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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(8)


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年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(8) 年黄冈市高考数学交流试题( 2010 年黄冈市高考数学交流试题(理)
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z1 = m + 2i, z2 = 3 ? 4i, 若 选项中,只

z1 为实数,则实数 m 的值为( ) z2 8 3 8 3 B. C. ? D. ? A. 3 2 3 2 x +1 ?1 ?1 ?1 2. 记函数 f ( x ) = 2 的反函数为 f ( x ) , f ( a ) + f (b) = 0 , a + b 的最小值是 若 则 ( )

A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 3.已知 m、n 是两条不同的直线, α、β 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m ? α , n // α ,则 m // n ; ②若 m // α , m // β ,则 α // β ; ③若 m ⊥ α , m ⊥ n ,则 n α ; 其中真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个
2

④若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β ; C.3 个
2

D.4 个

4.已知“命题 p : ( x ? m) > 3( x ? m) ”是“命题 q : x + 3 x ? 4 < 0 ”成立的必要不充分条 件,则实数 m 的取值范围为( ) A. m > 1或m < ?7 B. m ≥ 1或m ≤ ?7 D. ?7 ≤ m ≤ 1 C. ?7 < m < 1 5.定义行列式运算:

a1 a3

a2 a4

= a1 a 4 ? a 2 a3 , 将函数 f ( x) =

3 1

cos x sinx

的图象向左平
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移 m 个单位 ( m > 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是( ) A.

2π 3

B.

π
3

C.

π
8

D. π

5 6

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6.设集合 A = {0,1, 3},B = {0,1 2, ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平 2, , 3} 面 上 的 一 个 点 P ( a,b) , 记 “ 点 P ( a,b) 落 在 直 线 x + y = n 上 ” 为 事 件

Cn (0 ≤ n ≤ 6,n ∈ N ) ,若事件 Cn 的概率最大,则 n 的可能值为(
A.3 B.4
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C.2 和 5

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D.3 和 4

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7.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+1)≤f(x)+1,f(x R
+5)≥f(x)+5,则 f(6)的值是( ) A.6 B.5
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C.7

D.不能确定

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8.称 d ( a, b) =| a ? b | 为两个向量 a 、b 间的“距离”.若向量 a 、b 满足:① | b |= 1 ;② a ≠ b ; ③对任意的 t ∈ R ,恒有 d ( a, t b) ≥ d ( a, b) 则( ) ( A、 a ⊥ b B、 a ⊥ ( a ? b) C、 b ⊥ ( a ? b)

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D、 (a + b) ⊥ ( a ? b)

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9. 直 线 Ax + By + C = 0 与 圆 x 2 + y 2 = 4 交 于 M 、 N 两 点 , 若 满 足 C 2 = A2 + B 2 , 则 uuuu uuur r OM ? ON ( O 为坐标原点)等于( ). A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1 10. 已知函数 f (x ) 的定义域为[—2, + ∞ ) , 部分对应值如下表 , f ( x) 为 f (x) 的导函数,
'
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函数 y = f ( x) 的图象如右图所示:
'

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x
f ( x)

—2 1

0 —1

4
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1
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若两正数 a, b 满足 f (2a + b) < 1 ,则 A. ( , )

6 4 7 3

B. ( , )

3 7 5 3
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b+3 的取值范围是( a+3 2 6 C. ( , ) 3 5
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D. (? ,3)

1 3

二、填空题:本小题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分, 将答案填在题中相应的横线上。 11. 若 (1 + x ) (1 ? ax ) 的展开式中的 x3 项的系数为 20,
6 2
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则非零实数 a = 12.在 0, 1,2,3,4,5 这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中,其各个数字之和为 9 的三位数共有 个(用数字做答)
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13. 若不等式 3 x ? b < 4 的解集中的整数有且仅有 1, 3 , b 的取值范围 2, 则
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_____

2 2 14.如果直线 y=kx+1 与圆 x + y + kx + my ? 4 = 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线
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?kx ? y + 1 ≥ 0 ? x+y=0 对称,则不等式组: ?kx ? my ≤ 0 表示的平面区域的面积是 ?y ≥ 0 ?
15.已知:对于给定的 q ∈ N * 及映射 f : A → B, B ? N * ,若集合 C ? A ,且 C 中所有元 素对应的象之和大于或等于 q ,则称 C 为集合 A 的好子集。

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① 对 于 q = 2, A = {a, b, c} , 映 射 f : x → 1, x ∈ A , 那 么 集 合 A 的 所 有 好 子 集 的 个 数 为 ;

②对于给定的 q , A = 1, 2,3, 4,5, 6, π ,映射 f : A → B 的对应关系如下表:

x
f ( x)

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6

π
z

y

若当且仅当 C 中含有 π 和至少 A 中 2 个整数或者 C 中至少含有 A 中 5 个整数时, 为集合 A C
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的好子集,写出所有满足条件的数组 (q, y , z ) :



三、解答题:本大题共 6 小题,75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 16.(本小题满分 12 分) 已知 a = (cos x + sin x, sin x), b = (cos x ? sin x,2 cos x) ,设 f ( x) = a ? b . (1)求函数 f (x ) 的最小正周期; (2)当 x ∈ [0,
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π
2

] 时,求函数 f (x) 的最大值及最小值.

