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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第13炼 利用函数解决实际问题 Word版含解析


第 13 炼 利用数学模型解决实际问题
一、基础知识: 1、使用函数模型解决实际问题 (1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核 心变量进行表示) 。以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函 数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值 (2)需用到的数学工具与知识点: ① 分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量 之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段 函数进行表示。 ② 导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等) ,则 可利用导数分析其单调性,进而求得最值 ③ 均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找 到最值。 ④ 分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函 数求解 (3)常见的数量关系: ① 面积问题:可通过寻底找高进行求解,例如: 平行四边形面积 ? 底 ? 高 三角形面积 ? 梯形面积 ?

1 ? (上底 ? 下底) ? 高 2

1 ? 底? 高 2
利润 ? 营业额 ? 成本 ? 货物单价 ? 数量 ? 成本

② 商业问题: 总价 ? 单价 ? 数量 ③ 利息问题: 利息 ? 本金 ? 利率 本息总和 ? 本金 ? 利息 ? 本金 ? 利率 ? 本金

(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变 量应取正整数。涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 (1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求 是关于两个核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
-1-

(2)与函数模型的不同之处 ① 函数模型: 体现两核心变量之间的等量关系, 根据一个变量的范围求另一个变量的范围 (或 最值) ② 线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变 量的表达式的最值。 (3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进 行表示) ,并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决 (4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优 解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 (1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关 (2)需要用到的数学工具与知识点: ① 正弦定理:设 ? ABC 三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,则有

a b c ? ? sin A sin B sin C

b ? c ?b c2A c o s ② 余弦定理(以 a 和对角 A 为例) ,a ?
2 2 2

③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的值域 (3)解题技巧与注意事项: ① 在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题: 例 1: 如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN , 要求 M 在 AB 的 延长线上, N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过 C 点。已知 AB ? 3 米, AD ? 2 米。 (1)设 AN ? x (单位:米) ,要使花坛 AMPN 的面积 大于 32 平方米,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [3,4) (单位:米) ,则当 AM , AN 的长度分 别是多少时,花坛 AMPN 的面积最大?并求出最大面积。

-2-

( 1 )思路:根据相似三角形可得线段比例:

ND DC 3x ? ,从而解出 AM ? ,则 AN AM x?2

S AMPN ? AN ? AM ?

3x 2 3x 2 ? 32 ,解出 x 的范围即可 ,从而可得 x?2 x?2
?

解:?? NDC ?? NAM

ND DC ? AN AM DC ? AN DC ? AN 3x ? AM ? ? ? ND AN ? AD x ? 2

? S AMPN

3x 2 ? AN ? AM ? x?2

依题意可得:

3x 2 ? 32 ? 3x 2 ? 32 x ? 64 ? 0 ? x ? 0 ? x?2
解得: x ? ? 2, ? ? ? 8, ?? ?

? 8? ? 3?

3x 2 (2)思路:求 AMPN 面积的最大值,即求表达式 f ? x ? ? 的最大值,分离常数求解即 x?2
可 解:设 f ? x ? ?

3x 2 x ? [3,4) x?2

4 ? ? 4 ? ? ? f ? x ? ? 3? x ? 2 ? ? 4? ? =3? x ? 2 ? x ?2? ? x?2 ? ?
设 t ? x ? 2 ,则 t ??1,2? 则 y ? 3? t ?

? ?

4 ? ? 4 ? ,根据对勾函数可得: t ? 1 时, y 达到最大值,即 y ? 27 t ?
3x ?9 x?2

此时 t ? 1 ? x ? 3 ,所以 AN ? 3, AM ?

2 答:当 AN ? 3, AM ? 9 时,四边形 AMPN 的面积最大,为 27m

例 2:时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假 设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千套)与销售价格: x (单位:元/套)满足的关系式

y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6, m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出 x?2

套题 21 千套.

-3-

(1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数) ,试 确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大. (保留 1 位小数) 解: (1)将 x ? 4, y ? 21代入关系式可得: 21 ?

m 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? m ? 10 2

( 2 ) 思 路 : 依 题 意 可 得 售 出 一 套 , 所 得 利 润 为 ? x ? 2? 元 , 所 以 总 的 利 润
2? ? 10 f ? x ? ? ? x ? 2? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ,其中 2 ? x ? 6 ,利用导数判定 f ? x ? 的单调性,进而 ? x?2 ?

可求得最大值点 x 解:依题意所获利润 f ? x ? ? ? x ? 2 ? y ? ? x ? 2 ? ? 化简可得: f ? x ? ? 4 x ? 56x ? 240x ? 278
3 2
2? ? 10 ? 4 ? x ? 6? ? ? x?2 ?

? 2 ? x ? 6?

? f ' ? x ? ? 12x2 ? 112x ? 240 ? 4 ?3x ? 10?? x ? 6?
令f
'

? x ? ? 0 ,即解不等式 ?3x ? 10?? x ? 6? ? 0
? 解得 x ?
10 3

?2 ? x ? 6

? 10 ? ? 10 ? ? f ? x ? 在 ? 2, ? 单调递增,在 ? ,6 ? 单调递减 ? 3? ? 3 ?

