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高中数学必修1(北师版)第三章3.4 对数知识点总结含同步练习与答案


高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数

一、知识清单
对数的概念与运算

二、知识讲解
1.对数的概念与运算 描述: 对数 一般地,如果 ax = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x = loga N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.也即 ax = N ? x = loga N ,其中 a > 0, a ≠ 1 . 对数的性质 根据对数的定义,有( a > 0, a ≠ 1 ): ① 负数与零没有对数; ② 1 的对数等于 0 ,即 loga 1 = 0 ; ③ 底数的对数等于 1 ,即 loga a = 1 ; ④ loga ax = x ; ⑤ aloga N = N (N > 0) . 常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数,常用“ lg ”表示(即“ log10 ”). 自然对数 以 e 为底的对数叫做自然对数( e 是无理数, e = 2.71828 ? ),常用“ ln ”表示(即“ loge ”). 对数的运算性质 ① 积的对数等于对数的和: loga (M ? N ) = loga M + loga N (a > 0且a ≠ 1) ; ② 商的对数等于对数的差: loga M = loga M ? loga N (a > 0且a ≠ 1) ; ③ 幂的对数等于幂指数与幂的对数的积: loga M n = nloga M (a > 0且a ≠ 1) 换底公式
N



loga N =
例题:

logb N (a > 0且a ≠ 1, b > 0且b ≠ 1, N > 0) . logb a

3 1 1 ;(2)ln x = ;(3)x = lg ;(4)log5 (log2 x) = 0. 2 2 10 3 2 3 解:(1)由 logx 27 = ,得 x 2 = 27 ,所以 x = 27 3 = 3 2 = 9 . 2 1 1 1 (2)由 ln x = ,得 e 2 = x ,所以 x = e 2 = √e . 2 1 1 (3)由 x = lg ,得 10x = ,得 x = ?1. 10 10 = 1 =2
(1)logx 27 =

将下列对数式化成指数式,并求 x 的值:

(4)由 log5 (log2 x) = 0,得 log2 x = 1 ,所以 x = 2 1 = 2 . 计算下列各式的值. (1)lg 5 2 +

10

10

2 lg 8 + lg 5 ? lg 20 + (lg 2)2 ; 3 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? (2)2(lg √2 )2 + lg √2 × lg 5 + √(lg √2 )2 ? lg 2 + 1;
(3)log2 3 × log3 5 × log5 16; 解:(1)

原式 = 2 lg 5 + 2 lg 2 + lg 5(2 lg 2 + lg 5) + (lg 2)2

= 2 lg 10 + (lg 5 + lg 2)2

= 2 + (lg 10)2 = 2 + 1 = 3.
(2) 原式 = lg √2 × (2 lg √2 + lg 5) + √(lg √2 ? 1)2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

= lg √2 × (lg 2 + lg 5) + (1 ? lg √2 ) = lg √2 + 1 ? lg √2 = 1.

(3) 原式 =

lg 3 lg 5 lg 16 lg 16 lg 2 4 × × = = = 4. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2 10 ,求 logb a ? loga b 值; 3

(1)已知 a > b > 1,loga b + logb a = (2)设 3 a = 4 b = 36,求

2 1 的值; + a b (3)已知 log18 9 = a,18b = 5,用 a, b 表示 log36 45 的值. 1 解:(1)令 loga b = x ,则 logb a = ,则 x (logb a ? loga b)2 = ( =( =(
2 1 ? x) x

10 2 ) ?4 3 64 = . 9 logb a ? loga b =

2 1 + x) ? 4 x

又因为 a > b > 1,0 < loga b < 1 ,logb a > 1.所以 logb a ? loga b > 0,所以

8 . 3 (2)(方法一)对 3 a = 4 b = 36 取以 e 为底的对数,得 ln 3 a = ln 4 b = ln 36 ,即 a ln 3 = b ln 4 = ln 36,所以 1 ln 3 1 ln 4 = , = a ln 36 b ln 36

于是

2 1 2 ln 3 ln 4 + = + a b ln 36 ln 36 ln 3 2 + ln 4 = ln 36 ln 36 = ln 36 = 1.
(方法二)由 3 a = 36 ,得 a = log3 36 ,所以

1 1 = log36 3 .同理 = log36 4 ,所以 a b

2 1 + = a b = = =

2 log36 3 + log36 4 log36 9 + log36 4 log36 36 1.

(3)因为 log18 9 = a,18b = 5,所以 log18 5 = b ,于是

log36 45 =

log18 45 log18 (9 × 5) = log18 36 log18 (18 × 2) log18 9 + log18 5 = 1 + log18 2 log18 9 + log18 5 = 18 1 + log18 9 log18 9 + log18 5 a+b = = . 2 ? log18 9 2?a

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