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2015年高考数学真题分类汇编 专题03 导数 文


2015 年高考数学真题分类汇编 专题 03 导数 文
1、 【2015 高考福建,文 12】 “对任意 x ? (0, A.充分而不必要条件 要条件 【答案】B 【 解 析 】 当 k ? 1 时 , k sin x cos x ?

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的(



B.必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必

? ? ? f ' ( x) ? k cos 2 x ? 1 ? 0 .故 f ( x) 在 x ? (0, ) 单调递增,故 f ( x) ? f ( ) ? ? ? 0 ,则 2 2 2 1 k sin x cos x ? x ; 当 k ? 1 时,不等式 k sin x cos x ? x 等价于 sin 2 x ? x ,构造函数 2 1 ? g ( x) ? sin 2 x ? x , 则 g ' ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 0 , 故 g ( x) 在 x ? (0, ) 递 增 , 故 2 2 ? ? ? g ( x ) ? g ( ) ? ? ? 0 , 则 sin x cos x ? x . 综 上 所 述 ,“ 对 任 意 x ? (0, ) , 2 2 2
k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的必要不充分条件,选 B.
【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用,根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 2.【2015 高考湖南,文 8】设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数 【答案】A 【解析】 函 数 )

k k sin 2 x , 构 造 函 数 f ( x) ? sin 2 x ? x , 则 2 2

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

f ( x) ? ln(1? x ) ? ln(1? x ) , 函 数 的 定 义 域 为 ( -1 , 1 ) , 函 数

f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) 所以函数是奇函数. f ' ? x ? ?
在(0,1)上 f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,故选 A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质

1 1 1 , ? ? 1 ? x 1 ? x 1 ? x2

【名师点睛】利用导数研究函数 f ( x) 在(a,b)内的单调性的步骤:(1)求 f ' ? x ? ;(2)确认

f ' ? x ? 在(a,b)内的符号;(3)作出结论: f ' ? x ? ? 0 时为增函数; f ' ? x ? ? 0 时为减函数.研
究函数性质时,首先要明确函数定义域.

-1-

3.【2015 高考北京,文 8】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油 时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

12

35000 35600

48

注: “累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每 100 千米平均耗 油量为( A. 6 升 【答案】B 【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 ) B. 8 升 C. 10 升 D.12 升

V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间内,
该车每 100 千米平均耗油量为 【考点定位】平均变化率. 【名师点晴】 本题主要考查的是平均变化率, 属于中档题. 解题时一定要抓住重要字眼 “每100 千米”和“平均” ,否则很容易出现错误.解此类应用题时一定要万分小心,除了提取必要的 信息外,还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题. 4.【2015 高考新课标 1,文 14】已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线
3

48 ?100 ? 8 升,故选 B. 600

?

?

过点 ? 2, 7 ? ,则 a ? 【答案】1 【解析】

.

2 试题分析:∵ f ?( x) ? 3ax ? 1 ,∴ f ?(1) ? 3a ? 1 ,即切线斜率 k ? 3a ? 1 ,

又∵ f (1) ? a ? 2 , ∴切点为 (1,a ? 2 ) , ∵切线过 (2,7) , ∴ 考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解得 a ? 1. 1? 2

【名师点睛】对求过某点的切线问题,常设出切点,利用导数求出切线方程,将已知点代入 切线方程得到关于切点横坐标的方程,解出切点的横坐标,即可求出切线方程,思路明确, 关键是运算要细心. 5.【2015 高考天津,文 11】已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ?? ? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为

-2-

f ? x ? 的导函数,若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为
【答案】3



【解析】因为 f ? ? x ? ? a ?1 ? ln x ? ,所以 f ? ?1? ? a ? 3 . 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则. 【名师点睛】本题考查内容单一,求出 f ? ? x ? ? a ?1 ? ln x ? 由,再由 f ? ?1? ? 3 可直接求得 a 的 值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错, 就得零分,故运算要特别细心. 6.【2015 高考陕西,文 15】函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为____________.
x

【答案】 y ? ?

