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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案:3.4 简单线性规划 参考教案2


§4.2
【教学目标】

简单线性规划(2)

1.进一步熟练二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法; 2.巩固用图解法求线性目标函数的最大、最小值问题. 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 1.准确求得线性规划问题的最优解 2.目标函数的几何意义 【教学过程】 前面我们讨论了目标函数中 y 的系数大于 0 的情况, 现在我们讨论 y 的系数小 于 0 的情况
?x ? 2 y ? 4 ? 例 1:在约束条件 ? x ? y ? 1 下,求目标函数 z ? 3x ? y 的最小值和最大值 ?x ? 2 ? 0 ?

解:当 z ? ?4,?2,0,1,3 时,可得一组平行直线

x=-2 B

y l0 A x

l 2 : 3x ? y ? ?4 l1 : 3x ? y ? ?2

y

l2:3x-y=-4 l1:3x-y=-2 l0:3x-y=0

x-y=1

l 0 : 3x ? y ? 0
O

-2
x

O

1

2 x+2y=4

l3 : 3x ? y ? 1
l 4 : 3x ? y ? 3
由图可知, 当直线 当直线 l 0 向下平移时,所对应的 z 随之增大
l3:3x-y=1 l4:3x-y=3

C

l 0 向上平移时,所对应的 z 随之减小,

作出可行域可知, z ? 3x ? y 随直线 l0 : 3x ? y ? 0 向上平移而减小,随

l0 : 3x ? y ? 0 向下平移而增大,所以在顶点 B 处取最小值,在顶点 A 处取得最大值

-1-

由?

?x ? 2 y ? 4 ?x ? 2 y ? 4 ? B(?2,3) 知 z min ? ?9 , 由 ? ? A(2,1) 知 z max ? 5 ?x ? 2 ? 0 ?x ? y ? 1

【抽象概括】 目标函数的最大值与最小值总是在区域边界交点(顶点)处取得,所以,求解实际问题 时,只需求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点外的函数值大小,根据问题需求选择 所需结论 例 2.求 z ? 4a ? 2b 在约束条件 ? 最大值与最小值, 解:不等式组表示的平面区域如图所示, 由图可知 z 的最大值、 最小值在顶点 A, B, C , D 处取得

?? 1 ? a ? b ? 2 下的 ?2 ? a ? b ? 4
Y 4a-2b=0 a-b=-1 D 2 A C B 2 a-b=2

由?

?a ? b ? ?1 ?a ? b ? 2 1 3 ? A( , ) 由 ? ? B(2,0) 2 2 ?a ? b ? 2 ?a ? b ? 2
由?

-1

1

X a+b=4 a+b=2

由?

?a ? b ? 2 ? C (3,1) ?a ? b ? 4

?a ? b ? 4 3 5 ? D( , ) 2 2 ?a ? b ? ?1

目标函数值 z A ? ?1 , z B ? 8 , zC ? 10 , z D ? 1 比较得: z max ? zC ? 10 , z min ? z A ? ?1 【思考交流】 在上述约束条件下 (1)求① u ?

b 的取值范围 a

② w ? a ? b 的取值范围
2 2

2 (2)设 f ( x) ? ax ? bx ,且 ? 1 ? f (?1) ? 2 ,

Y

2 ? f (1) ? 4 ,求 f (?2) 的取值范围.
b b?0 解: (1)①目标函数 u ? ? 的几何意义:可行域内点 a a?0
2 A

4a-2b=0 a-b=-1 D E(a,b) 1 B 2 C X a+b=4 a+b=2 a-b=2

E (a, b) 与坐标原点 O(0,0) 连线的斜率
由图可知 u max ? uOA ? 3 , u min ? uOB ? 0

-1 O

-2-

故: u ?

b 的取值范围为 [0,3] a
2 2

②目标函数 w ? a ? b 的几何意义:可行域内点

E (a, b) 与坐标原点 O(0,0) 间的距离的平方
显然 wmax ?| OC | 2 ? 10 最小值为原点到直线 a ? b ? 2 距离的平方 wmin ? d 2 ? 2 故: w ? a ? b 的取值范围为[2,10]
2 2

(2) f (?1) ? a ? b , f (1) ? a ? b , f (?2) ? 4a ? 2b ,由例 2 知, f (?2) ? [?1,10] . 解: (2) f (?2) ? 3 f (?1) ? f (1) ? [?1,10]

?1 ?a?3 ?? 1 ? f (?1) ? 2 ?? 1 ? a ? b ? 2 ? ?2 ? 4a ? 12 ?2 ?? 错解:由 ? 即? ?? ?2 ? f (1) ? 4 ?2 ? a ? b ? 4 ?? 5 ? ?2b ? 0 ?0 ? b ? 5 ? 2 ?
故: f (?2) ? 4a ? 2b ? [?3,12] 【思考】上错解错在哪里?为什么会出现取值范围扩大了?
2 练习:已知函数 f ( x) ? ax ? c 满足 ?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5 ,求 f (3) 的取值范

围. 解:∵ f ( x) ? a ? c , f (2) ? 4a ? c , f (3) ? 9a ? c ,

∴约束条件组 ?

??4 ? a ? c ? ?1 ,目标函数 t ? f (3) ? 9a ? c , ??1 ? 4a ? c ? 5

c
由不等式组作出平面区域如图, 作直线 l0 : c ? 9a ,作一组平行线 l : 9a ? c ? t , 当 l 过点 A(0,1) 时, tmin ? 9 ? 0 ?1 ? ?1 ,

l0
C
D
B

A
-3-

O

a

当 l 过点 C (3, 7) 时, tmax ? 9 ? 3 ? 7 ? 20 , 所以, f (3) ?[?1, 20] . 课堂小结:图解法求线性规划问题的最大、最小值. 作业:

?3 x ? 2 y ? 10 ? x ? 4 y ? 11 ? 0 ? 1.求 z ? 5x ? 4 y 的最大值,使式中 x , y 满足约束条件 ? . x ? 0, y ? 0 ? ? ? x, y ? Z
?x ? y ? 8 ?x ? y ? 2 ? ? 2、在约束条件 ? 下, (教材 P109 页 B 组第 1 题变式) 1 y ? x ? 5 ? 2 ? ? ? x ? 0, y ? 0
求: (1) z ? 2 x ? y 的值域 (2) u ?

z ? [?5,16]
1 7 u ?[ , ] 5 2
2

y?2 的值域 x?2
2

(3) w ? ( x ? 2) ? ( y ? 2) 的值域

w ? [18,104]

-4-


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