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高三数学综合测试题


高三数学综合测试题(二)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的.
1、设 i 为虚数单位,则

5?i ? 1? i

A -2-3i B -2+3i C 2-3i D 2+3i 解析:选 C,本题主要考察了复数代数形式的四则运算,属容易题 2、设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 A -11 B -8 C 5
3

S5 ? S2
D 11

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 3、设 0<x<

π ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的 2
B 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件

A 充分而不必要条件 C 充分必要条件 解析:因为 0<x<

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相 2

同,可知答案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想 和处理不等关系的能力,属中档题 x+3y-3≥0, 4、若实数 x,y 满足不等式组合 2x-y-3≤0, 则 x+y 的最大值为 x-y+1≥0, A 9 B

15 7

C 1

D

7 15

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要 考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数 形结合的思想,属中档题 5、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体 积是 A C

352 3 cm 3 224 3 cm 3

B

320 3 cm 3 160 3 D cm 3

解析:选 B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算,属容易题 6、已知 x 是函数 f(x)=2x+ ,则 x 2 ∈( x 0 ,+ ? )
1

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

A C

f( x1 )<0,f( x 2 )<0 f( x1 )>0,f( x 2 )<0

B D

f( x1 )<0,f( x 2 )>0 f( x1 )>0,f( x 2 )>0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 7、设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存 a 2 b2

在点 P,满足∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为 A x± 3 y=0 B

3 x±y=0

C

x± 2y =0

D

2x ±y=0

解析:选 D,本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几 何图形、几何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题 8、设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 A -11 B -8 C 5

S5 ? S2
D 11
3

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 9、对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 A C

z? z?2 y z? z?2 x

B D

z 2 ? x2 ? y 2

z ? x? y

解析:可对选项逐个检查,A 项, z ? z ? 2 y ,故 A 错,B 项, z 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ,故 B 错,C 项, z ? z ? 2 y ,故 C 错,D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复 数及其几何意义,属中档题 10、设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A 若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C 若 l //? , m ? ? ,则 l //m B 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D 若 l //? , m//? ,则 l //m

解析:选 B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察,属中档题

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

2

11、函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小

正周期是__________________ . 解析:f ?x ? ?

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正 2 4? ?

周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及相 关公式,属中档题 12、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此几何体的体积是___________ cm . 解析:图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由卷中所给公式计算得体积为 144, 本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题 13、已知平面向量 ? , ? , ? ? 1,
3

? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ? 的值是
2



解析: 10 ,由题意可知 ? ? ?? - 2? ? ? 0 ,结合 ?

? 1, ?

2

? 4 ,解得 ? ? ? ?

1 ,所以 2

2a ? ? 2= 4? 2 ? 4? ? ? ? ? 2 ? 8 ? 2 ? 10 ,开方可知答案为 10 ,本题主要考察了平面
向量的四则运算及其几何意义,属中档题。 14、在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 、

解析:45;46,本题主要考察了茎叶图所表达的含义,以及从样本数据中提取数字特征的能 力,属容易题。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
15、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足

3

S?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。 解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能 力。

(Ⅰ)解:由题意可知 所以 tanC= 3 .

1 3 absinC= ,2abcosC. 2 4
所以 C=

因为 0<C< π ,

π . 3 2π -A) 3

(Ⅱ)解:由已知 sinA+sinB=sinA+sin( π -C-A)=sinA+sin(

=sinA+ 当△ABC 为正三角形时取等号, 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 .

1 π 3 cosA+ sinA= 3 sin(A+ )≤ 3 . 2 6 2

16、 a1, 为实数, 设 d 首项为 a1, 公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 解析:本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问 题解决问题的能力。 (Ⅰ)解:由题意知 S6=

-15 =-3, S5
解得 a1=7

A6=S6-S5=-8

所以 ?

?5a1 ? 10d ? 5, ? a 1 ?5d ? ?8.

所以 S6= -3,a1=7 (Ⅱ)解:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8.
[

即 2a12+9da1+10d2+1=0.

故 d 的取值范围为 d≤-2 2 或 d≥2 2 .

4

17、 (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 (a-b) (a, b ? R, a <b)。 (I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4 解析:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基 础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 (Ⅰ)解:当 a=1,b=2 时, 因为 f’(x)=(x-1)(3x-5) 故 f’(2)=1 f(2)=0,

所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2 (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 由于 a<b. 故 a<

a ? 2b ) , 3

a ? 2b . 3

所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a ? 2b , 3

a ? 2b . 3

[

因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b.

a ? 2b a ? 2b -a=2(b- ) , 3 3 1 a ? 2b 2a ? b x4= (a+ )= , 2 3 3 2 a ? b a ? 2b 所以 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
又因为 18、已知 m 是非零实数,抛物线 C : y ? 2 ps (p>0)
2

的焦点 F 在直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 上。 2

(I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 (II)设直线 l 与抛物线 C 交于 A、B,△A A2 F ,△ BB1F 的重心分别为 G,H 求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。

5

解析:本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时 考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为焦点 F( 又 m=2,故 ? ? 4 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2m2 x

P ,0)在直线 l 上, 2

得? ?m

2

设 A(x1,y1) , B(x2,y2)

? m2 , ? x ? my ? 由? 2 消去 x 得 ? y 2 ? 2m2 x, ?

y2-2m3y-m4=0, 由于 m≠0,故 ? =4m6+4m4>0, 且有 y1+y2=2m3,y1y2=-m4, 设 M1,M2 分别为线段 AA1,BB1 的中点, 由于 2 M1C ? GF ,2M 2 H ? HF , 可知 G(

????? ??? ?????? ???? ?

x1 2 y1 x 2y , ) ,H( 2 , 2 ) , 3 3 3 3

所以

x1 ? x2 m( y1 ? y2 ) ? m2 m4 m2 ? ? ? , 6 6 3 6

2 y1 ? 2 y2 2m3 ? , 6 3

6

所以 GH 的中点 M ?