1 e
x x

【解析】 y ? f ( x) ? xe ? f ?( x ) ? (1 ? x)e ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 ,此时 f (?1) ? ? 函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为 y ? ?
x

1 e

1 e

【考点定位】 :导数的几何意义. 【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义,利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识, 1 切点在 考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用:○ 2 切点在切线上;○ 3 切点处导函数值等于切线斜率. 曲线上;○ 7.【2015 高考安徽,文 21】已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r)2

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值. r

【答案】 (Ⅰ)递增区间是(-r,r);递减区间为(-∞,-r)和(r,+∞) ; (Ⅱ)极大值为 100; 无极小值. 【解析】 (Ⅰ)由题意可知 x ? ? r

? r ? ? ? ?r, ? ?? . 所求的定义域为 ? ??,

f ( x) ?

ax ax ? 2 , 2 (x ? r) x ? 2 xr ? r 2

f ?( x) ?

a ( x 2 ? 2 xr ? r 2 ) ? ax(2 x ? 2r ) a (r ? x)( x ? r ) ? ( x 2 ? 2 xr ? r 2 ) 2 (x ? r)4

所以当 x ? ?r 或 x ? r 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? r ? x ? r 时, f ?( x) ? 0
-3-

因此, f ( x) 单调递减区间为 (??,? r ), (r ,??) ; f ( x) 的单调递增区间为 ? ? r , r ? . (Ⅱ)由(Ⅰ)的解答可知 f ' (r ) ? 0

f ( x) 在 ?0, r ? 上单调递增,在 ?r ,?? ? 上单调递减.

因 此 x ? r 是 f ( x) 的 极 大 值 点 , 所 以 f ( x) 在 (0,??) 内 的 极 大 值 为

f (r ) ?

ar a 400 内无极小值; ? ? ? 100 , f ( x)在(0,??) 2 ?2r ? 4r 4

综上, f ( x)在(0,??) 内极大值为 100,无极小值. 【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性,以及求函数的极值 等基础知识. 【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意,求导后的分子是一个二次项系数为 负数的一元二次式,在求 f ?( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 时要注意,本题主要考查考生对基本概念的 掌握情况和基本运算能力.

x2 8.【2015 高考北京,文 19】 (本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? ? k ln x , k ? 0 . 2
(I)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (II)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

【答案】 (I)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值

f ( k) ?

k (1 ? ln k ) ; (II)证明详见解析. 2

-4-

f ' ( x) ? x ?

k x2 ? k . ? x x

由 f ' ( x) ? 0 解得 x ?

k.

f ( x) 与 f ' ( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.
1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数 的极值和函数的零点,属于难题.利用导数求函数 f ? x ? 的单调性与极值的步骤:①确定函数

f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③求方程 f ? ? x ? ? 0 的所有实数根;④列表格.证明函数
仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定理证明函数零点的存在性;②用函数的单调性证明 函数零点的唯一性.

-5-

9.【2015 高考福建,文 22】已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ;

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? (1, x0 ) 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ? 1? . 【答案】(Ⅰ) ? 0, ?

? 1? 5 ? ; (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ? ? 2 ? ?

【解析】 (I) f ? ? x ? ? 由 f ?? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 , x ? ? 0, ?? ? . ? x ?1 ? x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? . ? ? ? 2 ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? . 则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 . (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ? 1 ? k ? x ? 1? ,则 f ? x ? ? k ? x ? 1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? , 则有 G ? ? x ? ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 . ? x ?1? k ? x x
2

由 G ? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
-6-

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ? 1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . 【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间,通过不等式 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 求解,
' '

但是要兼顾定义域;利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是函数、导数、 不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究 函数的单调性或最值,从而证得不等式,注意 f ( x) ? g ( x) 与 f ( x) min ? g ( x) max 不等价,

f ( x) min ? g ( x) max 只是 f ( x) ? g ( x) 的特例,但是也可以利用它来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷
理科高考 21 题中,就是使用该种方法证明不等式;导数的强大功能就是通过研究函数极值、 最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研究基本初等函数方法所不具备的,而是其 延续. 10. 【 2015 高 考 广 东 , 文 21 】( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 a 为 实 数 , 函 数

f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

(1)若 f ? 0 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?

