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湖南省长沙四县一市2013届高三3月联考数学(理)试题 Word版含答案


长沙四县一市2013届3月联考数学(理)试题
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答。答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、学号、姓名; 2.本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。全卷满分150分,考试 时间120分钟。

? b?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

? , a ? y ? bx

s2 ?
方差

2 1 n 2 (? xi ? n x ) n i ?1

如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)

第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ) 1. 设集合

A ? {x 0 ? x ? 2}

,集合

B ? {x log 2 x ? 0}
C.

,则 A ? B 等于

A.

? x | x ? 2?

B.

? x | x ? 0?
?
4 (k ? Z )

? x | 0 ? x ? 2?

D.

? x |1 ? x ? 2?

2. “ tan ? ? 1 ”是“

? ? 2k? ?

”的 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

A.充分非必要条件 C.充分必要条件

3. 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,

1

则其侧视图的面积为

3 A. 4

3 B. 2

3 C. 4

D. 1

4.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又有女生,则不同的选法共有

A. 140 种
x2 ?

B. 120 种

C. 35 种

D. 34 种[

5. 若已知曲线 C1 :

y2 ?1 ( x ≥ 0, y ≥ 0) ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ,斜率为 k (k ? 0) 的直 8
AB ? 3

线 l 与圆 C2 相切,切点为 A ,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B ,
1 B. 2
3 C. 3

,则直线 AB 的斜率为

A.1

D. 3

3 o 6. 已知△ ABC 的面积为 2 , AC ? 2 , ?BAC? 60 ,则 ?ACB?

A. 30 B. 60 C. 90 D. 150

0

0

0

0

? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0 f ( x) ? ? ? 3 x ? 4, x ? 0 ,若互不相等的实数 x1、x2、x3 满足 7. 设函数

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )
11 ,] 6 A. 3 (

,则

x1 ? x2 ? x3

的取值范围是

20 26 , ) B. 3 3 (

20 26 ( , ] C. 3 3


D.

11 , 6) 3

8. 定义域是一切实数的函数

y ? f ?x ? ,其图像是连续不断的,且存在常数 ? ( ? ? R )使得

2

f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数”. 有下列
关于“ ? —伴随函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? —伴随函数”;

1 2 ②“ 2 —伴随函数”至少有一个零点. ;③ f ( x) ? x 是一个“ ? —伴随函数”;其中正确结论
的个数是 A.1个; B.2个; C.3个; D.0个;

第Ⅱ卷(非选择题

共110分)

二:填空题: (本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡 中对应题号的横线上。 ) (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9. 在平面直角坐标系中,已知直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 2

( ? 为参数)和曲线 C :

? x ? t ? 2, ? 2 ?y ? t

( t 为参数) ,若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则

AB ?



10. 已知: x + 2 y + 3z = 1 ,则 x ? y ? z 的最小值是
2 2 2

.

11. 如图,已知 AD ? 5 , DB ? 8 , AO ? 3 10

则圆 O 的半径OC的长为 (二)必做题(12~16题)



12. 若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a、b?R , i 为虚数单位,则 a ? b ? ___________.

3

x y

3 2.5

4 t

5 4

6 4.5

13. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的 生产能耗 y (吨标准煤)的几组对应数据.根据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回

y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为 归方程为
_ ____.

?

14. 阅读如右所示的程序框图,若输出 y 的值为 0 ,则输入 x 的值为_

? π f ( x) ? sin(2 x ? ) x ? [? , a] 6 ,其中 6 15. 已知函数 .
a?
(1)当

? 3 时, f ( x) 的值域是______;

(2)若 f ( x) 的值域是 16. 若规定集合

1 [? ,1] 2 ,则 a 的取值范围是______.
的子集

M ? {a1 , a2 ,?, an } (n ? N* )

{ai1 , ai2 ,?, aim } (m ? N* )

为 M 的第

k 个子集,其中 k ? 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ? ? ? 2in ?1 ,则
(1)

?a1 , a3 , a7 ? 它是集合 M 的第

个子集;(2) M 的第211个子集是



三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程和演算

4

步骤,务必在答题纸指定的位置作答。
分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 5 b 35 30 10 a 频率 0.05 0.20 c 0.30 0.10 1.00

17. (本小题满分12分)某校举行了“环保知识竞赛”, 为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩 (得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据右图频 率分布表中所提供的数据,解答下列问题: (Ⅰ)求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率; (Ⅱ)按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活动,并从中指派2名学生担任负责人,记 这2名学生中“成绩低于70分”的人数为?,求?的分布列及期望。 18. (本小题满分12分) 如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于点 M, EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦 值.

19. (本小题满分12分)已知数列 差数列,公差为 d ,

?an ? 是各项均不为 0 的等
2 an ? S2 n ?1

Sn

为其前 n 项和,且满足



n ? N .数列 ?bn ? 满足
*

bn ?

1 an ? an ?1 , n ? N* Tn 为数列 ?bn ? 的前n项和. ,

(Ⅰ)求 a1 、 d 和

Tn


*

(Ⅱ)若对任意的 n ? N ,不等式

?Tn ? n ? 8 ? (?1) n

恒成立,求实数 ? 的取值范围;

5

? 20. (本小题满分13分)如图,有一个以圆心角为 60 ,半径为 3km 的扇形湖面 AOB .现

欲在弧 AB 上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在半径 OA 上, N 、M 在 点 半径 OB 上,将该扇形湖面内隔为四个养殖区域.设矩形 PNMQ 区域的面积为 y ; (Ⅰ)当 ?POB? 45 时,求矩形 PNMQ 的面积;
?

(Ⅱ)设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式,并求出 y 的最大值.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 21. (本小题满分13分)已知F1、F2是椭圆 a 的左、右焦点,O为坐标原点,点
(?1,
P

2 2 )在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足 PM ? F2 M ? 0 ;

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l: y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆交于不同的

2 3 ??? 4 时,求△AOB面积S的取值范围. 两点A、B. 当 OA ? OB ? ? ,且满足 3
1 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) x 22. (本小题满分13分)已知函数 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
g ( x) ? ? a x .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的

(Ⅱ)设函数 取值范围.

6

11分

7

8

9

10

2 1? k 2 3 ? ? ? 2 3 1 ? 2k 4

1 ? k2 ?1 2 解得:

S ? S ?ABO ?
? ? ? 则

1 ? | AB | ?1 2

1 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 2 1 4km 2 2m 2 ? 2 ? 1 ? k 2 ? (? ) ? 4? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2( k 4 ? k 2 ) 设u ? k 4 ? k 2 , 4(k 4 ? k 2 ) ? 1 3 ? u ? 2, S ? 4 2u 3 , u ? [ , 2] 4u ? 1 4

3 3 6 2 ? S 关于u在[ , 2]单调递增, S ( ) ? , S (2) ? 4 4 4 3

?

6 2 ?S? 4 3

12分

11

22. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) .

f ' ( x) ? a(1 ?
易求得:

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )? ? x2 x x2

另解: 设

F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2 ln x

,定义域为

? 0, ?? ? ,
12

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? x x .

13

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14


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