? m 4 m 2 2m 2 ? ? , ?. 6 3 ? ? 3

设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径, 则R ?
2

1 1 | GH |2 ? (m 2 ? 4)(m 2 ? 1)m 2 4 9

设抛物线的标准线与 x 轴交点 N (?

m2 , 0) , 2

则 | MN |2 ? ?

? m 2 m 4 m 2 ? 2m 3 2 1 4 4 ? ? ) = m (m +8 m2+4) ??( 9 3 6 ? 3 ? 2

=

1 4 2 1 m [(m +1)( m2+4)+3m2]> m2 (m2+1)( m2+4)=R2. 9 9

故 N 在以线段 GH 为直径的圆外. 19、有编号为 A , A2 ,L , A 的 10 个零件,测量其直径(单位: cm ) ,得到下面数据: 1 10
编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间 ?1.48,1.52? 内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率. (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率 【解】 (Ⅰ)由所给的数据可知,一等品的零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A ,则

P ? A? ?

6 3 ? . 10 5 3 . 5

所以从 10 个零件中,随机抽取一个零件为一等品的概率为 (Ⅱ)(ⅰ)一等品零件的编号为 A , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 . 1

从这 6 个一等品零件种随机抽取 2 个,所有可能的抽取结果有

? A1, A2? , ? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? ,

? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? .共15 种.
(ⅱ) 记“从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等”为事件 B ,则事件 B 的所有可能 结果有

? A1, A4? , ? A1, A6? , ? A4 , A6 ? , ? A2 , A3? , ? A2 , A5? , ? A3 , A5? 共 6 种.
7

所以 P ? B ? ?

6 2 ? . 15 5 2 . 5

因此从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等的概率为

20、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为线段 AB 的中点,将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE,使平面 A’DE⊥平面 BCD,F 为线段 A’C 的中点。 (Ⅰ)求证:BF∥平面 A’DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的余弦值。

解析:本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想 象能力和推理论证能力。 (Ⅰ)证明:取 A′D 的中点 G,连结 GF,CE,由条件易知 FG∥CD,FG= BE∥CD,BE=

1 CD. 2

1 CD. 2

所以 FG∥BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF∥EG

? 因为 EG ? 平面 A ' DE ,BF ? 平面 A ' DE
所以 BF//平面 A ' DE (Ⅱ)解:在平行四边形,ABCD 中,设 BC=a 则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连 CE 因为 ?ABC ? 120
0

在△BCE 中,可得 CE= 3 a, 在△ADE 中,可得 DE=a,
8

在△CDE 中,因为 CD2=CE2+DE2,所以 CE⊥DE, 在正三角形 A′DE 中,M 为 DE 中点,所以 A′M⊥DE. 由平面 A′DE⊥平面 BCD, 可知 A′M⊥平面 BCD,A′M⊥CE. 取 A′E 的中点 N,连线 NM、NF, 所以 NF⊥DE,NF⊥A′M. 因为 DE 交 A′M 于 M, 所以 NF⊥平面 A′DE, 则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 新成角. 在 Rt△FMN 中,NF= 则 cos ?FMN =

1 3 a, MN= a, FM=a, 2 2

1 . 2 1 . 2

所以直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值为

9

高三数学综合测试题(三)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的.
1、 i 是虚数单位,复数 A. 1 ? i 【解】

?1 ? 3i ?( 1 ? 2i B. 5 ? 5i

) . C. ?5 ? 5i D. ? 1 ? i

?1 ? 3i ? ?1 ? 3i ??1 ? 2i ? 5 ? 5i ? ? ? 1 ? i .故选A. 1 ? 2i 5 ?1 ? 2i ??1 ? 2i ?
x

2、函数 f ? x ? ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是( A. ? ?2, ?1? B. ? ?1,0 ?
?2

) . D. ?1, 2 ?
0

C. ? 0,1?
?1

【解】解法 1.因为 f ? ?2? ? 2 ? 6 ? 0 , f ? ?1? ? 2 ? 3 ? 0 , f ? 0? ? 2 ? 0 ? 0 , 所以函数 f ? x ? ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是 ? ?1,0? .故选B.
x x 解法 2. f ? x ? ? 2 ? 3x ? 0 可化为 2 ? ?3x .
x

画出函数 y ? 2x 和 y ? ?3x 的图象,可观察出选项C,D不正确, 且 f ? 0? ? 2 ? 0 ? 0 ,由此可排除A,故选B.
0

3、命题“若 f ? x ? 是奇函数,则 f ? ? x ? 是奇函数”的否命题是( A.若 f ? x ? 偶函数,则 f ? ? x ? 是偶函数 B.若 f ? x ? 不是奇函数,则 f ? ? x ? 不是奇函数 C.若 f ? ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? 是奇函数 D.若 f ? ? x ? 不是奇函数,则 f ? x ? 不是奇函数 【解】由四种命题的定义,故选B. 4、 阅读右边的程序框图, 若输出 s 的值为 ?7 , 则判断框内可填写 ( A. i ? 3? B. i ? 4? i ? 5? C. D. i ? 6?

) .

) .

【解】由框图,第一步为 s ? 1, i ? 3 ,第二步为 s ? ?2, i ? 5 ,第三步为

s ? ?7, i ? 7 ,由于输出 s 的值为 ?7 ,则需否 i ? 7 ,因此判断框内为 i ? 6? 故选D.

10

5、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦 a 2 b2
) .

点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 36 108

B.

x2 y 2 ? ?1 9 27

x2 y2 ? ?1 C. 108 36

x2 y 2 ? ?1 D. 27 9
x2 ? y2 ?1.

【解】解法 1.由题设可得双曲线方程满足 3x2 ? y 2 ? ? ,即

?

?

3
于是 c ?
2

?
3

?? ?

