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上海市七宝中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


姓名:__________ 班级:__________ 学号:__________
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七宝中学 2012--2013 学年第二学期高一期中考试 数学试卷 命题人: 审核人: 打印: 时间:90 分钟 满分:100 分 2013 年 4 月 题号 填空题 选择题 17、18 19、20 21 成绩 得分

一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) ? ? 1 1、 若 sin ? cos ? ,则 sinα=_________。 2 2 5 ? 2、 函数 y ? tan(2 x ? ) 的周期为_________。 3 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 如果 tan ? ? csc ? ? 0 ,那么角 α 的终边在第____________象限。 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm2 方程 | sin x |? 1 的解集是_________________。
cos2 ? ? cos2 (? ? 120?) ? cos2 (? ? 240?) 的值是________。

若 sin(? ? ? ) ?

tan ? 2 1 , sin(? ? ? ) ? ,则 =__________。 tan ? 3 5

设 0<α<π,且函数 f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)是偶函数,则 α? 的值为_________。 若0 ? x ?

?
4

, 且 lg(sin x ? cos x) ?

1 (3 lg 2 ? lg 5) ,则 cos x ? sin x ? ______ _. 2

5 2 10、 设函数 f(x)是以 2 为周期的奇函数,且 f (? ) ? 7 ,若 sin ? ? ,则 f (4cos 2? ) 的值 5 5 为___________________。 11、 设 tanα 和 tanβ 是方程 mx2+(2m-3)x+m-2=0 的两个实根,则 tan(α+β)的最小值为 ______________。 12、 下列命题:

①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣ ? ?

k? ,k∈Z}; 2

1 x ②若 2sin x ? 1 ? cos x ,则 tan 必为 ; 2 2

? ] ③当 x ? x0 时函数 f ( x) ? 3sin x ? 4 cosx ,x? [0, 取得最大值,则 tanx0 ? ?
3 2 1 ? ? 11? ④函数 y ? sin( x ? ) 在区间[ ? , ]上的值域为[ ? , ]; 2 2 2 6 3 6

3 ; 4

⑤方程 sin(2 x ? ) ? a ? 0 在区间[0, ]上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1 ? x2 ? 。 2 3 6 其中正确命题的序号为_____________。 二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 若 A,B 为锐角三角形 ABC 的两个内角,则点 P(sinA-cosB,cosA-sinB)位于( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

?

?

?

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。

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14、 函数 f ( x) ? sin(cos x) 的定义域是 (A) R (C) [2kπ -

(

)

? ,2kπ ](k∈Z) 2

? ](k∈Z) 2 ? ? (D) [2kπ - ,2kπ + ](k∈Z) 2 2
(B) [2kπ ,2kπ + (
? 单位 6 5? 单位 6

15、 函数 y=sin(2x+ (A) .向左平移 (C) 向左平移

? )的图象是由函数 y=sin2x 的图像 3

)

? 单位 3

(B) 向右平移 (D) 向右平移

5? 单位 6

16、 函数 f ( x) ? cos x ? tan x 在区间(

? 3? , )上的图象为 2 2

(

)

y
? 2
(A)

y
3? x 2

y
3? x 2

y
3? 2

O

O ?
2

O ?
2
(B)

x O

? 2

3? 2
(C)

x

(D) 三、解答题(共 48 分) 17. (8 分)已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,求 sin ? 的值 5 13

18. (8 分)定义行列式运算 (1)求 tanA 的值;

a1 a2 a3 a4

= a1a4 - a2 a3 。若

1 ?2

? cos A ?0。 sin A

(2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x (x∈R)的值域。

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。

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19. (8 分)若 cos(

?
4

??) ?

3 17? 7? ?? ? ,且 5 12 4

(1)求 sin 2? 的值; (2)求

1 ? tan ? 的值。 1 ? tan ?