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17. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E 分别是 BC、AC 的中点, F 为 PC 上的一点,且 PF:FC=3:1. (1)求证:PA⊥BC;
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P

(2)试在 PC 上确定一点 G,使平面 ABG∥平面 DEF; (3)在满足(2)的情况下,求二面角 G-AB-C 的平面 角的正切值.
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A E

F D C

B

18. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球( n ≥ 2 且 n ∈ N ) ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球 后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖。 (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率;
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?

(2)若 n = 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率;

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(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p ) ,当 n 为何值是时, f ( p ) 最大?

19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ (0, e], g ( x ) =

ln x ,其中 e 是自然常数, a ∈ R. x
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(1)讨论 a = 1 时, f ( x ) 的单调性、极值;

(2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) > g ( x) +

1 ; 2

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(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理
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由. 20. (本题满分 13 分) 在四边形 ABCD 中 ,已知 A(0, 0), D (0, 4) ,点 B 在 x 轴上, BC // AD ,且对角线
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AC ⊥ BD .
(Ⅰ)求点 C 的轨迹方程;
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(Ⅱ)若点 P 是直线 y = 2 x ? 5 上任意一点,过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE 、 PF ,

E 、 F 为切点, M 为 EF 的中点.求证: PM ⊥ x 轴;

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(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不 是,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)
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设单调递增函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) , 且对任意的正实数 x,y 有:
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1 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 且 f ( ) = ?1 . 2

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⑴、一个各项均为正数的数列 {an } 满足: f ( sn ) = f ( an ) + f ( an + 1) ? 1 其中 Sn 为数列

{an } 的前 n 项和,求数列 {an } 的通项公式;

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⑵、在⑴的条件下,是否存在正数 M 使下列不等式:

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2n ? a1a2 KK an ≥ M 2n + 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)KK (2an ? 1)
*

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对一切 n ∈ N 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,请说明理由

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高考数学交流题参考答案
题号 答案
11. 5 14. 5 < b < 7 16.(本小题满分 16.(本小题满分 12 分)

1 D

2 D
12.

3 A
16 15. 4

4 B

5 D

6 A
13.

7 A
1 4
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8 C

9 A

10 B

(5,1,3)

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(1)Q f ( x) = a ? b = (cosx + sin x) ? (cosx ? sin x) + sin x ? 2 cosx = cos x ? sin x + 2 sin x cos x
2 2

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…………2 分

= cos 2 x + sin 2 x = 2 ( = 2(sin

2 2 sin 2 x) cos 2 x + 2 2

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π
4

cos 2 x + cos

π
4

sin 2 x ) = 2 sin( 2 x +
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π
4

)

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∴ f ( x ) 的最小正周期 T = π . (2) ∵ 0 ≤ x ≤

…………6 分

π 5π ≤ 2x + ≤ . …………8 分 4 4 4 2 π π π ∴当 2 x + = ,即 x = 时, f ( x ) 有最大值 2 ; …………10 分 4 2 8 π 5π π 当 2x + = ,即 x = 时, f ( x ) 有最小值-1. …………12 分 4 4 2
π
, ∴
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π

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17.(本小题满分 17.(本小题满分 12 分) .( 解:(1) 在△PAC 中,∵PA=3,AC=4,PC=5,
2 2 2
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∴ PA + AC = PC ,∴ PA ⊥ AC ;……1 分 又 AB=4,PB=5,∴在△PAB 中,
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同理可得 PA ⊥ AB …………………………2 分 ∵ AC I AB = A ,∴ PA ⊥ 平面ABC …… ∵ BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC. …………3 分
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(2) 如图所示取 PC 的中点 G,…………………4 分 连结 AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F 为 GC 的中点

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又 D、E 分别为 BC、AC 的中点, ∴AG∥EF,BG∥FD,又 AG∩GB=G,EF∩FD=F,……………6 分 ∴面 ABG∥面 DEF. 即 PC 上的中点 G 为所求的点.
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…………… 7 分

