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福建省师大附中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题


福建师大附中 2013 届高三上学期期中考试

数学(理)试题
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.
命题人:刘文清 审核人:江 泽

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x |1 ? 2x ? 4}, 则A ? B 等于 ( A. {?1, 0,1} 2.若复数 B. {1} C. {?1,1} D. {0,1} ) )

2 ? ai ( a ? R ) 是纯虚数( i 是虚数单位),则 a 的值为 ( 1? i A. ? 2 B. 2 C. 1 D. ? 1


3.“ 2 ? x ? 3 ”是“ x( x ? 5) ? 0 ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量 a ? (1,1), b ? (2,0) ,则向量 a, b 的夹角为 ( A.

?

?

? ?

) D.

? 3

B.

? 6

C.

? 4

? 2

5.给出命题:已知 a 、 b 为实数,若 a ? b ? 1 ,则 ab ?

1 .在它的逆命题、否命题、逆否命 4

题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 ?? ? ? 6.下列函数中,周期为 ? ,且在 ? , ? 上单调递增的奇函数是 ( ?4 2?



?? ? A. y ? sin ? x ? ? 2? ?
C. y ? sin ? 2 x ? ? ? ? ?
? 2?

?? ? B. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ? ?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 2? ?

7.把函数 y ? 5sin(2 x ?

?
6

) 的图象向左平移

? 个单位,再把所得函数图象上所有点的横坐 6


标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到图象的解析式为( A. y ? 5sin x B. y ? 5sin( x ?

?

6

)

C. y ? 5sin( x ?

?

12

) D. y ? 5sin(4 x ?

?
12

)

8.在同一个坐标系中画出函数 y ? a x , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下列所 给图象中可能正确的是 ( )

9.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为( A.

??? ??? ? ?
2 5 5

??? ?

??? ?

???? ????

??? ?



B. 2

C.

5

D. 2 5

10. 如 图 , 正 五 边 形 ABCDE 的 边 长 为 2 , 甲 同 学 在 ?ABC 中 用 余 弦 定 理 解 得

AC ? 8 ? 8cos108? ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得 AC ?
所在区间为( A. (0.1, 0.2) ) B. (0.2, 0.3) C. (0.3, 0.4)

1 ? ,据此可得 cos 72 的值 ? cos 72

D. (0.4, 0.5)
A

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在 答题卡的相应位置. 11.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a5 ? 9 ,则 S7 ?

B

E

C


2 2

H

D

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 sin B ? 2 sinC , a ? b ? 则A? .

3 bc , 2

13.函数 f(x)= 3 cos2x+sinxcosx ?

3 ? ?? ( x ? ?0, ? )的取值范围是 2 ? 4?



1] 14.偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) = f (x ) ,且当 x ? [0, 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 的方

?1? 3] 程 f ( x) ? ? ? 在 x ? [?3, 上解的个数是 . ?2? 11 ?n ? 15. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? ,则数列 ? ? 中数值最大的项是第 2 ? an ? 16.如图 ?ABC 中, AD ? 2 DB , 2 AE ? EC , BE ? CD ? P ??? ? ??? ? ??? ? 若 AP ? xAB ? yAC( x, y ? R) ,则 x ? y ?
17.将方程 x ? tan x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 ,?, an ,? , 给出以下不等式: ①0 ? an?1 ? an ?
D

x


A E

P

?
2



② ? an?1 ? an ? ? ; 2

?

B

C

③2an?1 ? an?2 ? an ; 其中,正确的判断是

④2an?1 ? an?2 ? an ; .(请写出正确的序号)

三、解答题:本大题有 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 且满足 Tn ? 1 ? bn (I)求 {bn } 的通项公式; (II) ?an ? 中是否存在使得 在

1 是 {bn } 中的项, 若存在, 请写出满足题意的一项 (不 an ? 25

要求写出所有的项);若不存在,请说明理由. 19.(本题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当 甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船 航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

(第 20 题图)

20.(本小题满分 13 分)如图,9 个正数排列成 3 行 3 列,其中每一行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列,且所有的公比都是 q ,已知 a12 第一行数列的公差为 d1 . (Ⅰ )求出 a11 , d1 及 q ; (Ⅱ )若保持这 9 个数的位置不动,按照上述规律,补成一个 n 行 n 列的数表如下,试写出 数表第 n 行第 n 列 ann 的表达式,并求 Sn ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann 的值.