4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

【答案】 (1)? ??, ? ; (2) f ( x) 在 (a,??) 上单调递增, 在 (??, a ) 上单调递减; (3) 当a ? 2 2

? ?

1? ?

时, f ? x ? ? 【解析】

4 4 有一个零点 x ? 2 ;当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有两个零点. x x

试题分析: (1)先由 f ? 0 ? ? 1 可得 a ? a ? 1 ,再对 a 的取值范围进行讨论可得 a ? a ? 1 的 解,进而可得 a 的取值范围; (2)先写函数 f ? x ? 的解析式,再对 a 的取值范围进行讨论确定

-7-

函数 f ? x ? 的单调性; (3)先由(2)得函数 f ? x ? 的最小值,再对 a 的取值范围进行讨论确 定 f ? x? ?

4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x
2 2

试题解析: (1) f (0) ? a ? a ? a ? a ? a ? a ,因为 f ? 0 ? ? 1 ,所以 a ? a ? 1 , 当 a ? 0 时, 0 ? 1 ,显然成立;当 a ? 0 ,则有 2a ? 1 ,所以 a ? 综上所述, a 的取值范围是 ? ??, ? . 2

1 1 .所以 0 ? a ? . 2 2

? ?

1? ?

2 ? ? x ? ?2a ? 1?x, x ? a (2) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (2a ? 1) x ? 2a, x ? a

对于 u1 ? x ? ?2a ? 1?x ,其对称轴为 x ?
2

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,开口向上, 2 2

所以 f ( x) 在 (a,??) 上单调递增; 对于 u1 ? x ? ?2a ? 1?x ? 2a ,其对称轴为 x ?
2

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,开口向上, 2 2

所以 f ( x) 在 (??, a ) 上单调递减. 综上所述, f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (??, a ) 上单调递减. ( 3 ) 由 ( 2 ) 得 f ( x) 在 (a,??) 上 单 调 递 增 , 在 (0, a ) 上 单 调 递 减 , 所 以

f ( x) min ? f (a ) ? a ? a 2 .
(i)当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (2) ? ?2 , f ( x) ? ? 令 f ? x? ?
2 ? ? x ? 3 x, x ? 2 2 ? ? x ? 5 x ? 4, x ? 2

4 4 ? 0 ,即 f ( x) ? ? ( x ? 0 ). x x

因为 f ( x) 在 (0,2) 上单调递减,所以 f ( x) ? f (2) ? ?2

4 4 在 (0,2) 上单调递增, y ? f (2) ? ?2 ,所以 y ? f ( x) 与 y ? ? 在 (0,2) 无交点. x x 4 当 x ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ? ,即 x 3 ? 3 x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x 3 ? 2 x 2 ? x 2 ? 4 ? 0 ,所 x 4 2 以 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? 0 , 因为 x ? 2 , 所以 x ? 2 , 即当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有一个零点 x ? 2 . x
而y?? (ii)当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (a ) ? a ? a ,
2

-8-

当 x ? (0, a ) 时, f (0) ? 2a ? 4 , f (a ) ? a ? a ,而 y ? ?
2

4 在 x ? (0, a ) 上单调递增, x

当 x ? a 时, y ? ?
2

4 4 2 .下面比较 f (a ) ? a ? a 与 ? 的大小 a a

因为 a ? a ? (? ) ?

4 a

? (a 3 ? a 2 ? 4) ? (a ? 2)(a 2 ? a ? 2) ? ?0 a a
4 a

所以 f (a ) ? a ? a 2 ? ?

结合图象不难得当 a ? 2 时, y ? f ( x) 与 y ? ? 综上所述,当 a ? 2 时, f ? x ? ?