4? . 3

又抛物线 y 2 ? 24 x 的准线方程为 x ? ?6 , 因为双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的 准线上,则

c2 ?
所以双曲线的方程

4? ? 36 ,于是 ? ? 27 . 3

x2 y 2 ? ? 1 .故选B. 9 27
2

解法 2.因为抛物线 y ? 24 x 的准线方程为 x ? ?6 ,双曲线的一个焦点在抛物线

y 2 ? 24 x 的准线上,则 c2 ? 36 .由此排除A,C.
又双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? x ? 3 x ,则 b ? a ,由 2 a a b

此又排除D,故选B. 6、已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 .则 ? 前 5 项和为( A. ) . B.

?1? ?的 ? an ?

15 或5 8 31 C. 16

31 或5 16 15 D. 8

【解】设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 9S3 ? S6 可知 q ? 1 .于是又
11

9 ?1 ? q 3 ? 1? q

?

1 ? q6 , 1? q

3 3 于是 q6 ? 9q3 ? 8 ? 0 ,即 q ? 1 q ? 8 ? 0 ,因为 q ? 1 ,则 q ? 2 .

?

??

?

1 ?1? q5 ? 1 31 1 q5 ? 4 ? .故选C. 数列 ? ? 的首项为 1 ,公比为 ,则前 5 项和 T5 ? 1 q ? q ? 1? 16 q ? an ? 1? q 1?
2 2 7 、 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? (
A. 30? B. 60?

) . C. 120? D. 150?
2 2

【解】由 sin C ? 2 3sin B 及正弦定理得 c ? 2 3b ,代入 a ? b ? 3bc 得

a2 ? b2 ? 3b ? 2 3b ? 6b2 ,即 a 2 ? 7b2 ,又 c2 ? 12b2 ,
由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 6 3 , ? ? ? 2 2bc 2 4 3b 4 3

所以 A ? 30? .故选A. 8、设函数 f ? x ? ? ?log ( ) . A. ? ?1,0 ? U ? 0,1? C. ? ?1,0? U?1,??? B. ? ??,?1? U?1,??? D. ? ??,?1? U? 0,1?

x? 0 ? log2 x , ? 若 f ? a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ?x? , x ? 0 ? 2 ?

【解】若 a ? 0 ,则 log 2 a ? log 1 a ,即 2log2 a ? 0 ,所以 a ? 1 ,
2

若 a ? 0 则 log 1 ? ?a ? ? log2 ? ?a ? ,即 2log 2 ? ?a ? ?0 ,所以 0 ? ? a ? 1 , ?1 ? a ? 0 。
2

所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? ? ?1,0? U?1,??? .故选 C. 9、 设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R ,B ? x x ? b ? 2, x ? R . A ? B , 若 则实数 a , b 必满足( ) .

?

?

?

?

A. a ? b ? 3 B. B . a ? b ? 3 C.C. a ? b ? 3 D.D. a ? b ? 3 【解】集合 A 化为 A ? x a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R , 集合 B 化为 B ? x x ? b ? 2或x ? b ? 2, x ? R .

?

?

?

?

12

B A a- 1 a+1 b- 2 b+2 a- 1

B A a+1

若 A ? B ,则满足 a ? 1 ? b ? 2 或 a ? 1 ? b ? 2 ,因此有

a ? b ? ?3 或 a ? b ? 3 ,即 a ? b ? 3 .故选D.
10、右图是函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? x?R ? 在区间 ? ?

? ? 5? ? 上的图象,为了得到这 , ? 6 6 ? ?

个函数的图象,只要将 y ? sin x ? x?R ? 的图象上的所有的点 ( ) . A.向左平移 原来的

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 3

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? ? ? ? 【 解 】解 法 1 . 如图 ,平 移 需 满 足 ? ? ? ? ? , 解 得 ? ? .因此首先将 ? 2 6 3 ? y ? sin x ? x?R ? 的图象上的所有的点向左平移 个单位长度, 3
B.向左平移 又因为该函数的周期为 T ? 2 ? 上的所有的点横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ,于是再需把 y ? sin x ? x?R ? 的图象 ? 3 ? 6 ??
1 倍.故选A. 2

? ? ?? ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 解法 2.由已知图象得 ? 解得 ? ? 2, ? ? ,又 A ? 1 , 3 ? ? ? ? ?? ? ? , ? 3 ?
所以图中函数的解析式是 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

因此该函数的图象是将 y ? sin x ? x?R ? 的图象上的所有的点向左平移

? 个单位长 3

13

度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变得到的.故选A. 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.
11.甲、乙两人在 10 天中每天加工的零件的个数用茎叶 图表示如下图. 中间一列的数字表示零件个数的十位数, 两边 的数字零件个数的个位数,则这 10 天中甲、乙两人日加工零 件的平均数分别为 和 . 【解】 24 , 23 . 设甲的平均数为 a ,乙的平均数为 b ,则

?1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 3 ? 2 ? ?0 ? 15 ? 11 ? 11 ? 24 . 10 ?1 ? 3 ? 9 ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 10 ? 12 ? 10 b ? 20 ? ? 23 . 10 则这 10 天中甲、 乙两人日加工零件的平均数分别为 24 和 23 . a ? 20 ?
12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为 . 【解】
1 2 1
正视图

1 2 1
侧视图

10 . 3

几何体是由一个正四棱锥和一个长方体组合而成. 设几何体的体积为 V ,正四棱锥的体积为 V1 ,长方体的体积
2

为 V2 .

1 2 4 10 2 则 V ? V1 ? V2 ? ? 2 ?1 ? 1 ? 2 ? ? 2 ? . 3 3 3
13.①已知圆 C 的圆心是直线 ?

2
俯视图

? x ? t, ( t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 ? y ? 1? t


x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程为
2 【解】 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

把直线 ?

? x ? t, ( t 为参数)化为普通方程为 y ? x ? 1 ,与 x 轴的交点为 ? ?1,0? . ? y ? 1? t

于是圆心的坐标为 ? ?1,0? ; 因为圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,所以圆心到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离即为半径 r , 因此 r ?

