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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编11:概率与统计


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山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 11:概率与统计
一、选择题 1 .(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一

种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗 的高度的平均数 x甲、乙 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面结论正确的是 x

( A. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙
【答案】B



从茎叶图可知,甲的数据集中在 20 到 30 之间,乙的数据集中在 30 到 40 之间,所以 x甲 ? x乙 .甲的中位 数为

25+29 34+37 =27 ,而乙的中位数为 =35.5 ,所以 y甲 ? y乙 ,选 2 2

B.

2 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )下列命题中正确的有

y ①设有一个回归方程 ? =2—3x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位;
②命题 P:“ ?x0 ? R,x0 2 -x0 -1>0 ”的否定 ? P:“ ?x ? R, x - x- 1 ? 0 ”;
2

③设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),若 P(X>1)=p,则 P(-1<X<0)=
2

1 -p; 2


④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =6.679,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 本题可以参考独立性检验临界值表 P(K ≥ 0.5 k) k
【答案】C
2

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828

【 解 析 】 ① 变 量 x 增 加 一 个 单 位 时 ,y 平 均 减 少 3 个 单 位 , 所 以 错 误 .② 正 确.③ P (?1 ? X ? 0) ?
3

1 ? 2 P( X ? 1) 1 ? 2 p 1 ? ? ? p ,正确.④正确,所以选 2 2 2

C.

. ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 果 椭 机 变 量

? ? N ? ?1, ? 2 ? , 且P ? ?3 ? ? ? ?1? ? 0.4 ,则 P ?? ? 1? 等于
A.0.4
【答案】D
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( D.0.1



B.0.3

C.0.2

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P ? ?3 ? ? ? ? 1? ? P ? ? 1? ? ? 1 ? 0 . 4 ?

,





P ?? ? 1? ?

1 ? P ? ? 3 ? ? ? ? 1 ? P ? ? 1? ? ? 1 1 ? 0 . 4? 0 . 4 ? ?? ,选 ? 0.1 2 2

D.

4 .(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字

都可从 0—9 中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得密 码的最后一位是偶数,则他不超过 2 次就按对的概率是 ( ) A.

4 5`

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】C

只按一次就按对的概率是

1 4 ?1 1 .按两次就按对的概率是 ? ,所以不超过 2 次就按对的概率是 5 5? 4 5

1 1 2 ? ? ,选 5 5 5

C.

5 .(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞

赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是 x甲、x乙 ,则下列说法正 确的是

( A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 参加比赛 【答案】D



B. 甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参 x

D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙

【 解析】由茎叶图可知 x甲 ? x乙 ,乙的数据集中在 88 左右,所以乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛,所 以选 D.

6 .(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)设随机变量 X

~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p ,,

则 P(2<X<4)= ( A)

1 ?p 2

( B)l—p

C.l-2p

D.

1 ?p 2

【答案】C

因为 P ( X ? 4) ? P ( X ? 2) ? p ,所以 P(2<X<4)= 1 ? P ( X ? 4) ? P ( X ? 2) ? 1 ? 2 p ,选
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C.
7 .(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如

图所示,据图估计,样本数据在 ?8,10 ? 内的频数为

( A. 38
【答案】C



B. 57

C. 76

D. 95

样本数据在 ?8,10 ? 之外的频率为 (0.02 ? 0.05 ? 0.09 ? 0.15) ? 2 ? 0.62 ,所以样本数据在

?8,10 ? 内的频率为1 ? 0.62 ? 0.38 ,所以样本数据在 ?8,10 ? 的频数为 0.38 ? 200 ? 76 ,选 C.
8 .(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知某篮球运动员 2012 年度参加了 40 场比赛,现

从中抽取 5 场,用茎叶图统计该运动员 5 场中的得分如图所示,则该样本的方差为

( A.26
【 答 案 】

) 差 为

B.25 D 样





C.23 平 均





D.18 23, 所







方 D.

