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2013黑龙江大庆市中考数学试题及答案(Word解析版)


黑龙江省大庆市 2013 年中考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. 分) (3 (2013?大庆)下列运算结果正确的是( ) 2 3 6 A. B.a ?a =a C.a2?a3=a5 D.a2+a3=a6

考点: 二次根式的性质与化简;合并同类项;同底数幂的乘法. 分析: 根据二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法分别进行计算,即可得出答案. 解答: 解:A、 =a, (a≥0) ,故本选项错误; B、a ?a =a ,故本选项错误; 2 3 5 C、a ?a =a ,故本选项错误; 2 3 6 D、a +a =a ,同类项,不能合并,故本选项错误. 故选 C. 点评: 此题考查了二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法,记准法则是解题的关键,注意同底数 幂的乘法与幂的乘方很容易混淆. 2. 分) (3 (2013?大庆)若实数 a 满足 a﹣|a|=2a,则( ) A.a>0 B.a<0 C.a≥0
2 3 5

D.a≤0

考点: 绝对值. 分析: 先求出|a|=﹣a,再根据绝对值的性质解答. 解答: 解:由 a﹣|a|=2a 得|a|=﹣a, ∴a≤0. 故选 D. 点评: 本题考查了绝对值的性质,比较简单,熟记绝对值的性质是解题的关键. 3. 分) (3 (2013?大庆)已知两圆的半径分别是 3 和 6,若两圆相交,则两圆的圆心距可以是( A.2 B.5 C.9 D.10 )

考点: 圆与圆的位置关系. 分析: 根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答. 解答: 解:∵半径分别为 3 和 6 的两圆相交, 又∵3+6=9,6﹣3=3, ∴这两圆的圆心距 d 的取值范围是 3<d<9. 只有 B 选项符合. 故选 B. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系.解此题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距 d,两圆半径 R,r 的 数量关系间的联系. 4. 分) (3 (2013?大庆)对于函数 y=﹣3x+1,下列结论正确的是( ) A.它的图象必经过点(﹣1,3) B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当 x>1 时,y<0 D.y 的值随 x 值的增大而增大 考点: 一次函数的性质.
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分析: 根据一次比例函数图象的性质可知. 解答: 解:A、将点(﹣1,3)代入原函数,得 y=﹣3×(﹣1)+1=4≠3,故 A 错误; B、因为 k=﹣3<0,b=1>0,所以图象经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小,故 B,D 错误; C、正确; D、当 x=1 时,y=﹣2<0,故 C 正确. 故选 C. 点评: 本题考查的是一次函数的性质,熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键.

5. 分) (3 (2013?大庆)若不等式组 A.1 B.2

的解集为 0<x<1,则 a 的值为( C.3 D.4



考点: 解一元一次不等式组. 分析: 求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集,即可得出方程,求出方 程的解即可. 解答: 解:

∵解不等式①,得 x> 解不等式②,得 x< ,



∴原不等式组的解集为:

<x<



∵不等式组

的解集为 0<x<1,



=0,

=1,

解得:a=1, 故选 A. 点评: 本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用, 关键是能根据不等式组的解集得出关于 a 的方程. 6. 分) (3 (2013?大庆)已知梯形的面积一定,它的高为 h,中位线的长为 x,则 h 与 x 的函数关系大致是 ( ) A. B. C. D.

考点: 梯形中位线定理;反比例函数的图象;反比例函数的应用. 分析: 根据梯形的中位线定理和梯形的面积的计算方法确定两个变量之间的函数关系, 然后判断其图象即 可.
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解答:

解:梯形的面积= ×梯形上、下底之和×高,符合 k=hx, 故 h= (x>0,h>0)

所以是反比例函数. 故选 D. 点评: 本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用,解题的关键是根据实际问题列出函数关系式. 7. 分) (3 (2013?大庆)已知函数 y=x +2x﹣3,当 x=m 时,y<0,则 m 的值可能是( A.﹣4 B.0 C.2 D.3
2