? 1 , a 23 ? , a32 ? , 又设

3 4

1 4

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? Asin(2x ? ? ) ,其中 A ? 0, ? ? ? 0, (Ⅰ )若函数过点 E ? ?

? ?? ? , 请分别解答以下两小题. ? 2?

? ? ? ?? ? ,1? , F ? , 3 ? ,求函数 y ? f ? x ? 的解析式. ? 12 ? ? 6 ? (Ⅱ 如图, M , N 分别是函数 y ? f ? x ? 的图象在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点, 函 ) 点
数图像上的一点 P ? t ,

? ? ?

3? 8

???? ???? ? 2 ? ? ,若满足 PN ?MN ? ,求函数 f ( x ) 的最大值. ? ? 16 ?
y P

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? ax ?1(a ? R)
2

M O

N x

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ )若 a ? 1 ,试分别解答以下两小题. (ⅰ )若不等式 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? m 对任意的 0 ? x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值 范围; (ⅱ )若 x1 , x 2 是两个不相等的正数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求证: x1 ? x2 ? 2 .

参考答案
一、1、B 2、B 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B 8、D 9、 C 10、C 二.11、21 12、 ? 13、 ? f ( x ) ? 1 14、3 15、6 16、 17、② ④ 2 7 3 18.(本题满分 12 分) 1 解:(I)当 n ? 1 时,? b1 ? T1 ? 1 ? b1 ?b1 ? ………………………………………2 分 2 当 n ? 2 时,?Tn ? 1 ? bn ?Tn?1 ? 1 ? bn?1
1 两式相减得: bn ? bn?1 ? bn ,即: bn ? bn?1 …………………………………………6 分 2

2

1

5

故{ bn }为首项和公比均为

1 1 的等比数列,? bn ? ( ) n ……………………………8 分 2 2

(II)设 ?an ? 中第 m 项 am 满足题意,即 所以 m ? 2
n ?1

1 1 ? ( )n ,即 2m ? 1 ? 25 ? 2n am ? 25 2

?12 ( m, n ? N ? )比如: a4 ? 7 ……………………12 分
20 ? 30 2 ? 10 2 , 又 60

19.(本题满分 12 分) 解 : 如 图 , 连 结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ?

?A1 A2 B2? 8 0? ?1 2 0 ? 6 0 1 ? ?
∴?A1 A2 B2 是等边三角形, ∴ A B2 ? A A2 ? 10 2 1 1 在 ?A B2 B1 中, ?B1 A B2 ? 105? ? 60? ? 45? , A B1 ? 20 1 1 1 由余弦定理得

2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 2

∴B1B2 ? 10 2

因此乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里。

?a12 ? a11 ? d 1 ? 1 ? ?a 23 ? a13 ? q ? ( a11 ? 2d 1 ) q ? 3 4 ? 20.(本题满分 13 分)解:(1)由题意,得 ? , a 32 2 ? ?q ? a12 ?a ? 0(i, j ? 1,2, ? n) ? ij

1 ? ?a11 ? 2 ? 1 ? 解得 ?d 1 ? 2 ? 1 ? ?q ? 2 ?
1 n 2 1 1 2 1 n ? S n ? a11 ? a22 ? ? ? ann ? ? 2 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 1 1 1 1 1 s n ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由① —② ,得 s n ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ? s n ? 2 ? (n ? 2)( ) n 2
(2)因为 ann ? a1n qn?1 ? [a11 ? (n ?1)d1 ]qn?1 ? n ? ( ) 21. (本题满分 13 分)解:(Ⅰ )依题意得:

? ? ? A sin(? 6 ? ? ) ? 1 ? , ………………………1 分 ? ? ? A sin( ? ? ) ? 3 ? 3 ? ? ? ? sin( ? ? ) ? 3s in(? ? ? ) , ……………………2 分 3 6 ? 1 ? 3 1 3 cos ? ? sin ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? , 展开得: ? 2 ? 2 2 2 ? ?
? 3 cos? ? sin ? , tan ? ? 3 ,
……………………3 分