1 [(19 ? 23) 2 ? (20 ? 23) 2 ? (22 ? 23) 2 ? (23 ? 23) 2 ? (31 ? 23) 2 ] ? 18 ,选 5

9 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)右图是 2013 年在某大学自主招生

面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,则去年一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均数和方差分别为

( A.84,4.84 C.85,1.6 【答案】C B.84,1.6 D.85,4



数 据 中 的 最 高 分 为 93, 最 低 分 为 79. 所 以 平 均 分 为 84 ?
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1 (2 ? 3) ? 85 , 方 差 为 5

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1 [3(84 ? 85) 2 ? (86 ? 85) 2 ? (87 ? 85) 2 ] ? 1.6 ,所以选 5

C.

10.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中任取一点 P,

则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A.

( C.



1 3

B.

1 4

1 5

D.

1 6
3

【答案】 【答案】 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为 B

? ( x ? x )dx ? ( 2 x
0

1

1

2

?

1 4 x ) 4
B.

1 0

?

1 , 4

所以由几何概型公式可得点 P 恰好取自阴影部分的概率为

1 ,选 4

二、填空题 11.(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)某市为增强市民的节约粮食意识,面向全市征召

务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组[25,30), 第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法 从第 3,4,5 组中共抽取了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日”宣传活动,则从第 4 组中抽取 的人数为________.

【答案】4 由直方图可知,第 3,4,5 组的人数比为 0.06 : 0.04 : 0.02 ? 3 : 2 :1 .所以从第 4 组中抽取的人

数为 12 ?

2 2 ? 12 ? ? 4 . 3 ? 2 ?1 6

12.(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)给出以下命题:

① 双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ; 2
1 ? 2 ”是真命题; sin x

② 命题 p : “ ?x ? R + , sin x ?

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;
④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P (? ? 1) ? 0.2 ,则 P (?1 ? ? ? 0) ? 0.6 ;
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⑤ 已知

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 ,依照以上各 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4

式的规律,得到一般性的等式为

n 8?n ? ? 2 ,( n ? 4 ) n ? 4 (8 ? n) ? 4

则正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号).
【 答 案 】 ①③⑤

3? 1 时 , sin x ? ? ?2 , 所 以 ② 错 误 .③ 正 确 .④ 因 为 2 sin x 1 ? P (? ? 1) ? P (? ? ?1) ? 0.2 0.6 ? ? 0.3 ,所以 P(? ? 1) ? P (? ? ?1) ? 0.2 ,所以 P(?1 ? ? ? 0) ? 2 2
① 正 确 .② 当 x ?

④错误.⑤正确.
13.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)某课题组进行城市空气质量调查,按地域把

24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则甲组中应 抽取的城市数为____.
【答案】1

甲组中应抽取的城市数为

6 ? 4 ? 1 个. 24

14.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)从集合

?1, 2,3, 4,5? 中随机选取 3 个

不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.
【答案】

2 5

3 从 集 合 ?1, 2,3, 4,5? 中 随 机 选 取 3 个 不 同 的 数 有 C5 ? 10 种 . 则 3 个 数 能 构 成 等 差 数 列 的

有, 1, 2,3; 2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有 4 种,所以这个数可以构成等差数列的概率为

4 2 ? . 10 5
3

15.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))某市居民用户 12 月份燃气用量(单位:m )

的频率分布直方图如图所示,现抽取了 500 户进行调查,则用气量在[26,36)的户数为 .