4 有两个交点. x

4 4 有一个零点 x ? 2 ;当 a ? 2 时, f ? x ? ? 有两个零点. x x

考点:1、绝对值不等式;2、函数的单调性;3、函数的最值;4、函数的零点. 【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点, 属于难题.零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间,去绝对值号;③分别 解去掉绝对值的不等式;④取每段结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.判断 函数的单调性的方法:①基本初等函数的单调性;②导数法.判断函数零点的个数的方法: ①解方程法;②图象法. 11.【2015 高考湖北,文 21】设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,

f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ; (Ⅱ)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

1 1 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? (e x ? e ? x ) , g ( x) ? (e x ? e ? x ) .证明:当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e? x ? 1 , 2 2

-9-

故 f ( x) ? 0.
1 又 由 基 本 不 等 式 , 有 g ( x) ? (e x ? e ? x ) ? e x e ? x ? 1 , 即 g ( x) ? 1. ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 2

1 1 1 ex 1 f ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e ? x ) ? g ( x) 2 e 2 e 2 1 1 1 ex 1 g ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e ? x ) ? f ( x) ⑥ 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时,



f ( x) f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a ) x ⑦ ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价 x x

于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x.

⑧于是设函数

h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 由 ⑤ ⑥ , 有

(1)若 c ? 0 ,由③④, h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c )[ g ( x ) ? 1] ? cxf ( x ). 当 x ? 0 时, 得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 故⑦成立. (2) 若 c ? 1, 由③④, 得 h?( x) ? 0 , 故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数, 从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧成立.综合⑦⑧,得 ag ( x) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用,属高档题.

- 10 -

【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起,重点 考查函数的综合性,体现了函数在高中数学的重要地位,其解题的关键是第一问需运用奇函 数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解;第二问属于函数的恒成立问题,需借助导数 求解函数最值来解决. 12. 【2015 高考山东, 文 20】 设函数 处的切线与直线 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 k ,使得方程错误!未找到引用源。在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如 果存在,求出 k ;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数错误!未找到引用源。 ( min{ p, q} 表示, p, q 中的较小值) ,求 m ? x ? 的最大值. 【答案】 (I) a ? 1 ;(II) k ? 1 ;(III) 【解析】 (I)由题意知,曲线 又 f '( x) ? ln x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2 ,所以 f '(1) ? 2 , 平行. . 已知曲线 在点 (1, f (1))

4 . e2

a ? 1, 所以 a ? 1 . x

(II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根. 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 . 又 h(2) ? 3ln 2 ?

x2 , ex

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

所以存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 . 因为 h '( x) ? ln x ?

1 x( x ? 2) 1 当 x ? (2, ??) 时, ?1? , 所以当 x ? (1, 2) 时,h '( x) ? 1 ? ? 0 , x x e e

h '( x) ? 0 ,
所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根.

- 11 -

(III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? . f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,所以 m( x) ? ? x 2 , x ? ( x0 , ??) ? x ? e
当 x ? (0, x0 ) 时,若 x ? (0,1], m( x) ? 0;

1 ? 1 ? 0, 可知 0 ? m( x) ? m( x0 ); 故 m( x) ? m( x0 ). x x(2 ? x) 当 x ? ( x0 , ??) 时,由 m '( x) ? , 可得 x ? ( x0 , 2) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递增; ex
若 x ? (1, x0 ), 由 m '( x) ? ln x ?

x ? (2, ??) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递减;

4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . e2 4 综上可得函数 m( x) 的最大值为 2 . e
可知 m( x) ? m(2) ? 【考点定位】1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值;3.函数零点存在性 定理. 【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理 等,解答本题的主要困难是(II)(III)两小题,首先是通过构造函数,利用函数零点存在性 定理,作出判断,并进一步证明函数在给定区间的单调性,明确方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根.其次是根据(II)的结论,确定得到 m( x) 的表达式,并进一步利用分类讨 论思想,应用导数研究函数的单调性、最值. 本题是一道能力题,属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点 存在性定理等基础知识的同时,考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能 力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型,有利于优生正常发挥. 13.【2015 高考四川,文 21】已知函数 f(x)=-2lnx+x -2ax+a ,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞)
2 2

g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)
所以 g'(x)=2-

2 2( x ? 1) ? x x
- 12 -

当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减 当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增 (Ⅱ)由 f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得 a=x-1-lnx 令 Φ (x)=-2xlnx+x -2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx) =(1+lnx) -2xlnx 则 Φ (1)=1>0,Φ (e)=2(2-e)<0 于是存在 x0∈(1,e),使得 Φ (x0)=0 令 a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中 u(x)=x-1-lnx(x≥1) 由 u'(x)=1-
2 2 2

