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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5


第二课时

课前自主学案 第 二 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1. 等差数列的定义 : 如果一个数列从第 项 . 等差数列的定义: 如果一个数列从第2项 起 , 每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数, 那么这个数列叫做等差数列, 常数 , 那么这个数列叫做等差数列 , 这个常 数叫做等差数列的_____,通常用字母 表示 表示. 数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母d表示 - 2.等差数列的通项公式: _______________. .等差数列的通项公式: an=a1+(n-1)d

知新益能
1.等差中项 . (1)若 a,b,c 成等差数列,则 b 称为 a 与 c 的 若 , , 成等差数列, a+c + 等差中项, 等差中项,且 b=______; = 2 ; 充要 条件 (2)a, , 成等差数列是 2b=a+c 的_____条件; b, 条件; , c = + 1 (3)用递推关系 an+1= (an+an+2)给出的数列也 用递推关系 给出的数列也 2 + 的等差中项. 是等差数列, 称为_________的等差中项 是等差数列,an+1 称为 an,an+2 的等差中项.

思考感悟 1.两个数a,b的等差中项唯一吗? .两个数 , 的等差中项唯一吗 的等差中项唯一吗? 提示:唯一. 提示:唯一.

2.等差数列的性质 . (1)若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),则am+ , 若 + = + 、 、 、 ∈ ap+aq an=_______. (2)下标成等差数列的项 k,ak+m,ak+2m,…) 下标成等差数列的项(a 下标成等差数列的项 + + 仍组成_________ 仍组成 等差数列 . (3)数列 n+b},(λ,b为常数 仍为 等差数列 数列{λa 为常数)仍为 数列 , , 为常数 仍为_________. (4){an}和{bn}均为 等差数列 ,则{an±bn}也是 均为_________ 和 均为 也是 等差数列. 等差数列. (5){an}的公差为 ,则d>0?{an}为_____数列; 的公差为d, ? 为 递增 数列; 的公差为 数列 d<0?{an}为_____数列;d=0?{an}为___数列 数列; = ? 数列. ? 为 递减 数列 为 常 数列

(6)设{an}是公差为 d 的等差数列,那么 an=am 设 是公差为 的等差数列, an-am (n-m)d 或 = n-m - +________或 d=_______ (m,n∈N+). , ∈ . - 本性质是通项公式的推广,通常适用于“已知 本性质是通项公式的推广,通常适用于“ 等差数列某一项(或某几项 求数列中另一项” 或某几项), 求数列中另一项” 等差数列某一项(或某几项), 这类题目. 这类题目. 应用性质应注意, 应用性质应注意,n 与 m 的大小关系是不确定 性质仍然成立. 的,当 n≤m 时,性质仍然成立. ≤ (7)在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两 在有穷等差数列中, _____________ 项的和等于首末两项的和 .

思考感悟 2.若 am+ an = ap+ aq , 则一定有 + n=p+q . 则一定有m+ = + 吗? 提示:不一定.例如在等差数列a 2中 m, 提示:不一定.例如在等差数列an=2中,m, n,p,q可以取任意正整数,不一定有 +n= , , 可以取任意正整数 不一定有m+ = 可以取任意正整数, p+q. +

3.等差数列的设法 . (1)通项法:设数列的通项公式,即设 n=a1+ 通项法:设数列的通项公式,即设a 通项法 (n-1)d(n∈N+). - ∈ . (2)对称设法:当等差数列{an }的项数 为奇数 对称设法:当等差数列 的项数n为奇数 对称设法 的项数 时,可设中间的一项为a,再以公差为 向两边 可设中间的一项为 ,再以公差为d向两边 分别设项: 分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+ - , - , , + , + 2d,…;当项数n为偶数时,可设中间两项分 , 为偶数时, 当项数 为偶数时 别为a- , + ,再以公差为2d向两边分别设 别为 -d,a+d,再以公差为 向两边分别设 项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…. - , - , + , + ,

课堂互动讲练

考点突破 等差数列性质的应用
例1 等差数列 n}中 , 已知 2 + a3 + a10 + a11 等差数列{a 中 已知a

=36,求a5+a8. , 分析】 【 分析 】 解答本题既可以用等差数列的性

质,也可以用等差数列的通项公式. 也可以用等差数列的通项公式.