【答案】 125

【 解 析 】 用 气 量 在 [26,36) 的 频 率 为 0.025 ? (36 ? 26) ? 0.25 , 所 以 用 气 量 在 [26,36) 的 户 数 为

0.25 ? 500 ? 125 .
16.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)给出下列四个命题:

①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”; ②若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) ,则 a ? b 的最大值为 4; ③定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ,则 f ( 6 ) 的值为 0; ④已知随机变量 ? 服从正态分布 N( 1,? ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 ,则 P( ? ? ?3 ) ? 0.19 ;其中真命题的序
2

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号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④ ①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”;所以①正确. ② 若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) , 则 lg ab ? lg( a ? b ) , 即 ab ? a ? b, a ? 0, b ? 0 . 所 以

ab ? a ? b ? (

a?b 2 ) ,即 (a ? b) 2 ? 4(a ? b) ,解得 a ? b ? 4 ,则 a ? b 的最小值为 4;所以②错误.③ 2

定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ? 4) ? f ( x) ,且 f (0) ? 0 ,即函数的周期 是 4.所以 f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0 ;所以③正确. ④ 已 知 随 机 变 量

?





正 态





N( 1,? 2 ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 , 则

P(? ? 5) ? 1 ? P(? ? 5) ? 1 ? 0.81 ? 0.19 ,所以 P( ? ? ?3 ) ? P( ? ? 5 ) ? 0.19 ;所以④正确,所以真
命题的序号是①③④.
17.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)在区间 [ ?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程

x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有两不相等实根的概率为___________.
【答案】

1 4

由 题 意 知 ?1 ? m ? 1, ?1 ? n ? 1. 要 使 方 程 x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有 两 不 相 等 实 根 , 则

? =m 2 ? 4n 2 ? 0 ,即 (m ? 2n)(m ? 2n) ? 0 .作出对应的可行域,如图直线 m ? 2n ? 0 , m ? 2n ? 0 ,当

1 1 1 1 1 1 m ? 1 时, nC ? , nB ? ? ,所以 S ?OBC ? ?1? [ ? (? )] ? ,所以方程 x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有两不 2 2 2 2 2 2 1 2? 2 S ?OBC 2 ?1. 相等实根的概率为 ? 2? 2 4 4

18.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某地政府调查了工薪阶层 1000 人的月工资收入,

并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要用分 层抽样方法从调查的 1000 人中抽出 100 人作电话询访,则 30,35] (百元)月工资收入段应抽出_______ ( 人.
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频率/组距

0.05 0.04

0.02 0.01 10 15 20 25 30 35 40 月工资(百元) 第 14 题图









15

(30,35]

( 百 元 ) 月 工 资 收 入 段 的 频 率 为

1 ? (0.02 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.05 ? 0.01) ? 5 ? 1 ? 0.85 ? 0.15 ,所以 0.15 ? 5 ? 0.03 ,所以各组的频率比
为 0.02 : 0.04 : 0.05 : 0.05 : 0.03 : 0.01 ? 2 : 4 : 5 : 5 : 3 :1 , 所 以 30,35] ( 百元 )月工 资收 入段应 抽出 (

3 ?100 ? 15 人. 20
19.(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)在区间

?0, 4? 内随机取两个数 a、b,

则使得函

数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率
2 2

为___________.
【答案】

1 4

函数有零点,则 ? ? a 2 ? 4b 2 ? 0 ,即 (a ? 2b)(a ? 2b) ? 0 .又 ?

?0 ? a ? 4 ,做出对应的平 ?0 ? b ? 4

面区域为

,当 a ? 4 时, b ? 2 ,即三角形 OBC 的面积为
2 2

1 ? 4 ? 2 ? 4 ,所以由 2

几何概型可知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率为

4 1 ? . 4? 4 4

20.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)下列命题:

`

(1)

?

2

1

1 1 dx ? ? 2 x x

2 1

?

3 ; 4

(2)不等式 | x ? 1| ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a ? 4 ; (3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2),则 P ( X ? 0) ? P ( X ? 2);

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(4)已知 a, b ? R , 2a ? b ? 1, 则
【答案】 (2)(3)

?

2 1 ? ? 8 .其中正确命题的序号为____________. a b
2 1

(1)

?