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ⑴写出函数 f ( x ) 的最小正周期;

?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x , ?4 ?
⑵求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

⑶若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

21、(12 分)如图所示,ABCD 是一块边长为 7 米的正方形铁皮,其中 ATN 是一半径为 6 米的 扇形,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有 边落在 BC 与 CD 上的长方形铁皮 PQCR, 其中 P 是弧 TN 上一点. ?TAP ? ? , 设 长方形 PQCR 的面积为 S 平方米。 (1)求 S 关于 ? 的函数解析式; R D (2)求 S 的最大值及此时 ? 的值。
N

C

P

Q

A

θ T

B

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2012 学年第二学期高一期中考试 数学试卷参考答案与评分标准 一、填空题(每小题 3 分,共 36 分)

24 1、 25
3 6、 2

? 2、 2
13 7、 7

3、二、三

4、4cm2 9、

5、{x∣x=kπ + 10、-7

? ,k∈Z} 2

3? 8、 4

10 5

11、解:∵△=(2m-3)2-4m(m-2)=-4m+9≥0,∴m≤

9 , 4

2m ? 3 m ? 3 ? 2m ? 3 ? 2 m ≤ ? 3 。 ∴tan(α +β )= m ? 2 m ? (m ? 2) 2 4 1? m ?
12、①③⑤ 二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 解:∵A,B 为锐角三角形的两个内角,∴A+B> ∴sinA>sin( 14、D

? ? ? ,∴ >A> -B>0, 2 2 2

? -B)=cosB,∴sinA-cosB>0,同理可得 cosA-sinB<0,∴选(D) 2 ? 3? , )上 cosx<0,∴函数 f(x)恒负,∴选(C) 2 2

15. B

16.解:在区间(

三、解答题(共 48 分) 17. (8 分)解:? 0 ? ? ? ∴0 ?? ? ? ??

?
2

,0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? 5 13

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

16 3 ? 25 5 25 12 ? 169 13

sin(? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? 1 ?

∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?

?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65
1 ?2 ? cos A sin A ? 0 ,得 sinA-2cosA=0,∵cosA≠0,∴tanA=2。

18. (8 分)解: (1)由

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。

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1 3 (2) f ( x) ? cos 2x ? 2sin x ? ?2(sin x ? )2 ? , 2 2
∵x∈R,∴sinx∈[-1,1], 当 sin x ?

3 1 时,f(x)有最大值 ;当 sinx=-1,f(x)有最小值-3。 2 2 3 ]。 2

所以,值域为[-3,

? 7 ) ? 1 ? 2 cos 2 (? ? ) ? ; 2 4 25 17? 7? ? 4? ? ? 3? ?? ? ,2? ) ,又 cos( ? ? ? ,∴ ? ? ? ( ,2? ) ) 0 (2)∵ ,∴ ? ? ? ( 12 4 4 3 4 4 2 ? 4 1 ? tan ? 4 ?? . ∴ tan( ? ? ) ? ? ,即 4 3 1 ? tan ? 3
19. 解:(1) sin 2? ? ? cos(2? ? 20.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 . 3? ?
∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? (II) 2 x ?

π ? ? 3? ? 5? 11? ? ? ,k ?Z ? ? 2k? ? , 2k? ? ? , k ? Z x ? ? k? ? , k? ? 3 ? 2 2? 12 12 ? ? ? ? ? 5? 11? ? ,k ?Z , k? ? 12 12 ? ?
π 2π

函数 f ( x ) 的单调递减区间 ? k? ?

(III)∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
?π π? ∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ?4 2?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,
21、解: (1)延长 RP 交 AB 于 E ,延长 QP 交 AD 于 F , 由 ABCD 是正方形, PRCQ 是矩形,可知 PE ? AB, PF ? AD , 由 ?TAP ? ? ,可得 EP ? 6cos ? , FP ? 6sin ? , ∴ PR ? 7 ? 6sin ? , PQ ? 7 ? 6cos? , ∴ S ? PR ? PQ ? (7 ? 6sin ? )(7 ? 6cos? ) ? 49 ? 42(sin ? ? cos? ) ? 36sin ? cos?
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故 S 关于 ? 的函数解析式为 S ? 49 ? 42(sin ? ? cos? ) ? 36sin ? cos? (0 ? ? ? ) ……4 分 (2)由 sin ? ? cos ? ? t ,可得 t 2 ? (sin ? ? cos? )2
? 1 ? 2sin ? cos ? ,即 sin ? cos ? ?

π 2

t2 ?1 , 2
……7 分

∴ S ? 49 ? 42t ? 18(t 2 ? 1) ? 18t 2 ? 42t ? 31 . 又由 0 ? ? ?

π ? ? 3π ,可得 ? ? ? ? , 2 4 4 4 π 4

故 t ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ) ?[1, 2] , ∴S 关于 t 的表达式为 S ? 18t 2 ? 42t ? 31 ( t ?[1, 2] ) .……9 分 又由 S ? 18(t ? )2 ?

7 6

13 , t ?[1, 2] 2

可知当 t ? 2 时, S 取最大值, 故 S 的最大值为 67 ? 42 2 . ……12 分

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