考点: 抛物线与 x 轴的交点. 专题: 计算题. 分析: 根据函数图象得到﹣3<x<1 时,y<0,即可作出判断. 解答: 解:令 y=0,得到 x2+2x﹣3=0,即(x﹣1) (x+3)=0, 解得:x=1 或 x=﹣3, 由函数图象得:当﹣3<x<1 时,y<0, 则 m 的值可能是 0. 故选 B. 点评: 此题考查了抛物线与 x 轴的交点,利用了数形结合的思想,求出 x 的范围是解本题的关键. 8. 分) (3 (2013?大庆)图 1 所示的几何体,它的俯视图为图 2,则这个几何体的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单组合体的三视图. 分析: 根据图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形,上面一层有一个正方形,然后找到 从左面看到的图形即可. 解答: 解:由图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形,上面一层有一个正方形,

则从左面看易得图形: . 故选 D. 点评: 本题考查了三视图的知识,注意左视图是从物体的左面看得到的视图. 9. 分) (3 (2013?大庆)正三角形△ ABC 的边长为 3,依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1,使 AA1=BB1=CC1=1,则△ A1B1C1 的面积是( )

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A.

B.

C.

D.

考点: 等边三角形的判定与性质 分析: 依题意画出图形,过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,构造出边长为 1 的小正三角形△ AA1D; 由 AC1=2,AD=1,得点 D 为 AC1 中点,因此可求出 S△ AA1C1=2S△ AA1D= S△ CC1B1=S△ BB1A1= ;同理求出

;最后由 S△ A1B1C1=S△ ABC﹣S△ AA1C1﹣S△ CC1B1﹣S△ BB1A1 求得结果.

解答: 解:依题意画出图形,如下图所示:

过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,易知△ AA1D 是边长为 1 的等边三角形. 又 AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1, ∴点 D 为 AC1 的中点, ∴S△ AA1C1=2S△ AA1D=2× ×1 =
2

; , ×3 ﹣3×
2

同理可求得 S△ CC1B1=S△ BB1A1=

∴S△ A1B1C1=S△ ABC﹣S△ AA1C1﹣S△ CC1B1﹣S△ BB1A1=

=



故选 B. 点评: 本题考查等边三角形的判定与性质,难度不大.本题入口较宽,解题方法多种多样,同学们可以尝 试不同的解题方法. 10. 分) (3 (2013?大庆) 已知四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 互相垂直, 则下列结论正确的是 ( A.当 AC=BD 时,四边形 ABCD 是矩形 B. 当 AB=AD,CB=CD 时,四边形 ABCD 是菱形 C. 当 AB=AD=BC 时,四边形 ABCD 是菱形 D.当 AC=BD,AD=AB 时,四边形 ABCD 是正方形 )

考点: 菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定. 分析: 根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可. 解答: 解:A、对角线 AC 与 BD 互相垂直,AC=BD 时,无法得出四边形 ABCD 是矩形,故此选项错误; B、当 AB=AD,CB=CD 时,无法得到,四边形 ABCD 是菱形,故此选项错误; C、当两条对角线 AC 与 BD 互相垂直,AB=AD=BC 时,∴BO=DO,AO=CO, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵两条对角线 AC 与 BD 互相垂直, ∴平行四边形 ABCD 是菱形,故此选项正确; D、当 AC=BD,AD=AB 时,无法得到四边形 ABCD 是正方形,故此选项错误;
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故选 C.

点评: 此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定,熟练掌握相关判定是解题关键. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 11. 分) (3 (2013?大庆)计算:sin 60°+cos60°﹣tan45°=
2



考点: 特殊角的三角函数值. 分析: 将特殊角的三角函数值代入计算即可. 解答: 2 解:原式=( ) + ﹣1 = + ﹣1 = . 故答案为: . 点评: 本题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数 值.

12. 分) (3 (2013?大庆)在函数 y=

中,自变量 x 的取值范围是 x≥﹣



考点: 函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件. 专题: 计算题. 分析: 当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,即 2x+1≥0. 解答: 解:依题意,得 2x+1≥0, 解得 x≥﹣ . 点评: 函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 13. 分) (3 (2013?大庆)地球的赤道半径约为 6 370 000 米,用科学记数法记为 6.37×10
6

米.