2

1

1 dx ? ln x x

? ln 2 ,所以(1)错误.(2)不等式 | x ? 1| ? | x ? 3 | 的最小值为 4,

所 以 要 使 不 等 式 | x ? 1| ? | x ? 3 |? a 成 立 , 则 a ? 4 , 所 以 (2) 正 确 .(3) 正

确.(4)

2 1 2 1 2b 2a 2b 2a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 4 ? 1 ? ? ? 5? 2 ? ? 9 ,所以(4)错误,所以正确的为 a b a b a b a b

(2)(3).
21 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 如 图, 长 方 形 的 四 个 顶 点 为

O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线 y ? ax 经过点 B.现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落
2

在图中阴影区域的概率是______

【答案】

2 3
2 2

【解析】因为 B(2,4)在曲线 y ? ax 上,所以 4 ? 4a ,解得 a ? 1 ,所以曲线方程为 y ? x ,因为

?

2

0

x 2 dx ?

1 3 x 3

2 0

?

8 8 16 ,所以阴影部分的面 积为 8 ? ? ,所以质点落在图中 阴影区域的概率 是 3 3 3

16 3 ?2. 2? 4 3
三、解答题 22. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标

大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测 ?70, 76 ? ?70,82 ? ?82,88? ?88,94 ? ?94,100? 试指标 元 8 12 40 32 8 件A 元 7 18 40 29 6 件B (1)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 80 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下. (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 280 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
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【答案】

23. (山东省滨州市 2013 届高三第一次 月) (3 模拟考试数学 (理) 试题) 在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3

的三张卡片,现从这个盒子中,有放回的随机抽取两张卡片,记第一次抽取卡片的标号为 x ,第二次抽取 ... 卡片的标号为 y .设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ), 记 ? ?| OP |2 . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

??? ?

【答案】

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24.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取

60 名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信 息,回答下列问题. (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽 取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望.

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【答案】

25.(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)现有长分别为 1m 、 2m 、 3m 的钢管各 3 根(每

根钢管质地均匀、 粗细相同且附有不同的编号),从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等 的, 1 ? n ? 9 ),再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ? 1 , E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

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【答案】解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P ( A) ?

1 1 C3C32C6 9 ? 3 C9 14

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5, 6

P(? ? 2) ?

C32 1 ? C92 12

P(? ? 3) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

1 1 C32 ? C3C3 1 P(? ? 4) ? ? C92 3

1 1 C3C3 1 P(? ? 5) ? 2 ? C9 4

P(? ? 6) ?

C32 1 ? C92 12

∴ ? 的分布列

?
P

2

3

4

5

6

为:

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

?? ? ?? 2? ? ? ? 1 ,? E (? ) ? ?? 2 E (? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?

1 4

26.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某

学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为 笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制 成如下频率分布表. 分数(分数 段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 频数(人数) 频率

9

x
0.38

y
16

0.32

z
p

s

1

(Ⅰ)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已 知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;
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②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
【答案】

解:(Ⅰ)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ,
5 1 1 4 A5 +A4 A4 A4 7 则 P ( A) ? ? 6 A6 10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 ②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2

7 10

P( X ? 0) ?

4 A32 A4 1 ? , 6 A6 5

1 1 1 4 C2 A3 A3 A4 3 P( X ? 1) ? ? , 6 A6 5 4 A32 A4 1 ? , 6 A6 5

P( X ? 2) ?

随机变量 X 的分布列为:

X

P

0 1 5

1 3 5

2 1 5

1 3 1 ? 1? ? 2 ? =1 , 5 5 5 所以随机变量 X 的数学期望为 1
因为 EX ? 0 ?
27.(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:

①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲写的数字,记为 b,已 知 a, b ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,若 a ? b ? 1 ,则本次竞猜成功; ③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望
【答案】

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28. 【解析】 ( 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) (本小题满分 l2 分)中国航母“辽宁舰”

是中国第一艘航母,“辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机 进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指 标甲、 丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、 丙独立通过检测合格的概率分别为 乙、 乙、

3 、 4

2 1 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项 3 2
指标检测结果互不影响. (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A 、 B 、 C ,

则事件“得分不低于 8 分”表示为 ABC + ABC .
?
P(

? ABC 与 ABC 为互斥事件,且 A 、B 、C 为彼此独立

ABC

+

ABC

)
3 4

=
2 1 3 2

P

(

ABC

)+

P

(

ABC

)

= P ( A ) P ( B ) P ( C )+ P ( A ) P ( B ) P ( C = ? ? ? ? ?