?1 ? 0 ? 3 12 ? 12

? 2.
14

2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

②如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和

A B O C D P

PB 1 PC 1 BC DC 相交于点 P . ? , ? . 若 则 的值为 PA 2 PD 3 AD



6 【解】 . 6
因为四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 所以 ?PBC ? ?D ,又 ?BPC ? ?DPA , 所以 ?BPC ∽ ?DPA . 于是

PB PC BC ? ? . PD PA DA
PB 1 PC 1 PB PC ? BC ? ? , ? ,所以 ? ?? ? , PA 2 PD 3 PD PA ? DA ?
2 2 2

因为

PB PC ? BC ? PB PC ? BC ? 1 1 1 从而 ? ?? ? ?? ? ,于是 ? ? ? ? , PA PD ? DA ? PA PD ? DA ? 2 3 6
BC 6 . ? AD 6
③ . 如 图 , 在 ?ABC 中 , A D ? A B, BC ? 3 BD ,

A
uuu r uuu r

uuu r uuu uuu r r AD ? 1 ,则 AC ? AD ?
【解】 3 .



B

D

C

设 BD ? a ,则 BC ? 3a , CD ?

uuu r

uuu r

uuu r

?

3 ?1 a .

?

又 AD ? 1 , AD ? AB ,则 AB ? a2 ?1 . 解法 1. AC ? AD ? BC ? BA ? AD ? BC ? AD ? BA ? AD . 因为 AD ? AB ,所以 BA ? AD ? 0 .

uuu r

uuu uuu r r

?

uuu uur r

?

uuu r

uuu uuu uu uuu r r r r

uu uuu r r

uuu r AD 1 因为 ?ADB 是直角三角形,所以 cos ?ADB ? uuu ?? . r a BD
于是 AC ? AD ? BC ? AD ? BC ? AD ? cos ?ADB ?

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

3a ?1?

解法 2. AC ? AD ? AD ? DC ? AD ? AD ? DC ? AD

uuu uuu r r

?

uuu uuu uuu r r r

?

1 ? 3. a

uuu 2 uuu uuu r r r

15

uuu uuu r r ? 1 ? DC ? AD cos ?ADB ? 1 ?

?

3 ?1 a ?

?

解法 3.设 ?DAC ? ? ,则 ?BAC ?

?
2

1 ? 3. a

?? .

在 ?ABC 中,由正弦定理得

uuu r BC sin ?BAC

?

uuu r AC sin B
,



3a ?? ? sin ? ? ? ? ?2 ?

?

uuu r AC 1 a
,所以

uuu r 3a 3 3a ? a AC , cos ? ? uuu ? uuu . r r cos ? a AC AC

r r uuu r uuu uuu uuu uuu r r 3 AC ? AD ? AC ? AD cos ? ? AC ?1? uuu ? 3 . r AC
解法 4.根据题意,建立如图的直角坐标系..则 D ?1,0? . 设 C ? x, y ? ,于是 AC ? ? x , y ? , AD ? ?1, 0 ? .

y B

uuu r

uuu r

uuu uuu r r AC ? AD ? ? x, y ? ? ?1, 0 ? ? x .为此,只需求出点 C 的横
坐标. 作 AE ? x 轴于 E .由 ?CDE ∽ ?DBA , 则

A

D

E C

x

DE AD

?

DC DB

,于是

DE ? 1

?

3 ?1 a a

?

,于是 DE ? 3 ? 1 . AE ? 3 .

即点 C 的横坐标 x ? 3 .所以 AC ? AD ? 3 . 14.设函数 f ? x ? ? x ?1 .对任意 x ? ? , ?? ? , f ?
2

uuu uuu r r

?3 ?2

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m?

恒成立,则实数 m 的取值范围是 【解】 ? ??, ?



? ? ?

? 3? ? 3 ? U ? , ?? ? . ? 2 ? ? 2 ?

解法1.不等式化为 f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? 0 ,即 ?m?

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 , 2 m

整理得 ?1 ?

? ?

1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 2 m ?

16

因为 x ? 0 ,所以 1 ?
2

1 2x ? 3 ? 4m 2 ? , 2 m x2

设 g ? x? ?

2x ? 3 ?3 ? , x ? ? , ?? ? . 2 x ?2 ?
1 ?3 ? ? 4m 2 ? g ? x ? ,对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立的问题. 2 m ?2 ?

于是题目化为 1 ?

为此需求 g ? x ? ? 设u ?

2x ? 3 ?3 ? , x ? ? , ?? ? 的最大值. 2 x ?2 ?

1 2 ,则 0 ? u ? . x 3

函数 g ? x ? ? h ?u ? ? 3u2 ? 2u 在区间 ? 0, ? 上是增函数,因而在 u ? 处取得最大值. 3 ? 3?

?

2?

2

4 2? 2 8 ?2? h ? ? ? 3? ? ? , 9 3 3 ?3?
所以 1 ?

1 8 ? 4m2 ? umax ? x ? ? , 2 m 3

2 2 4 2 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 ,

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?
2

3 3 或m ? , 2 2
? ? ? ? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ?

解法 2.同解法 1,题目化为 1 ?

1 ?3 ? ? 4m 2 ? g ? x ? ,对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立的问题. 2 m ?2 ?

为此需求 g ? x ? ?

2x ? 3 ?3 ? , x ? ? , ?? ? 的最大值. 2 x ?2 ?

设 t ? 2 x ? 3 ,则 t ??6, ?? ? .

g ? x ? ? h ?t ? ?
因为函数 t ?

4t 4 . ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 t
2

9 在 ?3,??? 上是增函数, t 9 3 所以当 t ? 6 时, t ? 取得最小值 6 ? . t 2
17

4 8 ? . 3 6? ?6 3 2 1 8 2 所以 1 ? 2 ? 4m ? g max ? x ? ? , m 3
从而 h ? t ? 有最大值
2 2 4 2 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 ,

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?
2

3 3 或m ? , 2 2
? ? ? ? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ?

解法 3.不等式化为 f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? 0 ,即 ?m?

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 , m2

整理得 ?1 ?