考点: 科学记数法—表示较大的数 n 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变 成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是 正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答: 解:将 6 370 000 用科学记数法表示为:6.37×106.
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故答案为:6.37×10 . n 点评: 此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为 整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 14. 分) (3 (2013?大庆) 圆锥的底面半径是 1, 侧面积是 2π, 则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 180° . 考点: 圆锥的计算 分析: 根据圆锥的侧面积公式 S=πrl 得出圆锥的母线长,再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数. 解答: 解:∵侧面积为 2π, ∴圆锥侧面积公式为:S=πrl=π×1×l=2π, 解得:l=2, ∴扇形面积为 2π= ,

6

解得:n=180, ∴侧面展开图的圆心角是 180 度. 故答案为:180°. 点评: 此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系, 求出圆锥的母线长是解决问题 的关键. 15. 分) (3 (2013?大庆)某品牌手机降价 20%后,又降低了 100 元,此时售价为 1100 元,则该手机的原 价为 1500 元. 考点: 一元一次方程的应用. 分析: 首先假设原价为 x 元, 根据降价 20%后应为 (1﹣20%) 再根据又降低了 100 元, x, 此时售价为 1100 元得出等式求出即可. 解答: 解:设原价为 x 元,根据题意得出: (1﹣20%)x﹣100=1100 解得:x=1500. 故答案为:1500. 点评: 此题主要考查了一元一次方程的应用;得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键. 16. 分) (3 (2013?大庆)袋中装有 4 个完全相同的球,分别标有数字 1、2、3、4,从中随机取出一个球, 以该球上的数字作为十位数,再从袋中剩余 3 个球中随机取出一个球,以该球上的数字作为个位数,所得 的两位数大于 30 的概率为 .

考点: 列表法与树状图法 分析: 首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与所得的两位数大于 30 的情况,再利 用概率公式求解即可求得答案. 解答: 解:画树状图得:

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∵共有 12 种等可能的结果,所得的两位数大于 30 的有 6 种情况, ∴所得的两位数大于 30 的概率为: 故答案为: . 点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率= 所求情况数与总情况数之比. = .

17. 分) (3 (2013?大庆)已知

… 依据上述规律 计算 的结果为 (写成一个分数的形式)

考点: 规律型:数字的变化类 分析: 根据已知得出原式= ×[(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( 解答: 解:∵



)]进而求出即可.

… ∴ = ×[(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( = ×(1﹣ = . ) ﹣ )]

点评: 此题主要考查了数字变化规律,根据已知得出数字中的变与不变是解题关键.

18. 分) (3 (2013?大庆)如图,三角形 ABC 是边长为 1 的正三角形, 则图中阴影部分的面积为 .



所对的圆心角均为 120°,

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考点: 扇形面积的计算;等边三角形的性质. 分析: 设 与 相交于点 O,连 OA,OB,OC,线段 OA 将阴影的上方部分分成两个弓形,将这两个弓 形分别按顺时针及逆时针方向绕点 O 旋转 120°后,阴影部分便合并成△ OBC,得到它的面积等于 △ ABC 面积的三分之一,利用等边三角形的面积公式: 解答: 解:如图,设 与 ×边长 ,即可求得阴影部分的面积.
2

相交于点 O,连接 OA,OB,OC,线段 OA 将阴影的上方部分分成两个弓形,

将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点 O 旋转 120°后,阴影部分便合并成△ OBC,它的面积等 于△ ABC 面积的三分之一, ∴S 阴影部分= × 故答案为: ×1 = .
2



点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心 的连线段所夹的角等于旋转角.也考查了等边三角形的面积公式: ×边长 .
2

三、解答题(共 10 小题,满分 46 分) 19. (2013?大庆)计算: ﹣ + +(π﹣3) .
0

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 专题: 计算题. 分析: 本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行计算,然 后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=0.5﹣ + +1

