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7高三数学(理)模拟试题二讲评学案


高三数学(理)模拟试题二讲评学案及评分标准
一.选择题:1.B; 2.C;3.A;4.B;5.C;6.D;7.A;8.C; 9.D;10.C; 11.B;12. D 11.整理确定:和为 1 的两个数的函数值和为定值,即 f ( x) ? f (1 ? x) ? 二.填空题:13. [ , ] ;

2 2

3 7 4 2

14. -192 ;

15.

5 ; 16. 错误!未找到引用源。错误! 3

未找到引用源。错误!未找到引用源。. 17. (1)? (2a ? c) cos B ? b cosC ,? (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC , 即 2 sin A cos B ? sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C ) …………………..3 分

? A ? B ? C ? ? ,? 2 sin A cos B ? sin A.
1 ? .? 0 ? B ? ? ? B ? ……….6 分 2 3 ?? ? 2? 2 ) ,….8 分 (2) m ? n = 4k sin A ? cos 2 A ? ?2 sin A ? 4k sin A ? 1, A ? (0, 3 设 sin A ? t , 则 t ? (0,1] . ?? ? 则 m ? n = ? 2t 2 ? 4kt ? 1 ? ?2(t ? k ) 2 ? 1 ? 2k 2 , t ? (0,1] …………………….10 分 ?? ? ? k ? 1,? t ? 1时, m ? n 取最大值. ?? ? 3 依题意得,( m ? n ) max = ? 2 ? 4k ? 1 ? 5,? k ? ………………………………12 分 2
? 0 ? A ? ? ? sin A ? 0 .

? cos B ?

2 18.解: (Ⅰ)? 当 ? ? 2 时,有 C n 种坐法,

…………………………2 分

2 ? Cn ? 6 ,即

n( n ? 1) ? 6, 2

n 2 ? n ? 12 ? 0 , n ? 4 或 n ? ?3 (舍去) . (Ⅱ)? ? 的可能取值是 0, 2, 3, 4 ,
又? P?? ? 0? ?

?n ? 4 .

…………4 分

C 2 ?1 6 1 1 1 , P?? ? 2? ? 4 4 ? ? ? , 4 A4 24 24 4 A4

P?? ? 3? ?

3 C4 ? 2 8 1 9 3 ? ,………………………8 分 ? ? , P ?? ? 4 ? ? 4 24 8 24 3 A4

? ? 的概率分布列为:

?
则 P

0
1 24

2
1 4
第 1 页 共 5 页

3

4
3 8

1 3

E? ? 0 ?

1 1 1 3 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 3 . 24 4 3 8

19.不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . (I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵ AE : EB=CF : FA=1 : 2 , ∴ AF=AD=2 , 而 ∠A=600, ∴△ADF 是 正 三 角 形 ,又 AE=DE=1 , ∴EF⊥AD…………2 分 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角, ∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP……….4 分 (II)在图 2 中,∵A1E 不垂直于 A1B,∴A1E 是平面 A1BP 的斜线. 又 A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP, 从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,则 ∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,…………………6 分 且 BP⊥A1Q. 在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP=600, ∴△EBP 是等边三角形,∴BE=EP. 又 A1E⊥平面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=

EQ ? 3 ,∴∠EA1Q=600. A1 E

所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600…………………8 分 (III)在图 3 中,过 F 作 FM⊥A1P 于 M,连结 QM,QF. ∵CF=CP=1, ∠C=600. 又 PQ= ∴△FCP 是正三角形,∴PF=1. ① ∴A1F=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP, ②

1 BP=1,∴PF=PQ. 2

∵A1E⊥平面 BEP,EQ=EF= 3 , 从而∠A1PF=∠A1PQ. ∴∠QMP=∠FMP=900,且 MF=MQ,

由①②及 MP 为公共边知 △FMP≌△QMP, 从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角……………10 分 在 Rt△A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴A1P= 5 .

第 2 页 共 5 页

∵MQ⊥A1P, ∴MQ=

A1Q ? PQ 2 5 2 5 ,∴MF= . ? 5 A1 P 5
MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 7 ?? 2MF ? MQ 8
7 ……………..12 分 8
…3

在△FCQ 中,FC=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得 QF= 3 . 在△FMQ 中,cos∠FMQ=

所以二面角 B-A1P-F 的大小为 ? -arccos

? 2b 2 x2 ? 1 ?a ? 2 ? ? y2 ? 1 20.解: (1)由条件得 ? a ,所以方程 ?? 4 ?b ? 1 ?2b ? a ?

(2)易知直线 l 斜率存在,令 l : y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(?4, y0 )

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
x1 ? x2 ? ?

? ? 48k 2 ? 16 ? 0

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? ……………6 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ??? ? ? ?( x1 ? 1) ? ? ( x2 ? 1) 由 AQ ? ? QB ? (?1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 )即 ? ? y1 ? ?? y2
得? ? ?

x1 ? 1 x2 ? 1
??? ?

