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常见不等式的解法及其综合应用


不等式的解法及其综合应用
一、一元二次不等式解法及步骤:
(1)先将不等式化为标准的形式且使得二次系数为正数系数 (2)利用十字相乘法或求根公式求出对应一元二次方程的根。 (3)套口诀:大于(或大于等于)在两根之外,小于(或小于等于)在两根之外 1 求下列不等式的解集: ⑴

不能比较时即需要讨论) [特别关注] 求一个变量的范围时,讨论的也是这个变量, ;

结果要并;讨论的若 是另一个变量,结果不能并 。为

f (x) g (x)

? 0 (或

f (x) g (x)

? 0 );

f (x) g (x)

? 0 (或

f (x) g (x)

? 0 )的形式,

2


f (x)








f (x)















? x ? 4 ? ? ? x ? 1? ?

0;
2

⑵ ?3x ? x ? 2 ;
2

⑶ 4x ? 4x ?1 ? 0 .
2

? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0;

2、设一元二次不等式 a x ? b x ? 1 ? 0 的解集为 ? x ? 1 ? x ?
?

?

1? ? ,则 a b 的值是 3?

g (x)

? f (x)g (x) ? 0 ? 0 ? ? g (x) ? g (x) ? 0

变式:不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?
2

? ?

1 2

? x ?

1? ? ,则 a ? b ? 3?

例题不等式

2x ? 3x ? 1
2

3x ? 7 x ? 2
2

? 0 的解集是

不等式

3x ? 1 3? x

? ? 1 的解集是

例题:解不等式 ax +x+1>0(讨论 a) 不等式 变式训练:ax —2ax+a+3>0 练习题:2 不等式 ax +bx--2>0 的解集为{x|--2<x<-1/4}则 a,b 的值为: 不等式 a x ? b x ? c ? 0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3 ? , 则不等式 a x ? b x ? c ? 0 的解
2 2
2 2

2

x ?1 x ?1

?

x ?1 x ?1

的解集是

2 . 不等式 2 9 ? x ? x ? 1 的解集是

5x ? 2

[举例 1]关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式 解集是(

集是

? 0的 x? 2 )A.(-∞ ,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) a ( x ? 1) x?2 ?1 1 a
,则 a 的取值范围是

ax ? b

二、 分式不等式的解法
1)标准化:移项通分化解分式不等式不能轻意去分母,通常采用:移项(化一边为零) →通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正, (即不等式两边同除以变

[举例 2] 解关于 x 的不等式: [巩固 1]若不等式 x
2

? (a ?

1 a

) x ? 1 ? 0 的解为 a ? x ?

量系数,若它的符号不能确定即需要讨论)→“序轴标根” (注意比较各个根的大小,

[巩固 2]解关于 x 的不等式:

x x ?1

?1? a

例 6 解不等式|x+3|+|x-3|>8.

三、 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值)
利用绝对值的定义: (零点分段法)

练习.已知不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a , (1)当 a ? 2 时,解此不等式; (2)若 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a 解集为 ? ,求 a 的取值范围。

x

x ? 0

x ?
?x x ? 0
3 . 若 不 等 式 5 ? x ? 7 | x ? 1 | 与 不 等 式 ax
2

利用绝对值的几何意义: | x | 表示 x 到原点的距离

? bx ? 2 ? 0 同 解 , 而 |

| x |? a

( a ? 0 )的 解 集 为 { x | x ? ? a }

| x ? a | ? | x ? b |? k 解集为 ? ,求实数 k 的取值范围。

| x |? a | x |? a

( a ? 0 )的解集为 { x | ? a ? x ? a } ( a ? 0 )的解集为 { x | x ? a 或 x ? ? a }

公式法: ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c ( c ? 0 ) 型的不等式的解法. 例1 例2 是( 例3 例4 例5 解绝对值不等式|x+3|>|x-5|. 对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则实数 k 的取值范围 )A.k<3 B.k<-3 C.k≤3 D.k≤-3

四.分段函数形成的不等式一般分段解,再取并集;对 较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。[来源:学+
科+网 Z+X+X+K]

解不等式|3x-1|>x+3. 解不等式 |x-5|-|2x+3|<1

? lg | x |, ( x ? 0 ) [举例 1]设函数 f ( x ) ? ? x , f ( x 0 ) ? 0 则 x0 取值范围是 若 ? 2 ? 1, ( x ? 0 )
A. ? ,-1)∪(1,+ ? ) (C. (-1,0)∪(0,1)





B. ? ,-1)∪(0,+ ? )[来源:Z&xx&k.Com] (D. (-1,0)∪(0,+ ? )[来源:Zxxk.Com][来源:学

解不等式 1≤|2x-1|<5.