1 ≥0 知,函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增 x

故 0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1 即 a0∈(0,1) 当 a=a0 时,有 f '(x0)=0,f(x0)=Φ (x0)=0 再由(Ⅰ)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增 当 x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0 当 x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而 f(x)>f(x0)=0 又当 x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0) -2xlnx>0 故 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 综上所述,存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一 解. 【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等 数学思想. 【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点,由于连续两次求导后,参数 a 消失, 故函数的单调性是确定的,讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是:对于某个 a∈(0,1),
2

f(x)的最小值恰好是 0,而且在(1,+∞)上只有一个最小值.因此,本题仍然要先讨论 f(x)
的单调性,进一步说明对于找到的 a,f(x)在(1,+∞)上有且只有一个等于 0 的点,也就是 在(1,+∞)上有且只有一个最小值点.属于难题. 14.【2015 高考天津,文 20】 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = 4 x - x , x ? R, (I)求 f ( x) 的单调区间;
4

- 13 -

(II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x ) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若方程 f ( x)=a (a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

【答案】 (I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ;(II)见试题解析; (III)见试题解析. 【解析】 ( I)由 f ? ( x) = 4 - 4 x3 ,可得 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ; (II) g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,证明 F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增,在

? x0 , ?? ? 单调递减 , 所以对任意的实数

x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 , 对于任意的正实数 x , 都有

1 a ? ? f ( x) ? g ( x) ; ( III ) 设 方 程 g ? x ? ? a 的 根 为 x2 , 可 得 x2 ? ? ? 4 3 , 由 g ? x ? 在 12

? ??, ?? ?

单调递减,得 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? a ? g x2?

? ?

,所以 x2 ? x2? .设曲线 y ? f ? x ? 在

原点处的切线为 y ? h ? x ? , 方程 h ? x ? ? a 的根为 x1? , 可得 x1? ?

? ??, ?? ?

单 调 递 增 , 且 h x1? ? a ? f ? x1 ? ? h ? x1 ?
1

? ?

a , 由 h ? x ? ? 4 x 在在 4
所 以

, 可 得 x1? ? x1 ,

a x2 ? x1 ? x2? ? x1? ? ? ? 4 3 . 3
4 试题解析: (I) 由 f ( x) = 4 x - x ,可得 f ? ( x) = 4 - 4 x 3 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ?

单调递增;当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递减.所以函数 f ? x ? 的单调递增区 间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . ( II )设 P ? x0 , 0 ? , 则 x0 ? 4
1 3

, f ? ? x0 ? ? ?12, 曲线 y ? f ? x ? 在点 P 处的切线方程为 即

y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ?

, 即

g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , 令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ? 则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? .
由于 f ? ( x) = 4 - 4 x3 在 ? ??, ?? ? 单 调 递 减 , 故 F ? ? x ? 在 ? ??, ?? ? 单 调 递 减 , 又 因 为

- 14 -

F ? ? x0 ? ? 0 , 所以当 x ? ? ??, x0 ? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? ? x0 , ?? ? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x?


? ??, x0 ?

单 调 递 增 , 在

? x0 , ?? ?

单 调 递 减 , 所 以 对 任 意 的 实 数

x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .
1 1 ? ? a 3 ? ? (III) 由 (II) 知 g ? x ? ? ?12 ? x ? 4 ? ,设方程 g ? x ? ? a 的根为 x2 ,可得 x2 ? ? ? 43 , 12 ? ?

因为 g ? x ? 在 ? ??, ?? ? 单调递减,又由 (II) 知 g ? x2 ? ? f ? x 2 ? ? a ? g x 2 ?

? ?

,所以 x2 ? x2? .