【解】

法一:根据题意设此数列首项为 法一:根据题意设此数列首项为a1,

公差为d,则: 公差为 , a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=36, + + + = , ∴4a1+22d=36,2a1+11d=18, = = , ∴a5+a8=2a1+11d=18. = 法二:由等差数列性质得: 法二:由等差数列性质得: a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷2=18. ÷ =

【点评】 点评】

法一设出了a 法一设出了 1、d,但并没有求出 1、 ,但并没有求出a

d,事实上也求不出来,这种“设而不求”的方 ,事实上也求不出来,这种“设而不求” 法在数学中常用,它体现了整体的思想.法二运 法在数学中常用,它体现了整体的思想. 用了等差数列的性质: 用了等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p, + = + , , q∈N+),则am+an=ap+aq. ∈ ,

自我挑战1 自我挑战

已知{a 为等差数列 为等差数列, 已知 n}为等差数列 , a15 = 8, ,

a60=20,求a75. ,

解:法一:因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d, 法一: , ,
? ?a =64, ?a1+14d=8, = , ? 1 15 所以? 解得? 4 = , ? ?a1+59d=20, = ?d=15. ?

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. = × 15 15 法二:因为 为等差数列, 法二:因为{an}为等差数列, 为等差数列 所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,其 也成等差数列, 为其第四项, 公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第四项, , 为首项, , = 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d?a75=24. ?

巧设等差数列
例2 (1)三个数成等差数列,和为 ,积为-24, 三个数成等差数列, 三个数成等差数列 和为6,积为-

求这三个数; 求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2, 四个数成递增等差数列,中间两数的和为 四个数成递增等差数列 首末两项的积为- ,求这四个数. 首末两项的积为-8,求这四个数. 【分析】 分析】 由题目可获取以下主要信息: 由题目可获取以下主要信息:

①根据三个数的和为6,成等差数列,可设这 根据三个数的和为 ,成等差数列, 三个数为a- , , + 为公差 为公差); 三个数为 -d,a,a+d(d为公差 ;

四个数成递增等差数列, ② 四个数成递增等差数列 , 且中间两数的和 已知, 可设为a- , - , + , + 公 已知 , 可设为 - 3d,a-d,a+d, a+3d(公 差为2d). 差为 . 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差, 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差, 建立基本量的方程组求解. 建立基本量的方程组求解.

【解】

(1)法一:设等差数列的等差中项为a, 法一:设等差数列的等差中项为 法一

公差为d, 公差为 , 则这三个数分别为a- , , + , 则这三个数分别为 -d,a,a+d, 依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=- , =-24, 依题意, = 且 - + =- 所以a= ,代入a(a- =-24. 所以 =2,代入 -d)(a+d)=- + =- 化简得d 化简得 2=16,于是 =±4, ,于是d= , 故三个数为- ,-2. 故三个数为-2,2,6或6,2,- 或 ,-

法二:设首项为 ,公差为d, 法二:设首项为a,公差为 ,这三个数分别为 a,a+d,a+2d, , + , + , 依题意, + = 且 + =-24, 依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=- , + =- 所以a=2-d,代入 +d)(a+2d)=- , =-24, 所以 = - ,代入a(a+ + =- =-24,4-d2=- , 得2(2-d)(2+d)=- - + =- - =-12, 即d2=16,于是 =±4,所以三个数为-2,2,6 ,于是d= ,所以三个数为- 或6,2,- ,-2. ,-

(2)法一:设这四个数为 -3d,a-d,a+d, 法一:设这四个数为a- , - , + , 法一 a+3d(公差为 , + 公差为 公差为2d), 依题意, = , =-8, 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=- , - + =- =-8, 即a=1,a2-9d2=- , = , =-1. ∴d2=1,∴d=1或d=- , = 或 =- 又四个数成递增等差数列,所以 > , 又四个数成递增等差数列,所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. = ,故所求的四个数为- 法二:若设这四个数为 , + , + , + 法二:若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+ 3d(公差为 , 公差为d), 公差为

依题意, + = , =-8, 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=- , + =- 3 =-8, 把 a=1- d 代入 a(a+3d)=- , = - + =- 2 3 3 9 2 =-8, 得(1- d)(1+ d)=- ,即 1- d =- , - + =- - =-8, 2 2 4 化简得 d2=4,所以 d=2 或-2. , = 又四个数成递增等差数列, 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d 数成递增等差数列 > , =-2. =2,a=- , =- 故所求的四个数为- 故所求的四个数为-2,0,2,4.