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=0.5﹣2+ +1 =1. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握零指 数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简等考点的运算. 20. (2013?大庆)已知 ab=﹣3,a+b=2.求代数式 a b+ab 的值. 考点: 因式分解的应用. 分析: 由 a+b=﹣3,ab=2,可得 a2+b2=10,因为(a2+b2)ab=a3b+ab3,所以 a3b+ab3=﹣30. 解答: 解:∵a+b=2, 2 ∴(a+b) =4, 2 2 ∴a +2ab+b =4, 又∵ab=﹣3, ∴a +b =10, 2 2 3 3 ∴(a +b )ab=a b+ab =﹣30. 点评: 本题为代数式求值题,主要考查整体思想,是一道比较基础的题目,要认真掌握,并确保得分. 21. (2013?大庆)如图,已知一次函数 y=k1x+b(k1≠0)的图象分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,且与反 比例函数 y= (k2≠0) 的图象在第一象限的交点为 C, 过点 C 作 x 轴的垂线, 垂足为 D, OA=OB=OD=2. 若 (1)求一次函数的解析式; (2)求反比例函数的解析式.
2 2 3 3

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 专题: 计算题. 分析: (1)由 OA 与 OB 的长,确定出 A 与 B 的坐标,代入一次函数解析式中求出 k1 与 b 的值,即可确 定出一次函数解析式; (2)由 OD 的长,确定出 D 坐标,根据 CD 垂直于 x 轴,得到 C 与 D 横坐标相同,代入一次函数 解析式求出 C 的纵坐标,确定出 C 坐标,将 C 坐标代入反比例解析式中求出 k2 的值,即可确定出 反比例解析式. 解答: 解: (1)∵OA=OB=2, ∴A(﹣2,0) ,B(0,2) , 将 A 与 B 代入 y=k1x+b 得: ,

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解得:



则一次函数解析式为 y=x+2; (2)∵OD=2, ∴D(2,0) , ∵点 C 在一次函数 y=x+2 上,且 CD⊥x 轴, ∴将 x=2 代入一次函数解析式得:y=2+2=4,即点 C 坐标为(2,4) , ∵点 C 在反比例图象上, ∴将 C(2,4)代入反比例解析式得:k2=8, 则反比例解析式为 y= . 点评: 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,利用了待定系数法,熟练掌握待定系数法是解本题 的关键. 22. (2013?大庆)某班同学在一次综合实践活动中,对本县居民参加“全民医保”情况进行了调查,同学们 利用节假日随机调查了 3000 人,对调查结果进行了统计分析,绘制出两幅不完整的统计图:

[注:图中 A 表示城镇职工基本医疗保险;B 表示城镇居民基本医疗保险;C 表示“新型农村合作医疗”;D 表示其他情况] (1)补全条形统计图; (2)在本次调查中,B 类人数占被调查人数的百分比为 25% ;扇形统计图中 D 区域所对应的圆心角 的大小为 36° . (3)据了解,国家对 B 类人员每人每年补助 210 元.已知该县人口数约为 100 万,请估计该县 B 类人员 每年享受国家补助共多少元? 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图 分析: (1)“新型农村合作医疗”的人数=这次调查的总人数×45%,“城镇职工基本医疗保险”的人数=2000 ﹣B 表示的人数﹣C 表示的人数﹣D 表示的其他情况的人数. (2) B 表示的“城镇居民基本医疗保险”的人数÷这次调查的总人数可得 B 类人数占被调查人数的 用 百分比. (3)该县 B 类人员每年享受国家补助的总钱数=国家对 B 类人员每人每年补助的钱数×100×B 类人 员所占的百分比. 解答: 解: (1)如下图.

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(2)500÷2000=25%,即在本次调查中,B 类人数占被调查人数的百分比为 25%. D 区域区域的圆心角为: =36°;

(3)210×100×25%=5250(万元) . 答:该县 B 类人员每年享受国家补助共 5250 万元. 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小. 23. 分) (6 (2013?大庆)如图,把一个直角三角形 ACB(∠ACB=90°)绕着顶点 B 顺时针旋转 60°,使得 点 C 旋转到 AB 边上的一点 D,点 A 旋转到点 E 的位置.F,G 分别是 BD,BE 上的点,BF=BG,延长 CF 与 DG 交于点 H. (1)求证:CF=DG; (2)求出∠FHG 的度数.