3 1 1 3 ? 4 3 2 8

(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的取值为 0,1,2,3.
1 1 1 1 , ? P( X ? 0) = P ( ABC )= ? ? = 4 3 2 24 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 P( X ? 1) = P ( ABC + ABC + ABC )= ? ? + ? ? + ? ? = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 P( X ? 2) = P ( ABC + ABC + ABC )= ? ? + ? ? + ? ? = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 3 2 1 1 P( X ? 3) = P ( ABC )= ? ? = , 4 3 2 4

随机变量 X 的分布列为
X

0

1

2

3

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P

1 24

1 4

11 24

1 4

? EX = 0 ?

1 1 11 1 23 + 1? + 2 ? + 3? = 24 4 24 4 12

29.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个

问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表: 答对 0 题目个数 1 人数 根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变量 X 的 分布列及数学期望 EX.
【答案】解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则
2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 ? C20C15 P( A) ? 2 C50

1

2 2 0 5

3 1

5 0

?

190 ? 150 ? 300 128 , ? 25 ? 49 245 128 245

即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为

(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P ( X ? 0) ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 350 2 ? ? , 2 C50 1225 7

P( X ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 C5C10 ? C10C20 ? C20C15 550 22 ? ? , 2 C50 1225 49 1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 250 10 ? ? , 2 C50 1225 49 1 1 C5C15 75 3 ? ? . 2 C50 1225 49

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

从而 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

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2 22 7 49 2 22 10 3 51 X 的数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 7 49 49 49 49
P

10 49

3 49

30.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,

录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担 任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那 么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

【答案】

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31.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)在某社区举办的《2013 年迎新春知识有奖问

答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是 丙二人都回答错的概率是

3 ,甲、 4

1 1 ,乙、丙二人都回答对的概率是 . 12 4

(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.
【答案】

32.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)(本小题满分 l2 分)

某次考试中,从甲,乙两个班各抽取 10 名学生的成绩进行统计分析,两班 10 名学生成绩的茎叶图如图 所示,成绩不小于 90 分为及格.

(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 l0 人中取两人,乙班 l0 人中取一人,三人中及格人数记为 X,求 X 的分布列和期望.
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【答案】

33.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,

其中有 8 只合格品,2 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更 换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 x 的分布列和数学期望.

2 1 ? 2 分 10 5 12 2 1 2 4 有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得: P(B) C( ). ? ? 3 5 5 125
【答案】(1)解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?

(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.35 且 P(x ? 1 ? )

8 4 ? 6 10 5

P(x ? 2) ?

2?8 8 7 ? 2 45 A10

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P(x ? 3) ?

2 A2 1 8 ? 2 A10 45

则 X 的分布列如下表: X p 1 2 3

4 5 36 16 3 55 11 ? ? ? ? 45 45 45 45 9

8 45

1 45

EX ?

34.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、

B、C、D、E 五项考试,如果前四
项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加 后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不合格的概率均为 加第五项不合格的概率为 (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望.
【答案】解:(1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格

1 ,参 2

2 3

记 A={前四项均合格} B={前四项中仅有一项不合格}

1 2 1 2 3 24 11 1 2 1 P(B)= C ? (1 ? ) 3?(1 ? ) ? 42 2 3 16
则 P(A)= ( ) 4 ? (1 ? ) ? 又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)=

1 1 5 ? ? 24 16 48

(2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.