(3)由(2)知 G 这 PC 的中点,连结 GE, ∴GE⊥平面 ABC,过 E 作 EH⊥AB 于 H,连结 GH, 则 GH⊥AB,∴∠EHG 为二面角 G-AB-C 的平面角. ∵ S ?ABE = …………… 9 分
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1 5 39 S ?ABC = 2 8
5 39 4 = 5 39 4 16

又 S ?ABE =

1 AB ? EH 2

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2 S ?ABE ∴ EH = = AB
∴ tan ∠EHG =

又 GE =

1 3 PA = 2 2
教育博客 教育博客

…………… 11 分

EG 3 16 8 39 = × = EH 2 5 39 65 8 39 . 65

∴二面角 G-AB-C 的平面角的正切值为 18.(本小题满分 18.(本小题满分 12 分) .(

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…………… 12 分

(1)∵一次摸球从 n + 2 个球中任选两个,有 Cn+ 2 种选法, 解:
2

任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有 Cn + C2 种选法,
2 2

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∴一次摸球中奖的概率 p =

C +C n ?n+2 = 2 . 2 Cn + 2 n + 3n + 2
2 n 2 2 2

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(2)若 n = 3 ,则一次摸球中奖的概率 p =

2 , 5

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三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是

54 . 125 (3)设一次摸球中奖的概率为 p ,则三次摸球恰有一次中奖的概率为
P3 (1) = C1 ? p ? (1 ? p ) 2 = 3
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2 ∵ f ′ ( p ) = 9 p ? 12 p + 3 = 3 ( p ? 1)( 3 p ? 1) ,

f ( p ) = P3 (1) = C1 ? p ? (1 ? p ) = 3 p 3 ? 6 p 2 + 3 p , 0 < p < 1 , 3
2

∴ f ( p ) 在 ? 0, ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数. 1 ∴当 p =

? ?

1? 3?

?1 ?3

? ?

1 时, f ( p ) 取得最大值. 3 n2 ? n + 2 1 ∵p= 2 = ( n ≥ 2, 且n ∈ N* ) , n + 3n + 2 3 解得 n = 2 .

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故当 n = 2 时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大.
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19.(本小题满分 19.(本小题满分 12 分) .(

1 x ?1 = x x / ∴当 0 < x < 1 时, f ( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 单调递减
(1)Q f ( x ) = x ? ln x , f ′( x ) = 1 ? 当 1 < x < e 时, f ( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 单调递增
/

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∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) = 1 (2)Q f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) > 0 , f ( x ) min = 1 令 h( x) = g ( x) +
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1 ln x 1 1 ? ln x , ……6 分 = + , h ′( x) = 2 x 2 x

当 0 < x < e 时, h ′( x ) > 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ……7 分 ∴ h( x ) max = h(e) =

1 1 1 1 + < + = 1 =| f ( x) | min e 2 2 2 1 2
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∴在(1)的条件下, f ( x ) > g ( x) +

(3) 假设存在实数 a , f ( x ) = ax ? ln x x ∈ (0, e] ) 使 ( 有最小值 3,f / ( x ) = a ? ① 当 a ≤ 0 时, f (x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 ,a = 所以,此时 f (x ) 无最小值. ……10 分 ②当 0 <

1 ax ? 1 = x x 4 (舍去) , e

1 1 1 < e 时, f (x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a
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1 f ( x) min = f ( ) = 1 + ln a = 3 , a = e 2 ,满足条件. a
③ 当

1 4 , ≥ e 时, f (x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 ,a = (舍去) a e

所以,此时 f (x ) 无最小值.综上,存在实数 a = e 2 ,使得当 x ∈ (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.

20.(本小题满分 20.(本小题满分 13 分) .( (Ⅰ)如图,设点 C 的坐标为 ( x, y ) ( x ≠ 0, y ≠ 0) , 则 B ( x, 0), AC = ( x, y ), BD = ( ? x, 4) ,
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uuur

uuu r

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uuur uuu r 1 Q AC ⊥ BD ,∴ x ? (? x) + y ? 4 = 0 ,即 y = x 2 (x ≠ 0). 4
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∴所求的轨迹 T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3 分 (解法一)(Ⅱ)对函数 y = 设切点坐标为 ( x0 ,

1 2 1 x 求导得, y′ = x . 4 2

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1 2 1 1 1 x0 ) ,则过该切点的切线的斜率是 x0 ,该切线方程是 y ? x0 2 = x0 ( x ? x0 ) . 4 2 4 2 又设点 P 的坐标为 (t , 2t ? 5) , 1 2 1 Q 切线过点 P ,∴ 有 2t ? 5 ? x 0 = x0 (t ? x0 ) , 4 2 2 化简,得 x0 ? 2tx0 + 8t ? 20 = 0 . …………………………6 分 1 2 1 2 2 设 A 、 B 两点的坐标分别为 ( x1 , x1 ) 、 ( x2 , x2 ) ,则 x1 、 x2 为方程 x ? 2tx + 8t ? 20 = 0 的两根, 4 4 x1 + x 2 = 2t , x1 x 2 = 8t ? 20 . x +x ∴ xM = 1 2 = t 2
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因此,当 t = 0 时,直线 PM 与 y 轴重合, 当 t ≠ 0 时,直线 PM 与 y 轴平行
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…………9 分