? ?

1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 2 m ? 1 ? ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 . 2 m ?

令 F ( x) ? ?1 ?

? ?

由于 F ? 0? ? ?3 ? 0 , 则其判别式 ? ? 0 , 因此 F ? x ? 的最小值不可能在函数图象的顶点得到, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立,必须使 F ? 即实数 m 应满足

?3 ?2

? ?

?3? ? 为最小值, ?2?

? ? 1 ?1 ? 2 ? 4 2 ? 0 ; m ? m ? ?3? ? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? ? 2 ?1 ? 1 ? 4m 2 ? 2 ? ? ? ? m2 ? ?
解得 m ?
2

3 , 4

18

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ?

? ? ?

? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 x ? ? , ?? ? ,

?3 ?2

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m?
恒成立, 则对 x ?

3 ,不等式 2

?x? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? 也成立, ?m? ? 3 ? ?1? 2 ?3? f? ? ? 4m f ? ? ? f ? ? ? 4 f ? m ? ,即 ? 2m ? ?2? ? 2?

把x?

3 代入上式得 2

9 9 1 ? 1 ? 4 2 ? ? 4 2 ? ? ? m 2? , m m 1 4 4 2 4 4 4m
因为 4m ? 0 ,上式两边同乘以 4m ,并整理得
2 2

12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,即 ? 4m 2 ? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0 ,
所以 4m ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?
2

3 3 或m ? , 2 2
? ? ? ? 3? ? 3 , ?? ? . ? U? ? 2 ? ? 2 ?

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
AC cos B ? . AB cos C (Ⅰ)证明: B ? C .
15、在 ?ABC 中, (Ⅱ)若 cos A ? ?

1 ?? ? .求 sin ? 4 B ? ? 的值. 3 3? ? AC cos B sin B cos B ? ? 及正弦定理得 , AB cos C sin C cos C

【解】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由

于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0 ,即 sin ? B ? C ? ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? ,则 ?? ? B ? C ? ? ,

19

因此 B ? C ? 0 ,所以 B ? C . (Ⅱ)由 A ? B ? C ? ? 和(Ⅰ)得 A ? ? ? 2 B , 所以 cos 2 B ? ? cos ?? ? 2 B ? ? ? cos A ? 又由 B ? C 知 0 ? 2B ? ? ,所以 sin 2 B ?

1 , 3

2 2 . 3

sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ?

4 2 . 9

7 cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? . 9
所以 sin ? 4B ?

? ?

??

? ? sin 4B cos ? cos 4B sin ? 3? 3 3

?

?

4 2 ?7 3 . 18

16、有编号为 A , A2 ,L , A 的 10 个零件,测量其直径(单位: cm ) ,得到下面数据: 1 10
编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间 ?1.48,1.52? 内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率. (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率 【解】 (Ⅰ)由所给的数据可知,一等品的零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A ,则

P ? A? ?

6 3 ? . 10 5 3 . 5

所以从 10 个零件中,随机抽取一个零件为一等品的概率为 (Ⅱ)(ⅰ)一等品零件的编号为 A , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 . 1

从这 6 个一等品零件种随机抽取 2 个,所有可能的抽取结果有

? A1, A2? , ? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? ,

? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? .
共 15 种. (ⅱ) 记“从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等”为事件 B ,则事件 B 的所有可能 结果有

? A1, A4? , ? A1, A6? , ? A4 , A6 ? , ? A2 , A3? , ? A2 , A5? , ? A3 , A5?
20

共 6 种. 所以 P ? B ? ?

6 2 ? . 15 5 2 . 5

因此从一等品零件中,随机抽取 2 个直径相等的概率为

17、如图,在五面体 ABCDE 中,四边形 ADEF 是正方形,

F

FA ? 平面ABCD , BC / / AD , CD ? 1 , AD ? 2 2 ,
?BAD ? ?CDA ? 45? . (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成的角的余弦值; (Ⅱ)证明: CD ? 平面ABF ; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? A 的正切值. 【解】 (Ⅰ)因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA / / ED .
故 ?CED 为异面直线 EF 与 A1D 所成的角. 因为 FA ? 平面ABCD ,所以 FA ? CD .故 ED ? CD . 在 Rt ?CDE 中, CD ? 1 , ED ? AD ? 2 2 ,所以 CE ? CD2 ? ED2 ? 3 . 因此 cos ?CED ?

E

A B D C

ED 2 2 . ? CE 3 2 2 . 3

F

N

E

所以异面直线 EF 与 A1D 所成的角的余弦值为

(Ⅱ)过点 B 作 BG / / CD ,交 AD 于 G , 则 ?BGA ? ?CDA ? 45? ,又 ?BAD ? ?CDA ? 45? , 所以 BG ? AB .从而 CD ? AB . 又 CD ? FA ,且 FA I AB ? A . 所以 CD ? 平面ABF . (Ⅲ)由(Ⅱ)及已知,可得 AG ? 2 ,即 G 为 AD 的中点. 取 EF 的中点 N ,连接 GN .则 GN ? EF . 因为 BC / / AD ,所以 BC / / EF . 过点 N 作 NM ? EF ,交 BC 于 M . 则 ?GNM 为二面角 B ? EF ? A 的平面角. 连接 GM ,可得 AD ? 平面GNM . 所以 AD ? GM ,从而 BC ? GM .由已知可得 GM ? 由 NG / / FA , FA ? GM ,可得 NG ? GM .

A B

G D

M C

2 . 2

GM 1 ? . NG 4 1 所以二面角 B ? EF ? A 的正切值为 . 4
在 Rt ?NGM 中, tan ?NGM ?
21

18、已知函数 f ? x ? ? ax ?
3

3 2 x ? 1 ? x?R ? ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

?

?

? 1 1? , 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?
3

【解】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?

3 2 x ? 1 , f ? 2? ? 3 . 2

f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 3x , f ? ? 2 ? ? 6 .
所以曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程为

?