类 似 的 , 设 曲 线 y ? f ? x? 在 原 点 处 的 切 线 为 y ? h ? x? , 可 得 h ? x? ? 4x , 对 任 意 的

x ? ? ??, ?? ? ,有 f ? x ? ? h ? x ? ? ? x 4 ? 0 即 f ? x ? ? h ? x ? .设方程 h ? x ? ? a 的根为 x1? ,
可得 x1? ?

a , 因为 h ? x ? ? 4 x 在 ? ??, ?? ? 单调递增 , 且 h x1? ? a ? f ? x1 ? ? h ? x1 ? , 因 4
1

? ?

a 此, x1? ? x1 , 所以 x2 ? x1 ? x2? ? x1? ? ? ? 4 3 . 3
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分 析问题解决问题的能力 【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含 参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形 式,不能写成不等式形式 ;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点 ,解决此类问题的基 本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解. 15.【2015 高考新课标 1,文 21】 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e (I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln
2x

? a ln x .

2 . a

【答案】 (I)当 a ? 0 时, f ? ( x) 没有零点;当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点.(II)见解析 【解析】 试题分析: (I)先求出导函数,分 a ? 0 与 a > 0 考虑 f ? ? x ? 的单调性及性质,即可判断出零

+? 点个数; (II)由(I)可设 f ? ( x) 在 0,

(

) 的唯一零点为 x ,根据 f ? ? x ? 的正负,即可判
0

定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于 2a +a ln 证不等式.

2 ,即证明了所 a

- 15 -

+? 试题解析: (I) f ( x) 的定义域为 0,

(

) , f ?( x)=2e

2x

-

a ( x > 0) . x

当 a ? 0 时, f ? ( x) > 0 , f ? ( x) 没有零点; 当 a > 0 时,因为 e 2 x 单调递增, -

a +? ) 单调递增 . 又 单调递增,所以 f ? ( x) 在 ( 0, x a 1 f? (a) > 0 ,当 b 满足 0 < b < 且 b < 时,f ? (b) < 0 ,故当 a > 0 时,f ? ( x) 存在唯一零点. 4 4

+? (II)由(I) ,可设 f ? ( x) 在 0,

(

) 的唯一零点为 x ,当 x ? ( 0,x ) 时, f ?( x) < 0 ;
0

0

+ 当 x 违 x0,

(

) 时, f ?( x) > 0 . ) ( ) 单调递增,所以当 x = x
0

+? 故 f ( x) 在 0,x0 单调递减,在 x0,
值,最小值为 f ( x0 ) . 由于 2e
2 x0

(

时, f ( x) 取得最小

-

a 2 2 a + 2ax0 + a ln ? 2a a ln . =0 ,所以 f ( x0 )= 2 x0 a a x0
2 . a

故当 a > 0 时, f ( x) ? 2a a ln

考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导 数证明不等式;运算求解能力. 【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点,解决此类问题,要熟练掌握常见函 数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与 性质.对函数的零点问题,利用导数研究函数的图像与性质,画出函数图像草图,结合图像处 理;对恒成立或能处理成立问题,常用参变分离或分类讨论来处理. 16.【2015 高考浙江,文 20】 (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b, (a, b ? R ) .
2

(1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a ) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? 【答案】(1) g (a ) ? ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ;(2) [?3,9 ? 4 5] ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4
【解析】
- 16 -

(1)将函数进行配方,利用对称轴与给定区间的位置关系,通过分类讨论确定函数在给定上的 最小值,并用分段函数的形式进行表示;(2)设定函数的零点,根据条件表示两个零点之间的 不等关系, 通过分类讨论, 分别确定参数 b 的取值情况, 利用并集原理得到参数 b 的取值范围. 试题解析:(1)当 b ?

a2 a a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 1 ,故其对称轴为 x ? ? . 4 2 2

a2 当 a ? ?2 时, g (a ) ? f (1) ? ?a?2. 4
当 ?2 ? a ? 2 时, g (a ) ? f ( ? ) ? 1 . 当 a ? 2 时, g (a ) ? f ( ?1) ?

a 2

a2 ? a ? 2. 4

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? 综上, g (a ) ? ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4
(2)设 s, t 为方程 f ( x) ? 0 的解,且 ?1 ? t ? 1 ,则 ? 由于 0 ? b ? 2a ? 1 ,因此 当 0 ? t ? 1 时,

? s ? t ? ?a . ? st ? b

?2t 1 ? 2t ?s? (?1 ? t ? 1) . t?2 t?2

?2t 2 t ? 2t 2 , ?b? t?2 t?2

2 ?2t 2 1 t ? 2t 2 由于 ? ? ? 0和? ? ? 9?4 5 , 3 t?2 3 t?2
所以 ?

