,中间变量法,相关点法)求动点轨迹方程的方法与 椭圆有关问题的解决 教学重点:运用中间变量法求动点的轨迹
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4

教学难点:运用中间变量法求动点的轨迹 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点---两点间距离确定 (2)绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( ? 线段) 两定点间距离 较短,则所画出的椭圆较圆( ? 圆) 椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面 离心率概念作铺垫) y P 2.椭圆标准方程:
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x2 y2 (1) 2 ? 2 ? 1 a b

P

F1
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F2

F1

O

F2

x

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点的椭圆方程 中a ? c ?b
2 2
2 2

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2
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y x ? 2 ? 1 它所表示的椭圆的焦点在 y 轴 2 a b 上,焦点是 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,中心在坐标原点的
(2)
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y
P F2 O F1

椭圆方程
2

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其中 a ? c ? b
2 2
2 2 2

2
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x y y x 在 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 这两个标准方程 a b a b 中,都有 a ? b ? 0 的要求,如方程 x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 就不能肯定焦 m n
点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与直线截距式

x

x y ? ? 1 类比,如 a b

x2 y2 ? ? 1 中,由于 a ? b ,所以在 x 轴上的“截距”更大,因而焦点在 x 轴上(即看 a2 b2 x 2 , y 2 分母的大小)
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二、讲解范例: P41 例 1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴 作垂线段 PPˊ,求线段 PPˊ的中点 M 的轨迹(若 M 分 PPˊ之比为

1 ,求点 M 的轨迹) 2

y
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P
M

解: (1)当 M 是线段 PPˊ的中点时,设动点 M 的坐标 为 ( x, y ) ,则 P 的坐标为 ( x,2 y)
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-2

O

P′

2

x

因为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上,

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y2 ? 1 所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是 4
所以有

x 2 ? (2 y ) 2 ? 4 ,即

P
M
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-2

O

P′

2

x

5

补充 (2) M 分 PPˊ之比为 当

1 3 时, 设动点 M 的坐标为 ( x, y ) , P 的坐标为 ( x, y ) 因 则 2 2
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为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上,

x2 9y2 ? ?1 4 16 x2 9y2 所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是 ? ?1 4 16
所以有

3 x 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 2

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x2 练习 1,已知 x 轴上的一定点 A(1,0) 为椭圆 ,Q ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的 4
轨迹方程 解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 Q 的坐标为 (2 x ? 1,2 y )
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y M O A 2 x

x Q ? y 2 ? 1 上的点, 4 -2 (2 x ? 1) 2 1 所以有 ? (2 y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 4 2 1 2 2 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4 y ? 1 2 P41 例 2, 如图, A ,B 的坐标分别为 ? ?5, 0 ? ,? 5, 0 ? . 设 直线 AM ,BM
因为点 Q 为椭圆
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2

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9 分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式
相交于点 M ,且它们的斜率之积为 ? 子表示, 由于直线 AM ,BM 的斜率之积是 ? 间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解法剖析:设点 M ? x, y ? ,则 k AM ?

4 , 因此, 可以求出 x, y 之 9

y y ? x ? ?5? , kBM ? ? x ? 5? ; x?5 x ?5 y y 4 代入点 M 的集合有 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. x ?5 x ?5 9
练习 2,△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、AC 的斜率的 乘积是-

4 ,求顶点 A 的轨迹方程.? 9

选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训 练根据条件对一些点进行取舍. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) .

x2 y2 y?6 y?6 4 ? ? 1( y ? ?6) ? ? ? ,∴顶点 A 的轨迹方程为 81 36 x x 9 练习 3, 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比 2 为 ,求点 M 的轨迹方程 3 5 5 解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 A 的坐标为 ( x,0) B 的坐标为 (0, y ) 3 2 y 因为 | AB |? 2 , B 5 2 5 2 25 2 25 2 所以有 ( x) ? ( y ) ? 4 ,即 x ? y ?4 M 3 2 9 4
依题意得
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O

A

x

6

三、课堂练习: (1)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦 25 16
)? C.5
2 2

点的距离是 ( A.2 B.3

D.7 ?

答案:D ?
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x y )? ? ? 1 ,那么它的焦距是 ( 20 11 A.6 B.3 C.3 31 D. 31 答案:A ? 2 2 (3)如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
(2)已知椭圆方程为
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A.(0,+∞) B.(0,2)? C.(1,+∞) D.(0,1)?

答案:D ?
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(4)已知椭圆的两个焦点坐标是 F1(-2,0) 2(2,0) ,F ,并且经过点 P(
2 2 椭圆标准方程是?:_ x ? y ? 1 10 6

5 3 ,则 ,? ) 2 2

(5)过点 A(-1,-2)且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程是: 6 9

x2 y2 ? ?1 3 6
(6)过点 P( 3 ,-2) ,Q(-2 3 ,1)两点的椭圆标准方程是__
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x2 y2 ? ?1 25 5

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四、小结 :用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动 而运动,而另一个点又在有规律的曲线上运动,这种情况下才能应用的,运用这种方法 解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 五、课后作业:
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1. 已知圆 x ? y =1, 从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段PP′, 求线段PP′ 的中点 M 的轨迹. 选题意图:训练相关点法求轨迹方程的方法,考查“通过方程,研究平面曲线的性质” 这一解析几何基本思想. 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则点 P 的坐标为 (2 x, y) .
2 2

∵P 在圆 x ? y ? 1 上,∴ (2 x) ? y ? 1,即
2 2 2 2

x2 ? y2 ? 1. 1 4

∴点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x ? y ? 1
2 2

2..说明:方程

x2 y2 ? ? 1 对应的椭圆与 y 轴有两个交点,而此两交点为(0,-6) 81 36

与(0,6)应舍去. 3. 已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) , P为椭圆上一点, 且| F1 F2 |是| PF1 |和|

PF2 |的等差中项.
(1)求椭圆的方程; 选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题. 解:(1)由题设| PF1 |+| PF2 |=2| F1 F2 | y =4 ∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴椭圆的方程为 ∴b= 3
P

x2 y2 ? ? 1. 4 3
7

F1

O

F2

x


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