?

y ? 3 ? 6 ? x ? 2? ,


y ? 6x ? 9 .

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 3ax2 ? 3x ? 3x ? ax ? 1? . 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 针对区间 ? ?

1 . a

? 1 1? , ,需分两种情况讨论: ? 2 2? ?
1 1 ? . a 2

(1) 若 0 ? a ? 2 ,则

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ? ?


0

0
极大值

? 1? ? 0, ? ? 2? ?


所以 f ? x ? 在区间 ? ?

? 1 1? , 上的最小值在区间的端点得到. ? 2 2? ?

因此在区间 ? ?

? 1 1? , 上, f ? x ? ? 0 恒成立,等价于 ? 2 2? ?

? ? 1? ?5 ? a ? f ? ? 2 ? ? 0, ? 8 ? 0, ? ? ? ? 即? ? ? 5 ? a ? 0, ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? 8 ? ?2? ? ? 解得 ?5 ? a ? 5 ,又因为 0 ? a ? 2 ,所以 0 ? a ? 2 .
22

(2) 若 a ? 2 ,则 0 ?

1 1 ? . a 2

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ? ?


0

0
极大值

? 1? ? 0, ? ? a? ?


1 a 0
极小值

?1 1? ? , ? ?a 2? ?


所以 f ? x ? 在区间 ? ?

1 ? 1 1? , ? 上的最小值在区间的端点或 x ? 处得到. a ? 2 2?

因此在区间 ? ?

? 1 1? , 上, f ? x ? ? 0 恒成立,等价于 ? 2 2? ?
? 5?a ? 8 ? 0, ? 即? ?1 ? 1 ? 0, ? 2a 2 ?

? ? 1? ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ?a? ? ? ?
解得

2 2 ,又因为 a ? 2 ,所以 2 ? a ? 5 . ? a ?5或a ? ? 2 2

综合(1),(2), a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . 19、已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 e ? .连接椭圆的四个顶点得到的 2 a b 2

菱形的面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? . (ⅰ) 若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

(ⅱ)点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值. 【解】 (Ⅰ)由 e ?

uur uur u

c 3 2 2 2 2 2 ? 得 3a ? 4c ,再由 a ? b ? c 得 a ? 2b . a 2

因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 , 所以

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,则 ab ? 2 , 2

解方程组 ?

?a ? 2b, 得 a ? 2, b ? 1 . ?ab ? 2,
23

所以椭圆的方程

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得 A ? ?2,0? .设点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? , 由题意直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? 。

? y ? k ? x ? 2? , ? 于是 A, B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? 4 由方程组消去 y 并整理得

?1 ? 4k ? x
2

2

? 1 6 2 x? 1 6 2 ? ? 4 ?,0 k ? k

因为 x ? ?2 是方程的一个根,则由韦达定理有

?2 x1 ?

16 2? 4 k , 1 ? 4k 2

4k 2 ? 8k 2 所以 x1 ? ,从而 y1 ? k ? x1 ? 2 ? ? . 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k
2 ? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 , AB ? ? ?2 ? ? ?? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2

由 AB ? 整理得

4 2 4 1? k 2 4 2 ,得 , ? 5 5 1 ? 4k 2

32k 4 ? 9k 2 ? 23 ? 0 , k 2 ? 1 32k 2 ? 23 ? 0 ,所以 k ? ?1 .

?

??

?

所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4
? 8k 2 2k ? , . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?

(ⅱ)线段 AB 的中点为 M ,则 M 的坐标为 ? ? 下面分情况讨论:

(1) 当 k ? 0 时,点 B 的坐标为 ? 2, 0 ? ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴. 于是 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? ,由 QA ? QB ? 4 得 y0 ? ?2 2 . (2) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

uur

uuu r

uur uur u

y?

2k 1? 8k 2 ? ? ? ?x? ?. 1 ? 4k 2 k ? 1 ? 4k 2 ?

24

6k 1 ? 4k 2 uur uuu r 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,
令 x ? 0 得 y0 ? ?

uur uur u ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 ?
? 4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k 2 ?
2

2

? 4.

整理得 7k ? 2 . k ? ?

14 . 7

所以 y0 ? ?

6k 2 14 . ?? 2 1 ? 4k 5 2 14 . 5

综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ?

20、在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N? , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差 为 2k . (Ⅰ)证明 a4 , a5 , a6 成等比数列; (Ⅱ)求数列

?an ? 的通项公式;

3 22 32 n2 (Ⅲ)记 Tn ? ? ? L ? .证明 ? 2n ? Tn ? 2 ? n ? 2 ? . 2 a2 a3 an
【 解 】 Ⅰ ) 由 题 设 可 知 , a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 , (

a5 ? a4 ? 4 ? 12 , a6 ? a5 ? 6 ? 18 ,
所以

a6 a5 3 ? ? .因此 a4 , a5 , a6 成等比数列. a5 a4 2

(Ⅱ)由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N? . 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? L ? a3 ? a1 ?

4k ? 4 ? k ?1? ? L ? 4 ?1 ? 2k ? k ?1? .
因为 a1 ? 0 ,所以 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? .

25

从而由 a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 2k 得 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 , n ? 2k ? 1, ? ? 2 所以,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 ?n , n ? 2k , k ? N ?2 ?

n2 ? ?1? ? 1 (或 an ? ? , n ? N? . 2 4
n

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 . k ? N? 下面对 n 分为奇数和偶数讨论. (1) 当 n 为偶数时,设 n ? 2 m ? m ?N? ? .
n k2 22 3 k2 若 m ? 1 ,则 2n ? ? ? 4 ? ? 2 ,满足 ? 2n ? ? ? 2 ; 2 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? k2 ?a ?? a ? a k ?2 k k ?1 k ?2 2k 2 k ?1 n 2 2

??
k ?1 m

m

? 2k ?
2k 2

2

? 2k ? 1? ?? k ? 2 2k ? k ? 1?
n 2

? 4k 2 ? 4k ? 1 ? ? 2 ?? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? k ?1 k ? 2 ? 2k ? k ? 1?
m ?1

m?1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? ?