考点: 全等三角形的判定与性质. 分析: (1)在△ CBF 和△ DBG 中,利用 SAS 即可证得两个三角形全等,利用全等三角形的对应边相等 即可证得; (2)根据全等三角形的对应角相等,即可证得∠DHF=∠CBF=60°,从而求解. 解答: (1)证明:∵在△ CBF 和△ DBG 中, , ∴△CBF≌△DBG(SAS) , ∴CF=DG;
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(2)解:∵△CBF≌△DBG, ∴∠BCF=∠BDG, 又∵∠CFB=∠DFH, ∴∠DHF=∠CBF=60°, ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°. 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键. 24. 分) (6 (2013?大庆)如图,平面直角坐标系中,以点 C(2, 于 A,B 两点. (1)求 A,B 两点的坐标;
2

)为圆心,以 2 为半径的圆与 x 轴交

(2)若二次函数 y=x +bx+c 的图象经过点 A,B,试确定此二次函数的解析式.

考点: 垂径定理;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: (1)连结 AC,过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M,根据垂径定理得 MA=MB;由 C 点坐标得到 OM=2, CM= ,再根据勾股定理可计算出 AM,可可计算出 OA、OB,然后写出 A,B 两点的坐标; (2)利用待定系数法求二次函数的解析式. 解答: 解: (1)过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M,则 MA=MB,连结 AC,如图 ∵点 C 的坐标为(2, ) , ∴OM=2,CM= , 在 Rt△ ACM 中,CA=2, ∴AM= =1,

∴OA=OM﹣AM=1,OB=OM+BM=3, ∴A 点坐标为(1,0) 点坐标为(3,0) ,B ; (2)将 A(1,0) ,B(3,0)代入 y=x +bx+c 得 , 解得 .
2 2

所以二次函数的解析式为 y=x ﹣4x+3.

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点评: 本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理和待定系 数法求二次函数的解析式. 25. 分) (8 (2013?大庆)如图所示,AB 是半圆 O 的直径,AB=8,以 AB 为一直角边的直角三角形 ABC 中,∠CAB=30°,AC 与半圆交于点 D,过点 D 作 BC 的垂线 DE,垂足为 E. (1)求 DE 的长; (2)过点 C 作 AB 的平行线 l,l 与 BD 的延长线交于点 F,求 的值.

考点: 相似三角形的判定与性质;圆周角定理;解直角三角形. 分析: (1)先由圆周角定理得出∠ADB=90°,再解 Rt△ ABD,得出 BD=4,然后解 Rt△ BDE,即可求出 DE 的长; (2) 先由 DE⊥BC, AB⊥BC, 得出 DE∥AB, 根据平行线分线段成比例定理得出 再证明△ FCD∽△BAD,根据相似三角形对应边成比例即可求出 解答: 解: (1)∵AB 是半圆 O 的直径, ∴∠ADB=90°. 在 Rt△ ABD 中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,AB=8, ∴BD= AB=4. 在 Rt△ BDE 中,∠DEB=90°,∠DBE=30°,BD=4, ∴DE= BD=2; 的值. = , DA=3CD, 则

(2)∵DE⊥BC,AB⊥BC, ∴DE∥AB, ∴ = = = ,

∴CA=4CD, ∴DA=3CD. ∵CF∥AB,
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∴∠FCD=∠BAD,∠DFC=∠DBA, ∴△FCD∽△BAD, ∴ = = = .

点评: 本题考查了圆周角定理,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,难度适中,求出 DE 的长,进 而得到 DA=3CD 是解题的关键. 26. 分) (8 (2013?大庆)随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有 1,2,3,4 四个数字) , 并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域) . (1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为 4 的概率; (2)设正四面体着地的数字为 a,转盘指针所指区域内的数字为 b,求关于 x 的方程 ax +3x+ =0 有实数 根的概率.
2

考点: 列表法与树状图法;根的判别式. 分析: (1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果; (2)由根的判别式得出方程 ax +3x+ =0 有实数根的所有情况,利用概率公式求解即可求得答案. 解答: 解; (1)画树状图得出:
2

总共有 20 种结果,每种结果出现的可能性相同, 正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为 4 的有 3 种情况, 故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为 4 的概率为: ;

(2)∵方程 ax +3x+ =0 有实数根的条件为:9﹣ab≥0, ∴满足 ab≤9 的结果共有 14 种: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,2) , , , , , , , (2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2) , , , , , , ∴关于 x 的方程 ax +3x+ =0 有实数根的概率为:
2

