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2014届高三数学(理)一轮复习 课后作业(十三) 函数模型及其应用


课后作业(十三)
一、选择题

函数模型及其应用

1.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起, 计划每人的年薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的 第一年的年薪为 8 千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,如 果将第 n 年企业付给工人的工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为 ( ) A.y=(3n+5)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n C.y=(3n+8)1.2n+2.4 D.y=(3n+5)1.2n-1+2.4

图 2-9-4 2.(2013· 潮州模拟)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元, 种方式是月租 0 元. B 一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图 2-9-4,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差 ( ) 40 A.10 元 B.20 元 C.30 元 D. 3 元 3. 某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车, 利润(单位: 万元)分别为 L1=5.06x 2 -0.15x 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆 车,则能获得的最大利润为( ) A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 D.45.51 万元

图 2-9-5 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图 2-9-5,为降低消耗, 开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的 矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为( )

A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14 5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).

图 2-9-6 给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出 水;③4 点到 6 点不进水也不出水.则一定正确的是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 二、填空题 6.(2013· 珠海模拟)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分 时计价.该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过 50 至 200 的部 0.598 分 超过 200 的部分 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 低谷电价 (单位:千瓦时) (单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部 0.318 分 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作 答). 7.(2013· 广州质检)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小 孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现容 器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分 之一. 8.在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从 汽车仪表盘得到如下信息: 时间 油耗(升/100 公里) 可继续行驶距离(公里) 10∶00 9.5 300 11∶00 9.6 220

注:油耗=

加满油后已用油量 汽车剩余油量 ,可继续行驶距离= 加满油后已行驶距离 当前油耗 指定时间内的用油量 指定时间内的行驶距离

平均油耗=

从以上信息可以推断在 10∶00-11∶00 这一小时内________(填上所有正确 判断的序号) ①行驶了 80 公里; ②行驶不足 80 公里; ③平均油耗超过 9.6 升/100 公里; ④平均油耗恰为 9.6 升/100 公里; ⑤平均车速超过 80 公里/小时. 三、解答题 9. (2013· 汕尾调研)某投资公司投资甲、 乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿 1 1 元)和 Q(亿元),它们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式 P=4 2t,Q=8t,今该 公司将 5 亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资 x(亿元),投资这两个项目所 获得的总利润为 y(亿元).求: (1)y 关于 x 的函数表达式; (2)总利润的最大值.

图 2-9-7 10.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动, 其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图 2-9-7 所示, 过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴 所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否 会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理由.

图 2-9-8

11.(2013· 佛山调研)如图 2-9-8,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S) 的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或 P 的平行面(只有一 1 个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为10;②其他面的 1 淋雨量之和,其值为2.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面 3 积 S=2时, (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使 总淋雨量 y 最少.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 第一年企业付给工人的工资总额为:1×1.2×8+0.8×3=9.6 +2.4=12(万元),而对 4 个选择项来说,当 n=1 时,C、D 相对应的函数值均不 为 12,故可排除 C、D. A、 相对应的函数值都为 12, B 再考虑第 2 年企业付给工人的工资总额及 A、 B 相对应的函数值,又可排除 B. 【答案】 A 2. 【解析】 依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m,得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150) =20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 【答案】 A

设该公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,利润为 153 L(x) = 5.06x - 0.15x2 + 2(15 - x) = - 0.15x2 + 3.06x + 30 = - 0.15(x - 15 )2 + 1532 0.15× 225 +30,由于 x 为整数,所以当 x=10 时,L(x)取最大值 L(10)=45.6, 即能获得的最大利润为 45.6 万元. 【答案】 B 4. 【解析】 由三角形相似得 24-y x = , 24-8 20

3. 【解析】

5 得 x=4(24-y), 5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 【答案】 A 5. 【解析】 由丙图知 0 点到 3 点蓄水量为 6,故应两个进水口进水,不出 水,故①正确. 由丙图知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位,故 1 个进水 1 个出水,故 ②错误. 由丙图知 4 点到 6 点蓄水量不变, 故可能不进水也不出水或两个进水一个出 水,故③错误. 【答案】 A 二、填空题 6. 【解析】 高峰时间段 200 千瓦时的用电电费为:50×0.568+150×0.598 =118.1(元);低谷时间段 100 千瓦时的用电电费为:50×0.288+50×0.318= 30.3(元),合计:148.4 元. 【答案】 148.4 7. 【解析】 当 t=0 时,y=a, 1 1 当 t=8 时,y=ae-8b=2a,∴e-8b=2, 容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 1 1 则 y=ae-bt=8a,e-bt=8=(e-8b)3=e-24b,则 t=24, 所以再经过 16 min. 【答案】 16 7.38 8. 【解析】 实际用油为 7.38, 行驶距离为 9.6 ×100=76.875, 所以①错误, ②正确. 设 L 为已用油量,ΔL 为一个小时内的用油量,S 为已行驶距离,ΔS 为一

?L=9.5, ?S 个小时内已行的距离,? L+ΔL ? S+ΔS =9.6, ?

得 L+ΔL=9.6S+9.6ΔS,9.5S+ΔL=9.6S+9.6ΔS,ΔL=0.1S+9.6ΔS, ΔL 0.1S = +9.6>9.6. ΔS ΔS 所以③正确,④错误.⑤由②知错误. 【答案】 ②③ 三、解答题 1 1 9. 【解】 (1)根据题意,y=4 2x+8(5-x),x∈[0,5]. t2 (2)令 t= 2x,t∈[0, 10],则 x= 2 . 1 1 5 1 7 y=- t2+ t+ =- (t-2)2+ . 16 4 8 16 8 因为 2∈[0, 10], 所以当 2x=2 时, 即 x=2 时,y 最大值=0.875. 答:总利润的最大值是 0.875 亿元. 10. 【解】 (1)由图象可知:当 t=4 时,v=3×4=12, 1 ∴s=2×4×12=24. 1 3 (2)当 0≤t≤10 时,s=2·t·3t=2t2, 1 当 10<t≤20 时,s=2×10×30+30(t-10)=30t-150; 1 1 当 20<t≤35 时,s=2×10×30+10×30+(t-20)×30-2×(t-20)×2(t- 20)=-t2+70t-550.

?3t2,t∈[0,10], ?2 综上,可知 s=?30t-150,t∈(10,20], ?-t2+70t-550,t∈(20,35]. ?
3 (3)∵t∈[0,10]时,smax= ×102=150<650, 2 t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, ∴当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40. ∵20<t≤35,∴t=30. ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城. 11. 【解】 3 1 (1)由题意知,E 移动时,单位时间内的淋雨量为20|v-c|+2,

100 3 1 5 故 y= v (20|v-c|+2)=v(3|v-c|+10). (2)由(1)知, 5(3c+10) 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 5(10-3c) 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15, v

?5(3c+10)-15,0<v≤c, ? v 故 y=? 5(10-3c) +15,c<v≤10, ? v ?
10 (ⅰ)当 0<c≤ 3 时,y 是关于 v 的减函数, 3c 故当 v=10 时,ymin=20- 2 . 10 (ⅱ)当 3 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关 于 v 的增函数. 50 故当 v=c 时,ymin= c ,总淋雨量最少.


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