【点评】 点评】

利用等差数列的定义巧设未知量, 利用等差数列的定义巧设未知量,

从而简化计算.一般地有如下规律: 从而简化计算.一般地有如下规律:当等差数 的项数n为奇数时 列{an}的项数 为奇数时,可设中间一项为 , 的项数 为奇数时,可设中间一项为a, 再用公差为d向两边分别设项: a-2d, 再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a 向两边分别设项 -d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数项 , , + , + , 时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为 可设中间两项为 - , + , 2d向两边分别设项:…a-3d,a-d,a+d,a 向两边分别设项: 向两边分别设项 - , - , + , 这样可减少计算量. +3d,…,这样可减少计算量. ,

自我挑战2 自我挑战

已知四个数依次成等差数列, 已知四个数依次成等差数列 , 且

四个数的平方和为94, 四个数的平方和为 , 首尾两项之积比中间 两数之积小18,求这四个数. 两数之积小 ,求这四个数.

解:设成等差数列的四个数依次为: 设成等差数列的四个数依次为: a-3d,a-d,a+d,a+3d. - , - , + , + 由已知条件得 (a-3d)·(a+3d)-(a-d)·(a+d)=- - =-18. + - - + =- 3 解得 d=± , = 2 - + + , 又知(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94, 又知 - 7 化简得 4a +20d =94,得 a=± , , = 2
2 2

3 7 (1)当 d= ,a= 时,这四个数为-1,2,5,8. 这四个数为- 当 = = 2 2 3 7 (2)当 d= ,a=- 时,这四个数为-8,- , 当 = =- 这四个数为- ,-5, ,- 2 2 -2,1. 3 7 (3)当 d=- ,a= 时,这四个数为 8,5,2,- ,-1. 当 =- = ,- 2 2 3 7 (4)当 d=- ,a=- 时,这四个数为 1,- , ,-2, 当 =- =- ,- 2 2 ,-8. -5,- ,-

构造新数列求通项
例3

已知数列{a 的各项均为正数 的各项均为正数, 已知数列 n}的各项均为正数,且满足

an+1=an+2 an+1,a1=2,求 an. , ,

分析】 【分析】

由递推公式可得 an+1- an=1, ,

{ an}是等差数列,先求 an再求 an. 是等差数列, 是等差数列

【解】 由 an+1=an+2 an+1, an+1=( an+ , 得 1)2. 各项为正数, 又因为{a 各项为正数 所以 an+1= an+1, , 即 又因为 n}各项为正数, an+1- an=1,所以 an}为以 a1为首项,1 ,所以{ 为以 为首项, 为公差的等差数列, 为公差的等差数列,所以 an= 2+(n-1)·1, + - , 所以 an=(n+ 2-1) . + -
2

点评】 【 点评 】

观察数列递推公式的特征, 观察数列递推公式的特征 , 构造

恰当的辅助数列使之转化为等差数列的问 题 . 常用的方法有 : 平方法 , 倒数法 , 同除 常用的方法有: 平方法, 倒数法, 法,开平方法等. 开平方法等.

1 已知数列{a 中 自我挑战 3 已知数列 n}中,a1= ,且 an+1 2 3an = ,求 an. an+3 3an 1 1 1 解:∵an+1= ,∴ =a + , an+3 an+1 n 3 1 1 1 即 -a = . an+1 n 3 1 1 的等差数列. ∴{a }是首项为 2,公差为 的等差数列. 是首项为 , 3 n

+ 1 1 n+5 3 . ∴a =2+(n-1)× = + - × ,∴an= 3 3 n+5 + n

方法感悟 等差数列的一些重要结论 (1)公差为 的等差数列 , 各项同加一常数所得 公差为d的等差数列 公差为 的等差数列, 数列仍是等差数列,其公差仍为d. 数列仍是等差数列,其公差仍为 (2)公差为 的等差数列,各项同乘以常数k所得 公差为d的等差数列,各项同乘以常数 所得 公差为 的等差数列 数列仍是等差数列,其公差为 数列仍是等差数列,其公差为kd. (3)数列 n}成等差数列,则有 数列{a 成等差数列 成等差数列, 数列

am=an+(m-n)d,m,n∈N+, - , , ∈ ap+aq=ap+k+aq-k,q,p,k∈N+. , , ∈ + - (4)公差为 的等差数列 , 取出等距离的项 , 构 公差为d的等差数列 取出等距离的项, 公差为 的等差数列, 成一个新的数列,此数列仍是等差数列, 成一个新的数列,此数列仍是等差数列,其公 差为kd(k为取出项数之差 . 为取出项数之差). 差为 为取出项数之差 (5)m个等差数列,它们的各对应项之和构成一 个等差数列, 个等差数列 个新的数列,此数列仍是等差数列, 个新的数列,此数列仍是等差数列,其公差等 于原来m个数列公差之和. 于原来 个数列公差之和. 个数列公差之和


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