2 ? b ? 9?4 5 . 3

当 ?1 ? t ? 0 时,

t ? 2t 2 ?2t 2 ?b? , t?2 t?2

?2t 2 t ? t2 ? 0 和 ?3 ? ? 0 ,所以 ?3 ? b ? 0 . 由于 ?2 ? t?2 t?2
综上可知, b 的取值范围是 [?3,9 ? 4 5] . 【考点定位】1.函数的单调性与最值;2.分段函数;3.不等式性质;4.分类讨论思想.

- 17 -

【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值,函数零点问题.利用函数的单调性以及二次 函数的对称轴与给定区间的位置关系,利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情 况,最后用分段函数的形式进行表示;利用函数与方程思想,确定零点与系数之间的关系, 利用其范围,通过分类讨论确定参数 b 的取值范围.本题属于中等题,主要考查学生应用函数 性质解决有关函数应用的能力,考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思 想的应用能力,考查学生基本的运算能力. 17.【2015 高考重庆,文 19】已知函数 f ( x) ? ax ? x ( a ? R )在 x= ?
3 2

4 处取得极值. 3

(Ⅰ)确定 a 的值, (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x)e ,讨论的单调性.
x

【答案】 (Ⅰ) a = 为增函数.. 【解析】

1 , (Ⅱ) g( x) 在 (- ? , 4)和(- 1, 0) 内为减函数, (- 4, - 1)和(0, +? ) 内 2

试题分析: (Ⅰ)先求出函数 f ( x) 的导函数 f ? ( x) = 3ax + 2 x ,由已知有 f ? (2

4 ) = 0 可得关 3

于 a 的一个一元方程,解之即得 a 的值,
3 2 x (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可得函数 g( x) = 琪 琪 x + x e ,利用积的求导法则可求出

骣 1 2 桫

1 g? ( x) = x( x +1)( x + 4)e x ,令 g? ( x) = 0 ,解得 x = 0, x = - 1或x =-4 .从而分别讨论 x < -4 , 2

- 4 < x < - 1 , -1 < x < 0 及 x > 0 时 g? ( x) 的符号即可得到函数 g( x) 的单调性.
试题解析: (1)对 f ( x) 求导得 f ? ( x) = 3ax + 2 x
2

4 4 处取得极值,所以 f ? (- ) = 0 , 3 3 16 4 16a 8 1 即 3a ? 2? ( ) = - = 0 ,解得 a = . 9 3 3 3 2
因为 f ( x) 在 x = 3 2 x (2)由(1)得, g( x) = 琪 琪 x +x e ,

骣 1 2 桫

2 x 3 2 x 3 故 g? ( x) = 琪 琪 x + 2x e +琪 琪 x +x e =琪 琪x +

骣 3 2 桫

骣 1 2 桫

骣 1 2 桫

1 5 2 x + 2 x e x = x( x +1)( x + 4)e x 2 2

令 g? ( x) = 0 ,解得 x = 0, x = - 1或x =-4 .

- 18 -

当 x < -4 时, g? ( x) < 0 ,故 g( x) 为减函数, 当 - 4 < x < - 1 时, g? ( x) > 0 ,故 g( x) 为增函数, 当 -1 < x < 0 时, g? ( x) < 0 ,故 g( x) 为减函数, 当 x > 0 时, g? ( x) > 0 ,故 g( x) 为增函数, 综上知 g( x) 在 (- ? , 4)和(- 1, 0) 内为减函数, (- 4, - 1)和(0, +? ) 内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值,2. 导数与单调性. 【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算,运用导数研究函数的单调性及导数与函数极 值之间的关系,利用函数的极值点必是导数为零的点,使导函数大于零的 x 的区间函数必增, 小于零的区间函数必减进行求解,本题属于中档题,注意求导的准确性及使导函数大于零或 小于零的 x 的区间的确定.

- 19 -


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