?a ? x, x ? 0 f (x) ?1. ][举例 2]已知:函数 f ( x ) ? ? (a ? 0 ) .解不等式: x ? 2 ?a, x ? 0
[巩固 1]设函数 f ( x ) ? ? ?
? ( x ? 1) ?4 ? ?
2

[ 巩 固 1] 已知 y ? f ( x ) 是偶函数 是

, y ? g (x)

奇函数,它们的定义域均为 [ ? ? , ? ] ,且 ) 它们在 x ? [ 0 , ? ] 上的图象如图所示,则 不等式
f (x) g (x) ? 0的解集是

x ?1 x ?1

, 则使 f ( x 0 ) ? 1 。 x0 的取值范围是 则 (

x ?1

A

(- ? ,? 2 ] ? [0,10] B (- ? ,? 2 ] ? [ 0 ,1] C ( ? ? , ? 2 ] ? [1,10 ] D[-2,0] ? [1,

[ 巩 固 2] 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 ① 若 x >1, 则

f ( x ) <0 ; ②

10]

? 1, x ? 0 , [巩固 2]已知 f ( x ) ? ? 则不等式 x ? ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) ≤5 的解集是 ? ? 1, x ? 0 ,

1 f ( ) ? 1 ;③对定义域内的任意实数 x , y ,都有: f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,则 2
不等式 f ( x ) ? f ( 5 ? x ) ? ? 2 的解集为 。

五.解抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的
不等式反映出的函数值的大小, 需借助于函数的单调性化归为自变量的大小, 特别注意 定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径;对某些有具体函数背景 的抽象函数,可以从该具体函数中寻找解题线索。 [举例 1]已知奇函数 f(x)在 ( ? ? , 0 ) 为减函数,f(2)=0 则不等式(x-1)f(x-1)<0 的解 例1 集为:[ 。 (2) [举例 2]已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式 f(a -2a-2)<3 的解. 注:(ⅰ)已知抽象函数的运算性质,常用“赋值法”。 (ⅱ) 有具体函数背景的抽象函数问题, 如果是客观题, 可以用具体函数求解。 如本题: 可设 f(x)= kx+b,根据条件求出 k、b,再解不等式。
2

六.无理不等式是一类常用的重要不等式,解无理 不等式是不等式性质的一个重要应用
1、乘方法 解下列不等式:(1)
2

x ? 2x ? 3 >
2

?2 x ? 1 , 4? x .

x ? 3x ? 4 ≥ x ? 2 , (3) x ? 2 ≥

2、解决含参变量的无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指(对数)数 不等式问题时常用数形结合。

[举例 1]不等式 1 ? x 则 a 的取值范围是 [举例 2] 若不等式 实数 a 的取值集合是

2

? x ? a 在[-1,1]上恒成立,[来源:Z,xx,k.Com]


[举例 1]定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且在[0,+ ? ) 为增函数,对任意 ? ∈R, 不等式 f(cos2 ? -3)+f(2m-sin ? )>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 网] [来源:学科

x

2

?1 ?

3 ax 的解集为[1,2],则

[ 举 例 2] 设 奇 函 数 f ( x ) 在 [-1 , 1] 上 是 增 函 数 , 且 f ( ? 1) ? ? 1 , 若 函 数

f (x) ? t
[巩固 1]不等式

2

? 2 at ? 1 对所有的 x ? [ ? 1,1] 及所有的 a ? [ ? 1,1] 都成立,则 t 的取值
;[来源:Z*xx*k.Com]

a

2

? x

2

? 2 x ? a ( a ? 0 ) 的解集是( )
范围是

A

?x 0 ?

x ? a?

B

?x 0 ?
2

x ? a?

? 4 ? C ? x x ? 0或 x ? ? a ? 5 ? ?

D

?

[巩固 1]f(x)是偶函数, f(x)在[0, ? ) 上是增函数, 且 + 如果 f(ax+1)≤f(x-2)在[ 1]上恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

1 2





[巩固 2]关于 x 的不等式 x 是 。

? log

a

( x ? 1) 在(0,1)上恒成立,则 a 的取值范围

[巩固 2]]对满足 0 ? P ? 4 的实数 P,做 x ? Px ? 4 x ? P ? 3 恒成立的 x 的取值 范围是: A. [ ? 1, 3 ] [迁移]已知函数 f ( x ) ? B. ( 3 , ?? ) C. ( ?? , ? 1) ? ( 3 , ?? ) D. ( ?? , ? 1 )

七. 遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题,通常采用分离

参数法, 转化为求某函数的最大值 (或最小值) 具体地:g(a)>f(x) ;
在 x∈A 上恒成立 ? g(a)>f(x)max ,g(a)<f(x)在 x∈A 上恒成立 ? g(a)<f(x)min,(x∈A)。当参变量难以分离时,也可以用:f(a,x)>0 在 x∈ A 上 恒 成 立 ? f(a,x)min>0, (x ∈ A) 及 f(a,x)<0 在 x ∈ A 上 恒 成 立
? f(a,x)max>0, (x∈A)来转化;还可以借助于函数图象解决问题。特别关

1 3

x ? x
3

2

? 3x ?

4 3

,直线 l : 9 x ? 2 y ? c ? 0 ,若当

x ? [ ? 2 , 2 ] 时,函数 y ? f ( x ) 的图象恒在直线 l 的下方,则 c 的取值范围是

注: “不等式 f(a,x)≥0 对所有 x∈M 恒成立”与 “不等式 f(a,x)≥0 对所 有 a∈M 恒成立”是两个不同的问题,前者是关于 x 的不等式,而后者则应 视为是关于 a 的不等式。特别提醒: “判别式”只能用于“二次函数对一切 实数恒成立”的问题,其它场合,概不适用。


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