…………………8 分

由 AE ? ? EB ? (?4 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ? y0 )即 ? 得? ? ?

??? ?

??( x1 ? 4) ? ? ( x2 ? 4) ? y0 ? y1 ? ? ( y2 ? y0 )

x1 ? 4 x2 ? 4

…………………10 分

?? ? ? ? ?

( x1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 1) 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ?? 1 2 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)
8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 代入 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

将 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ? 8 40k 2 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ? ?8 2 2 1 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?? ? 0 ……………12 有 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)
21.(1)由题设得 F ( x) ? x ? b sin x ,
2

第 3 页 共 5 页

? F ( x ? 5) ? F (5 ? x) ,则? F (? x) ? F ( x) ,
所以 x ? b sin x ? x ? b sin x ……………………………………………………2 分
2 2

所以 b sin x ? 0 对于任意实数 x 恒成立? b ? 0 .故 f ( x) ? x2 ? 2 ………… (2)由 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x ? x2 ? 2x ? a ln x ,求导数得

a ( x ? 0) ,g (x) 在 (0,1) 上恒单调, 只需 g ' ( x) ? 0 或 g ' ( x) ? 0 在 (0,1) x 2 2 上恒成立,即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,所以 a ? ?(2 x2 ? 2 x) 或 a ? ?(2 x2 ? 2 x) 在 (0,1) 上恒成立…………………………………………………6 分 g ' ( x) ? 2 x ? 2 ?
2 ? ? 记 u( x) ? ?(2x ? 2x),0 ? x ? 1 , 可知: 4 ? u ( x) ? 0 , a ? 0 或 a ? ?4 ………………

(3)令 y ? ln(1 ? x ) ?
2

x ? ?1,0,1 ,列表如下.

1 2x ( x ? 1) x( x ? 1) ' f ( x) ,则 y ' ? ?x?? . 令 y ? 0 ,则 2 2 2 1? x 1? x

x
y'

(??,?1)
+ 递增

?1
0 极大值

(?1,0)


0 0 极小值 1

(0,1)
+ 递增

1 0 极大值

(1,??)


y
? k ? ln 2 ?

ln 2 ?

1 2

递减

ln 2 ?

1 2

递减

1 1 时,无零点; k ? 1 或 k ? ln 2 ? 时,有两个零点; k ? 1 时有三个零点; 2 2 1 1 ? k ? ln 2 ? 时,有四个零点…………………………………………………………12 分 2

22.(1)?

an ?1 a ? kn ? 1 ,? 2 ? a2 ? k ? 1 ………………………………….1 分 an a1
2 2

又 因 为 a1 ? 1, an ?1an ?1 ? anan ?1 ? an (n ? N*,n ? 2) , 则 a3a1 ? a2a1 ? a2

, 即

a3 a ? 1 ? a2 ,又 3 ? 2k ? 1 ,? a2 ? 2k , k ? 1 …………………………………….4 分 a2 a2
(2)

an ?1 a a a ? n ? 1 , an ? n ? n ?1 ? ? ? ? ? 2 ? a1 ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n! …….5 分 an an ?1 an ? 2 a1
n(n ? 1) an x n ?1 ? nxn ?1 ,所以当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 (n ? 1)!

因为 g ( x) ?

2 n ?1 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? 2x ? 3x ? ? ? nx ,错误!未找到引用源。

? xf ( x) ?

x ? 2x2 ? 3x3 ? ? ? nxn ,错误!未找到引用源。
第 4 页 共 5 页

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 - 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。:

(1 ? x) f ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ?1 ? nxn ?

1 ? xn ? nxn ,……………8 分 1? x

? n(n ? 1) ,x ?1 ? 1? x nx ? 2 .综上所述, f ( x ) ? ? ……………9 分 ? f ( x) ? ? 1 ? xn nxn (1 ? x) 2 1 ? x ? ? ,x ?1 ? (1 ? x) 2 1 ? x ?
n n

(3)? f (2) ? 又

1 ? 2n n2n ? ? (n ? 1)2n ? 1 ,…………………………………..10 分 2 (1 ? 2) 1 ? 2

3 g (3) ? 3n , n ①易验证当 n ? 1,2,3 时不等式成立;…………………………………11 分
②假设 n ? k (k ? 3) ,不等式成立,即 3k ? (k ? 1)2k ? 1 ,两边乘以 3 得

3k ?1 ? 3(k ?1)2k ? 3 ? k ? 2k ?1 ? 1 ? 3(k ?1)2k ? k 2k ?1 ? 2
又因为 3(k ? 1)2k ? k 2k ?1 ? 2 ? 2k (3k ? 3 ? 2k ) ? 2 ? (k ? 3)2k ? 2 ? 0 所以 3k ?1 ? k ? 2k ?1 ? 1 ? 3(k ?1)2k ? k 2k ?1 ? 2 ? k ? 2k ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14 分

第 5 页 共 5 页


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