? ? ?? ………………………4 分 ?? ? ? 0, ? , ?? ? , 3 ? 2? ? ? f ? x ? ? A sin(2 x ? ), 3 ?? ? ………………………5 分 ? f ? ? ? 3,? A ? 2 , ?6? ? ? f ? x ? ? 2sin(2 x ? ), ………………………6 分 3 (Ⅱ )过点 P 作 PC ? Ox 于点 C, 解法 1:令 f ? x ? ? Asin(2x ? ? ) ? 0 , 2 x ? ? ? k? , k ? z , 又点 M , N 分别位于 y 轴两侧, ?
? ? ? ?? ? ? ………………………7 分 ,0?, N ? ? ,0? , ? 2 ? ?2 2 ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? 3? ? 则 MN ? ? , 0 ? , PN ? ? ? ? t , ? ………………………8 分 ? ?2 2 8 ? ?2 ? ? ? y ??? ???? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? P , ? PN ?MN ? ? ? ? t ? ? 2 ? 2 2 ? 16 ? 3? ?t ? , ……………………10 分 N M 2 8 O C 3? ?? ? 2t ? , 4 3? , ………………………11 分 ? A sin ?? ? 2t ? ? 8 6? A? , ………………………12 分 8 6? 函数的 f ? x ? 最大值 . ………………………13 分 8 ???? ???? ???? ???? ? ? 解法 2:? PN ?MN ? PN ?MN cos ?PNM ? ???? ? ? ? PN cos ?PNM ? ? NC ,…………………7 分 2 2 ? ? NC ? , ……………………8 分 8 3? MC ? MN ? NC ? , ………………………9 分 8 3? ? ?? ? ?t ? ? ? ? ? ? t ? 8 ? 2? 2 3? ?? ? 2t ? , ………………………10 分 4 3? ? A sin ?? ? 2t ? ? , ………………………11 分 8 6? A? , ………………………12 分 8
则可得 M ? ?

,

函数的 f ? x ? 最大值 22.(本题满分 15 分)

6? . 8

………………………13 分

解:(Ⅰ )f(x)的定义域为 (0, ??) , f ( x ) ?
/

2 ? 2ax ,………………1 分 x

令 f / ( x) ? 0, ? x ? 0 ,? 2ax ? 2 ? 0 ,
2

① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,? f(x)递增区间是 (0, ??) ;………3 分 当 ② a ? 0 时,? 2ax ? 2 ? 0 ? x ? ? 当
2 2

1 1 1 ? ? ? ? x ? ? ,又 x>0, ? f ( x) 递增 a a a
………………………5 分

区间是 (0,

?a ?a ) ,递减区间是 ( , ??) . ?a ?a

(Ⅱ )(ⅰ ) 设 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) ? (1 ? x)2 ?1 ? 2ln(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ?1 , 化简得: F ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2ln(1 ? x) ? 2x2 , ………………7 分

F / ( x) ?

2 2 4 x3 , ? ? 4x ? ? 1? x 1? x 1 ? x2

? 0 ? x ? 1 ,? F / ( x) ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立,? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,
所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,? m ? 0 ,即 m 的取值范围是 [0,??) .………………9 分 (ⅱ ? f (1) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, ) ① 若 x1 , x2 ? (0,1) , 则

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与 已 知

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 矛盾,
② 若 x1 , x2 ? (1, ??) , 则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与 已 知

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 矛盾,
③ x1 ? 1 , f ( x1) ? ,又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 1 与 x1 ? x2 矛盾, 若 则 0 ? ④ 不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则由(Ⅱ )知当 0 ? x ? 1 时, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 令 1 ? x ? x1 ,则 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 又 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,?2 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 2 . …………14 分

证 2; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2ln x1 ? x12 ?1 ? 2ln x2 ? x22 ?1 ? 0

? 2ln x1x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2 ? 0 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2ln x1x2 ? 2 ,
…11 分 设 t ? x1x2 ,则 t>0, g (t ) ? 2t ? 2ln t ? 2 , g (t ) ? 2 ?
/

………

2 2(t ? 1) ? , t t

令 g / (t ) ? 0 , t ? 1 , g (t ) 在 得 (0, 单调递减, (1, ??) 单调递增,…………………13 1) 在 ? 分

? g (t )min ? g (1) ? 4,

?( x1 ? x2 )2 ? 4 ,? x1 ? x2 ? 2 .

………………………14 分


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