1? 1 ? ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? 2? m?
? 2n ?
n

3 1 ? . 2 n

n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ? ? ? ,所以 ? 2n ? ? ? 2 , n ? 4, 6,8,L . 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1 ? m ?N? ? .

k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? ?a ??a ? a k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n

2

26

? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? 2 2m 2m ? m ? 1?
2

1 1 ? 4m ? ? 2 2 ? m ? 1?
3 1 ? 2n ? ? . 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ,所以 ? 2n ? ? ? ? ? 2 , n ? 3,5, 7,L . ? a 2 n ?1 2 k ?2 k k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 . 2 k ? 2 ak

由(1),(2)可知,对任意 n ? 2 ,

27

高三数学综合测试题(四)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的.
1、双曲线 y 2 ? x 2 ? 2 的渐近线方程是 ( )

A . y ? ?x
答案: A .

B. y?? x
令 y2 ? x2 ? 0

C . y ? ? 3x

D . y ? ?2 x

2、某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第 一种由学生会的同学随机对 24 名同学进行调查;第二种由教务处对年级的 240 名学生编 号,由 001 到 240,请学号最后一位为 3 的同学参加调查,则这两种抽样方式依次为( ) A . 分层抽样,简单随机抽样 B . 简单随机抽样,分层抽样 D . 简单随机抽样,系统抽样 C . 分层抽样,系统抽样 答案: D . 3、己知m、n是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中不正确的是( )

A . 若m∥ ? , ? ? ? ? n ,则m∥n

B . 若m∥n, m ? ? ,则 n ? ? D . 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

C . 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?
答案: A .

4、若直线 l 与直线 y ? 1 , x ? 7 分别交于点 P 、Q ,则线段 PQ 的中点坐标为(1, ? 1 ), 则直线 l 的钭率为 ( )

2 3 a?7 1? b ?1 ? ?1 答案: B . 设 P ( a ,1) Q (7, b )则 PQ 的中点 , 2 2 1? 3 1 P ( ? 5 ,1) Q (7, ? 3 ) k PQ ? ?? 得 a ? ? 5 , b ? ?3 , ?5?7 3
A. B. ?

1 3

1 3

C. ?

3 2

D.

5、己知平面向量 a ? (1,2) b ? (m, ? 4 ) , ,且 a ∥ b ,则 a ? b ?

?

?

?

?

? ?





A.4
答案: C .

B. ?6

C . ? 10
? ?

D . 10

2 m ? ?4

m ? ?2
a b

a ? b ? m ? 8 ? ?10
( )

?1? ?1? 6、 “ 0 ? a ? b ”是“ ? ? ? ? ? ”的 ? 4? ? 4?
A . 充分不必要条件 C . 充要条件
28

B . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

答案: A . 由“ 0 ? a ? b ” ? “ ? ? ? ? ? ” 而“ ? ? ? ? ? ” ? a ? b 7、若椭圆上存在点 P ,使得点 P 到两个焦点的距离之比为2﹕1,则此椭圆离心率的取值 范围是 ( )

?1? ? 4?

a

?1? ? 4?

b

?1? ? 4?

a

?1? ? 4?

b

1 1 1 1 1 1 B. [ , ] D . [ ,1) C . ( ,1) , ] 4 3 3 2 3 3 答案: D . 设椭圆上点 P P 到两个焦点的距离分别为m、n,不妨设 m ? n 4 2 m ? 2n n ? a ? a?c 则 m ? n ? 2a 得m ? a ? a ? c 3 3 c 1 得 ?[ ,1) 3 a
A. [
8、若等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则

a2 ? a1
D.





A.2
2

B.

2 3

C.

3 2

1 2

答案: C . 由 ?a1 ? 2d ? ? a1 ?a1 ? 6d ? 9、 己知 ?ABC 中,tan A ? ?

d ? 0 ,得 a1 ? 2d

a2 a1 ? d 3 ? ? a1 a1 2
( )

5 ,则 cos A ? 12 12 5 5 A. B. C. ? 13 13 13 sin A 5 2 ?? s i n A? c o 2 A ?1 s 答案: D . tan A ? cos A 12 12 cos A ? ? 13

D. ? A ? (0, ? )

12 13

3 10、直线 y ? kx ? b 与曲线 y ? x ? ax ? 1 相切于点(2,3) ,则 b 的值为





A. ?3
答案: C .

B.9

C . ? 15

D. ?7

y ? ? 3x 2 ? a

则 f ?? ? ? 12 ? a ? k 2

f ?2 ? ? 3

2k ? b ? 3

得 b ? ?15

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.
11、设 i 是虚数单位,则 答案:

i ? ___ 1? i

1 1 ? i 2 2

12、在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,若 a ? 1 , b ?

2,

cos B ?

1 ,则 sin A ? __ 3
29

答案:

2 3

由 cos B ?

1 2 2 2 1 2 3 ,得 sin B ? , 即 ? ? 得 sin A ? 3 3 3 sin A 2 2 2 3

13、一个总体分为 A 、 B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本,己知

B 层中每个个体被抽到的概率都是
答案:240

1 ,则总体中的个数为__ 12

容量为 20 的样本,每个个体被抽到的概率都是

12 1 ? 240 ,故总体个数 1 12 20

14、己知圆 x ? y ? mx ?
2 2

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m ? __ 4 4

答案: ? 3

圆标准方程为 ? x ?

? ?

m? 1 ? m2 ? y2 ? ? 2? 4
2

抛物线准线 y ? ?1

圆心到直线的距离等于半径

1 ? m2 ?1 4

m?? 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
15、己知函数 f ? x ? ? 2 cos x sin ? ①求 f ? x ? 的最小正周期; ②求 f ? x ? 在区间[

?? ? ? x? ?2 ?

? 2? , ]上的最大值和最小值. 3 6
?? ? ? x ? ? 2 cos x cos x ? 2 cos2 x ? cos2 x ? 1 ?2 ?