1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? P( X ? 3) ? C2 (1 ? ) ? ? ? 2 2 4, 2 2 2 4 1 1 1 3 1 1 3 5 1 P( X ? 4) ? C3 (1 ? ) ? ( ) 2 ? ? P( X ? 5) ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 16 , 4 4 16 16
2 3 4 5

X
p

1 4

1 4

3 16

5 16

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1 1 3 5 57 E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 4 4 16 16 16
35.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)

袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球. (I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球 的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

【答案】解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C1 C7 ? C3C4 ? 19
1 1 1 1

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C82 ? 28 故所求概率为 P ?

19 28

4 分

( Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球, 1 1 1 共有 C1 C4C3 ? 12 种 一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球, 2 1 共有 C4 C4 ? 24 种,
3 一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C4 ? 4 种不同摸法,

故符合条件的不同摸法共有 40 种 由题意知,随机变量 ? 的取值为 1 , 2 , 3 .其分布列为:

?
P
E? ? 1?

1

2

3

3 10

3 5

1 10

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 5 10 5

36. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:①每

人最多答 4 个小题;②答题过程中,若答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得 1 ,答错 得 0 分.甲、乙两人参加了此次竞答活动,且相互之间没有影响.已知甲答对每个题的概率为 每个题的概为

1 ,乙答对 3

2 . 3

( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率.
【答案】解:(I) X 的取值可为 :0,10,20,30,40

P( X = 0) = 1 P( X = 10) =

1 2 = , 3 3

1 骣 1÷ 2 ??1 ÷= , ? 桫 3 ? 3÷ 9

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骣 骣 1 1 2 , P( X = 20) = 珑鼢 1 = 珑鼢 珑鼢 桫 桫 3 3 27 骣 骣 1 1 2 , P( X = 30) = 珑鼢? 1 = 珑鼢 桫 珑鼢 桫 3 3 81 骣 1 1 P( X = 40) = ? ÷ = ? ÷ ÷ 81 . ?3 桫
\ X 的分布列如下: 0 10 20 30 40 X 2 2 2 2 1 P 3 9 27 81 81 ……………………………………5 分 2 2 2 2 1 400 数学期望 EX = 0 ? 10 ? 20 ? 30 ? 40 ? 3 9 27 81 81 81 (II)设“甲、 乙最后得分之和为 20 分”为事件 A ,“甲恰好得 0 分且乙恰好 得 20 分”为 事件 B ,“恰 C 好得 10 分且乙恰好得 10 分”为事件 C ,“甲恰好得 20 分且乙恰好得 0 分”为事件 D ,则事件 B 、 、 D 互斥,且 A = B + C + D .
又 P ( B ) = 珑1 珑
4 3

2

骣 1鼢 2 骣 鬃 鼢 珑 3鼢 3 桫 桫

2

骣 2 8 , 1= 桫 3 81

P (C ) =

1 骣 1 鼢2 骣 2 4 , ?珑 鼢 1 1 = 珑 鼢 桫 珑 3 鬃 3 桫 3 3 81
2

骣 骣 1 1 1 P( D ) = 珑鼢? 1 ? 珑鼢 桫 珑鼢 桫 3 3 3

2 81
8 4 2 14 + + + 81 81 81 81

\ P( A) = P ( B + C + D ) = P ( B ) + P (C ) + P ( D ) =

37.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))甲、乙两人进行乒乓球比赛,已知一局中

甲胜乙的概率为 0.6,现实行三局两胜制,假设各局比赛结果相互独立(1)求甲获胜的概率; (2)用 x 表示甲获胜的局数,求 x 的分布列和数学期望 E(X).
【答案】

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38. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)某产品按行业生产标准分成 6 个等级,

等级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数 ? ? 5 的为一等品, 3 ? ? ? 5 的为二等 品, ? ? 3 的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个 样本,数据如下;

(I)以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等 品的概率;

?1, ? ? 3 ? (II)已知该厂生产一件产品的利润 y(单位:元)与产品的等级系数 ? 的关系式为 y ? ? 2,3 ? ? ? 5 ,若 ?4, ? ? 5 ?
从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学期望.
【答案】

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