2

=



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点评: 此题主要考查了根的判别式和树状图法求概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之 比. 27. 分) (9 (2013?大庆)对于钝角 α,定义它的三角函数值如下: sinα=sin(180°﹣α) ,cosα=﹣cos(180°﹣α) (1)求 sin120°,cos120°,sin150°的值; (2)若一个三角形的三个内角的比是 1:1:4,A,B 是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB 是方程 4x ﹣mx﹣1=0 的两个不相等的实数根,求 m 的值及∠A 和∠B 的大小.
2

考点: 特殊角的三角函数值;一元二次方程的解 专题: 新定义. 分析: (1)按照题目所给的信息求解即可; (2) 分三种情况进行分析: ①当∠A=30°, ∠B=120°时; ②当∠A=120°, ∠B=30°时; ③当∠A=30°, ∠B=30°时,根据题意分别求出 m 的值即可. 解答: 解: (1)由题意得, sin120°=sin(180°﹣120°)=sin60°= ,

cos120°=﹣cos(180°﹣120°)=﹣cos60°=﹣ , sin150°=sin(180°﹣150°)=sin30°= ;

(2)∵三角形的三个内角的比是 1:1:4, ∴三个内角分别为 30°,30°,120°, ①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ,﹣ , 将 代入方程得:4×( ) ﹣m× ﹣1=0, 解得:m=0, 经检验﹣ 是方程 4x ﹣1=0 的根, ∴m=0 符合题意; ②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ,
2 2 2

, ,

,不符合题意;

将 代入方程得:4×( ) ﹣m× ﹣1=0, 解得:m=0, 经检验 不是方程 4x ﹣1=0 的根.
2

综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°. 点评: 本题考查了特殊角的三角函数值, 解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和 运用分类讨论的思想解题,难度一般.

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28. 分) (9 (2013?大庆)如图所示,在直角梯形 ABCD 中,AB 为垂直于底边的腰,AD=1,BC=2,AB=3, 点 E 为 CD 上异于 C,D 的一个动点,过点 E 作 AB 的垂线,垂足为 F,△ ADE,△ AEB,△ BCE 的面积 分别为 S1,S2,S3. (1)设 AF=x,试用 x 表示 S1 与 S3 的乘积 S1S3,并求 S1S3 的最大值; (2)设 =t,试用 t 表示 EF 的长; =4S1S3.

(3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,

考点: 相似形综合题. 专题: 探究型. 分析: (1)直接根据三角形的面积公式解答即可;
3718684

(2) DM⊥BC, 作 垂足为 M, DM 与 EF 交与点 N, 根据 可得出 = = = = ,所以 NE=

=t, 可知 AF=tFB, 再由 BM=MC=AD=1

,根据 EF=FN+NE 即可得出结论; ,故可得出 AF=tFB= ,根据三角形的面

(3)根据 AB=AF+FB=(t+1)FB=3,可得出 FB=
2

积公式可用 t 表示出 S1,S3,S2,由 s2 =4S1S3.即可得出 t 的值. 解答: 解: (1)∵S1= AD?AF= x, S3= BC?BF= ×2×(3﹣x)=3﹣x, ∴S1S3= x(3﹣x) = (﹣x +3x) = [﹣(x﹣ ) + ] =﹣ (x﹣ ) + (0<x<3) , ∴当 x= 时,S1S3 的最大值为 ;
2 2 2

(2)作 DM⊥BC,垂足为 M,DM 与 EF 交与点 N, ∵ =t,

∴AF=tFB,
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∵BM=MC=AD=1, ∴ = = , = ; = = ,

∴NE=

∴EF=FN+NE=1+

(3)∵AB=AF+FB=(t+1)FB=3, ∴FB= , , = = = ; , ,

∴AF=tFB=

∴S1= AD?AF= × S3= BC?FB= ×2× S2= AB?FE= ×3×

∴S1S3=

,S2 =

2





=4×

,即 4t ﹣4t+1=0,解得 t= .

2

点评: 本题考查的是相似形综合题,熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题 的关键.

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