解:① f ? x ? ? 2 cos x sin ?

f ? x ? 的最小正周期为 ?


? 2? ? 4? 1 ? 1 ? cos 2 x ? , ] ∴ 2x ?[ , ] 3 3 2 6 3 3 3 ∴ 0 ? cos 2 x ? 1 ? 即 f ? x ? 的最大值为 ,最小值为 0 2 2
∵ x ?[

16、盒中有 6 只灯泡,其中有 2 只是次品,4 只是正品.从中任取 2 只,试求下列事件的概率. ①取到的 2 只都是次品; ②取到的 2 只中恰有一只次品. 解:6 只灯泡分别标号为 1、2、3、4、5、6,从 6 只灯泡中取出 2 只的基本事件: (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5,(3,6) ) (4,5) (4,6) (5,6)共 15 种

30

①从 6 只灯泡中取到的 2 只都是次品的事件只有 1 个,因此取到 2 只都是次品的概率

1 15

②不妨设标号为 1、2 的为次品,故取到的 2 只产品中正品,次品各一只的事件有(1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)共 8 种 取到的 2 只中恰有一只次品的概率 17、函数 f ? x ? ?

8 15

x2 ? a ?x ? R ? . x ?1
1 ,求实数 a 的值; 2

①若 f ? x ? 在点(1, f ?1? )处的切线钭率为

②若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求函数 f ? x ? 的单调区间. 解:① f ?? ? ? x

2 x?x ? 1? ? x 2 ? a

?x ? 1?2

?

x 2 ? 2x ? a

?x ? 1?2

若 f ? x ? 在点(1, f ?1? )处的切线钭率为

? ∴ f ?1? ?

3?a 1 ? 4 2

1 2

? 则 f ?1? ?

1 2

得a ?1

②∵ f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值 即1 ? 2 ? a ? 0

? ∴ f ?1? ? 0
∴ f ?? ? ? x

a?3

x 2 ? 2x ? 3

?x ? 1?2

∴ f ? x ? 的单调增区间为( ? ? , ? 3 )(1, ? ? ) , ,单调减区间为( ? 3 , ? 1 ) ( ? 1 ,1) 18、在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 底面 ABCD , M 、 N 分别为 PA 、 BC 的中点,且 PD ? AD ? 1 ①求证: MN ∥平面 PCD ; ②求证: 平面 PAC ? 平面 PBD ③求三棱锥 P ? ABC 的体积. 证明:①取 AD 中点 E ,连接 ME , NE ,由己知 M 、 N 分别为 PA 、 BC 的中点 NE ∥ CD ∴ ME ∥ PD ME ? NE ? E 又 ME , NE ? 平面 MNE ∴平面 MNE ∥平面 PCD ∴ MN ∥平面 PCD ②证明:底面 ABCD 是正方形 ∴ AC ? BD 又 PD ? 平面 ABCD ∴ PD ? AC PD ? BD ? D 又 ∴ AC ? 平面 PBD

∴平面 PAC ? 平面 PBD

③解: PD ? 平面 ABCD ∴ PD 为三棱锥 P ? ABC 的高 三角形 ABC 为等腰直角三角形 ∴三棱锥 P ? ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ? PD ? 3 6

31

19、己知抛物线 C : y 2 ? 2 px ,点 P ( ? 1 ,0)是其准线与 x 轴的交点,过 P 的直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点. ①当线段 AB 的中点在直线 x ? 7 上时,求直线 l 的方程; ②设 F 为抛物线 C 的焦点,当 A 为线段 PB 中点时,求 ?FAB 的面积. 解:①因为抛物线 C 的准线为 x ? ?1 ∴p?2 抛物线方程为 y 2 ? 4 x 依题意 k ? 0

设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 ) , ,直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 1? 与抛物线联立,消去 y 得 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0
2 2 2 2

?

?

4 ? 2k 2 x1 ? x 2 ? k2

x1 ? x2 ? 1
2?k2 k2
1 ?x ? 1? 2


所以 AB 的中点横坐标为



2?k2 ?7 k2

k2 ?

1 4

所以直线 l 的方程为 y ? ?

②因为 A 为线段 PB 中点

x2 ? 1 ? x1 2
2

y2 ? y1 2
2 y 2 ? 4x2

x ?1 ?y ? A 、 B 为抛物线上点得 ? 2 ? ? 4 ? 2 2 ? 2 ?
解得 x2 ? 2

y2 ? ?2 2

32

当 y2 ? 2 2 时, y1 ?

2 ;当 y2 ? ?2 2 时, y1 ? ? 2
1 PF ? y 2 ? y1 ? 2 2

所以 ?FAB 的面积 S ?FAB ? S ?PFB ? S ?PFA ?

20、己知数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 的等比数列,且 an ? 0 ,数列 ?bn ? 是首项为 1 的等差数列, 又 a5 ? b3 ? 21, a3 ? b5 ? 13. ①求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ②求数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和 S n . ? 2a n ?
数列 ?bn ? 的公差为 d 由己知得

解:①设数列 ?an ? 的公比为 q

q 4 ? 1 ? 2d ? 21
∴ an ? 2 n?1 ②由①知

q 2 ? 1 ? 4d ? 13

解得 d ? 2 , q ? 2 或 q ? ?2 (舍去)

bn ? 1 ? ?n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1
Sn ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n
(1)

bn 2n ? 1 ? 2a n 2n

1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 (1)减(2)得 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2

(2)



1 1 ?1 1 1 ? 2n ? 1 1 S n ? ? ? ? 2 ? ? ? n?1 ? ? n?1 ? ? 2 2 ?2 2 2 ? 2 2

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2 ? ?2? ? 1? 1 2

n ?1

? ? ? ?

?

2n ? 1 2 n ?1

?

1 ?1? ?1? ? ? 2 ?2?

n ?1

?

2n ? 1 2 n?1

∴ Sn ? 3 ?

2n ? 3 2n

33

34


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