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19.2.2第1课时 一次函数的概念


学练优八年级数学下(RJ) 教学课件

第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念

学习目标
情境引入

1.理解一次函数的概念,明确一次函数与正比例函数之间 的联系. 2.能利用一次函数解决简单的实际问题.(重点、难点)

导入新课 问题引入

问题1 某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高
1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们 所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系. y=5-6x 反思:这个函数是正比例函数吗?它与正比例函数有什

么不同?这种形式的函数还会有吗?

讲授新课

一 一次函数的概念
问题2 下列问题中,变量之间的对应关系是函数关 系吗?如果是,请写出函数解析式.

(1)有人发现,在20 ℃~25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数
c 与温度 t(单位:℃)有关,且 c 的值约是 t 的7 倍与35

的差;

(20≤t≤25) c=7t -35

(2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方 法是,以厘米为单位量出身高值 h ,再减常数105,所得 差是G 的值;

G=h-105

(3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包 括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费(按0.1元/min 收取);

y =0.1x+ 22
(4)把一个长10 cm,宽5 cm的矩形的长减少 x cm,

宽不变,矩形面积 y(单位:cm2)随x的值而变化.
(0≤x≤10) y =-5 x+50

问题3 观察以上出现的四个函数解析式,很显然它 们不是正比例函数,那么它们有什么共同特征呢?

( 1) c = 7 ( 2) G =

t - 35 h -105

(3) y = 0.1 x + 22

(4) y = -5 x + 50

y

= k(常数) x + b(常数)

知识要点

一般地,形如y=kx+b (k, b 是常数,k≠0) 的函数,叫做一次函数.

思考:一次函数与正比例函数有什么关系? (1)当b=0时,y=kx+b 即y=kx(k≠0),此时该一次函 数是正比例函数. (2)正比例函数是一种特殊的一次函数.

练一练

下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?

-8 2 (1)y =-8 x ; (2)y = ; (3)y =5 x +6 ; x x (4)y =- 0.5 x-1 ; (5)y = -1 ; 2 2 x -3 (x- 4) (6)y = -13 ; (7)y = 2 ; ( 8) y = . x 2
解:(1)(4)(5)(7)(8)是一次函数, (1)是正比例函数

典例精析

例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2 (1)当m为何值时,这个函数是一次函数? (2)当m为何值时,这个函数是正比例函数? 解:(1)由题意可得 m-1≠0,解得m≠1. 即m≠1时,这个函数是一次函数. (2)由题意可得

m-1≠0,1-m2=0,解得m=-1. 即m=-1时,这个函数是正比例函数.

例2 已知一次函数 y=kx+b,当 x=1时,y=5;当x=-1时, y=1.求 k 和 b 的值. 解:因为当x=1时,y=5;当x=-1时,y=1 所以

?

k ? b ? 5, - k ? b ?1

解得k=2,b=3.

二 一次函数的简单应用
例3 我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收
入低于3500元的部分不收税;月收入超过3500元但低于 5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他 应缴个人工资、薪金所得税为:(3860-3500)×3%=10.8元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得 税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式. 解:y=0.03×(x-3 500) (3500<x<5000)

(2)某人月收入为4160元,他应缴所得税多少元?

解:当x=4160时,y=0.03×(4160-3500)=19.8(元). (3)如果某人本月应缴所得税19.2元,那么此人本月工资是
多少元? 解:设此人本月工资是x元,则

19.2=0.03×(x-3500),
x=4140. 答:此人本月工资是4140元.

例4 如图,△ABC是边长为x的等边三角形. (1)求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的 一次函数吗?如果是,请指出相应的k与b的值.
A

解: (1)因为BC边上的高AD也是BC
边上的中线,所以,BD=x/2.在 Rt△ABD中,由勾股定理,得
1 3 h ? AD ? AB 2 ? BD2 ? x 2 ? x 2 ? x, 4 2
B D C

即 h ? 3 x.
2
3 所以h是x的一次函数,且 k ? , b ? 0. 2

(2)当h= 3 时,求x的值.

(3)求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一
次函数吗? 解( : 2)当h= 3 时,有

3?

3 x. 2

解得x=2.

1 1 3 3 2 x? x ? x , (3)因为 S ? AD ? BC ? ? 2 2 2 4

3 2 x , 所以,S不是x的一次函数. 即 S? 4

做一做

如果等腰三角形的周长是20cm,底边长是xcm,那 么,腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数解析式是什

么?这个函数是一次函数吗?

1 解:y=10- x,是一次函数. 2

当堂练习

1.下列说法正确的是( D )

A.一次函数是正比例函数.
B.正比例函数不是一次函数. C.不是正比例函数就不是一次函数. D.正比例函数是一次函数.

1 x?3 2.在函数①y=2-x,②y=8+0.03t,③y=1+x+ , ④y= 中, x x 是一次函数的有_________. ①②
3.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中,当m ≠2 时,y是x的一次函 数;当m =-2 时,y是x的正比例函数.

4.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动,其 速度每秒增加2 m/s. (1)求小球速度v(单位:m/s)关于时间t(单位: s)的函数解析式.它是一次函数吗? (2)求第2.5 s 时小球的速度; (3)时间每增加1 s,速度增加多少,速度增加量是 否随着时间的变化而变化?
解:(1)小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t,

是一次函数.
(2)当t=2.5时,v=2×2.5=5(m/s). (3)时间每增加1 s,速度增加2 m/s,速

度增加量不随着时间的变化而变化.

课堂小结

形式:y=kx+b(k≠0) 特别地,当b=0时, y=kx(k≠0)是正比例函数 一次函数的 概念

一次函数的简单应用


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