(Ⅲ) Q yM =

1 1 2 1 2 1 1 1 ( x1 + x2 ) = [( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] = [4t 2 ? 2(8t ? 20)] = t 2 ? 2t + 5 . 2 4 4 8 8 2 1 ∴ 点 M 的坐标为 (t , t 2 ? 2t + 5) . 2 2 2 1 1 x ? 4 x2 1 1 1 = ( x1 + x2 ) = ? 2t = t . 又Q k AB = 4 1 x1 ? x2 4 4 2 1 1 ∴ 直线 AB 的方程为: y ? ( t 2 ? 2t + 5) = t ( x ? t ) ,即 t ( x ? 4) + 10 ? 2 y = 0 .………( ? ) 2 2 Q 当 x = 4, y = 5 时,方程( ? )恒成立, ∴ 对任意实数 t ,直线 AB 恒过定点,定点坐标为 (4, 5) . …………………………14 分
教育博客 教育博客 教育博客

( 解 法 二 ) ( Ⅱ ) 设 点 P 的 坐 标 为 (t , 2t ? 5) , 利 用 切 点 弦 直 线 方 程 的 结 论 可 得 出 直 线 AB 的 方 程 为

y + (2t ? 5) 1 1 = tx ,即 y = tx ? 2t + 5 2 4 2

…………………………7 分

? y = 1 tx ? 2t + 5, 2 ? 2 由? 得 x ? 2tx + 8t ? 20 = 0 . 1 2 ?y = x . 4 ?

∴ x1 + x 2 = 2t , x1 x 2 = 8t ? 20 . x +x ∴ xM = 1 2 = t . 2
因此,当 t = 0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t ≠ 0 时,直线 PM 与 y 轴平行. (Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线 AB 的方程为 y = 后面解法同解法一. ……………9 分

1 tx ? 2t + 5 ,即 t ( x ? 4) + 10 ? 2 y = 0 . 2

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21.(本小题满分 21.(本小题满分 13 分) .( ⑴、Q 对任意的正数 x、y 均有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 且 f ( ) = ?1 .………2 分 又Q an > 0且f ( S n ) = f ( an ) + f ( an + 1) ? 1 = f ( an ) + f ( an + 1) + f ( )

1 2

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1 2

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1 ∴ f ( S n ) = f [(an 2 + an ) × ] , 2

………………………………………………………4 分

又Q f ( x ) 是定义在 ( 0, +∞ ] 上的单增函数,∴ S n = 当 n = 1 时, a1 =

1 2 (an + an ) . 2

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1 2 (a1 + a1 ) ,∴ a12 ? a1 = 0 .Q a1 > 0 ,∴ a1 = 1 . 2
2 2
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当 n ≥ 2 时,Q 2an = 2 S n ? 2 S n ?1 = an + an ? an ?1 ? an ?1 ,

∴ (an + an ?1 )(an ? an ?1 ? 1) = 0 . Q an > 0 ∴ an ? an ?1 = 1(n ≥ 2) , ∴{an } 为 等 差 数 列 , a 1 = 1, d = 1 ,∴ an = n . …………………………………………………………………6 分
⑵、假设 M 存在满足条件, 即M ≤
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2 n a1a 2 LL a n 2 n + 1(2 a1 ? 1)(2 a2 ? 1) LL (2 a n ?1)

对一切 n ∈ N 恒成立. ……………8分
*

令 g (n) =

2 n a1 a2 LL a n , 2 n + 1(2 a1 ? 1)(2 a2 ? 1) LL (2 a n ? 1)

∴ g ( n + 1) =
g ( n + 1) = g (n)

2 n +1 × 1 × 2 × LL × n × ( n + 1) , ……………………………10 分 2 n + 3 × 1 × 3 × LL × (2 n ? 1)(2 n + 1)
2n + 2 = 2n + 1 2n + 3 4n 2 + 8n + 4 > 1 ,…………………………………12 分 4n 2 + 8n + 3



∴ g (n + 1) > g (n) ,∴ g (n) 单调递增,∴ n ∈ N * , g (n) ≥ g (1) =
2 3 . 3

2 3 . 3

∴0<M ≤

……………………………………………………………………14 分

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湖北省黄冈市名校2010年高三数学模拟试题(8)新人教版

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