? f ? x? 在 x ?

10 取得最大值,即 x ? 3.3 3

例 3:某人销售某种商品,发现每日的销售量 y (单位:kg)与销售价格 x (单位:元/kg)

? 150 ? a( x ? 9) 2 ,6 ? x ? 9, ? ?x ? 6 满足关系式 y ? ? ,其中 a 为常数.已知销售价格为 8 元/kg 时, ? 177 ? x, 9 ? x ? 15 ?x ? 6 ?
该日的销售量是 80kg. (1)求 a 的值; (2)若该商品成本为 6 元/kg,求商品销售价格 x 为何值时,每日销售该商品所获得的利润最 大. 解: (1)当 x ? 8 时, 80 ?

150 2 ? a ?8 ? 9 ? ,解得: a ? 5 8?6

-4-

2 ? 150 ? 5 ? x ? 9 ? ,6 ? x ? 9 ? ?x ?6 ?y ? ? ? 177 ? x,9 ? x ? 15 ? ?x ?6

(2)思路:依题意可得销售商品所获得利润 f ? x ? ? ? x ? 6? ? y ,所以 f ? x ? 也是一个分段函 数,可以考虑分别求出每段函数值的最大值,然后进行比较即可挑出 f ? x ? 的最大值。 解:设商品利润为 f ? x ? ,则有 f ? x ? ? ? x ? 6? ? y ,由第(1)问可得:

? 2? ? 150 ?? x ? 6 ? ? x ? 6 ? 5 ? x ? 9 ? ? ,6 ? x ? 9 ? ? ? f ? x ? ? ? x ? 6? y ? ? ?? x ? 6 ? ? 177 ? x ? ,9 ? x ? 15 ? ? ? ? x?6 ? ?
当 6 ? x ? 9 时, f ? x ? ? 150 ? 5 ? x ? 9 ? 则f 令f
'
2

? x ? 6?

x ? 9? ? x? ? 5? ??

2

? 2 ? x ? 6?? x ? 9 ?? ? 15 ? x ? 7 ?? x ? 9 ? ?
解得: 6 ? x ? 7

'

? x ? ? 0 ,由 x ? ?6,9?

? f ? x ? 在 ? 6,7 ? 单调递增,在 ? 7, ??? 单调递减 ? f ? x ? ? f ? 7? ? 170
2 当 9 ? x ? 15 时, f ? x ? ? 177 ? x ? 6 x ? ? ? x ? 3? ? 186 2

? f ? x ? 在 ? 9,15? 单调递减 ? f ? x ? ? f ? 9? ? 150 ? f ? 7? ? f ? 9? ? f ? x ?max ? 170
例 4:已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料 200 千克,配料的价格为

1.8 元/千克,每次购买配料需支付运费 236 元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准
如下:7 天以内(含 7 天) ,无论重量度搜好,均按 10 元/天支付,超出 7 天以外的天数,根 据实际剩余配料的重量,以每天 0.03 元/千克支付 (1)当 9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元?

-5-

(2)设该厂 x 天购买一次配料,求该厂在这 x 天中用于配料的总费用 y (元)关于 x 的函数 关系式,并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少? 解: (1)第 8 天剩余配料为 2 ? 200 ? 400 (千克) 第 9 天剩余配料为 200 千克

?该厂用于配料的保管费为: P ? 70 ? 0.03 ? 400 ? 0.03 ? 200 ? 88 (元)
(2)当 x ? 7 时, y ? 360 x ? 10 x ? 236 ? 236 ? 370 x 当 x ? 7 时, y ? 360 x ? 236 ? 70 ? 6 ? ?? x ? 7 ? ? ? x ? 6 ? ? ? ? 2 ? 1? ?

? 3x 2 ? 321x ? 432
综上所述: y ? ?

?236 ? 370 x, x ? 7
2 ?3x ? 321x ? 432, x ? 7

? 236 ? 370 x ,x ? 7 y ? ? x 设 W 为平均每天支付的费用,则 W ? ? ? 2 x ? 3x ? 321x ? 432 ,x ? 7 ? x ?
当 x ? 7 时, W ?

236 ? 370 x 236 2826 ? 370 ? ? 404 ,当 x ? 7 时, Wmin ? x x 7

当 x ? 7 时, W ? 3x ? 等号成立条件: x ?

432 144 ? 144 ? ? 321 ? 3? x ? ? 321 ? 393 ? ? 321 ? 3 ? 2 x ? x x ? x ?

144 ? x ? 12 x

?Wmin ? 393 (元)
例 5:甲,乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学的往返车费是 5 元,每人可 为 3 位老人服务,乙校每位同学往返车费是 3 元,每人可为 5 位老人服务,两校都有学生参 加,甲校参加活动的学生比乙校至少多 1 人,且两校同学往返总车费不超过 45 元,如何安排 甲,乙两校参加活动的人数,才能使收到服务的老人最多?此时受到服务的老人最多有多少 人? 思路:本题涉及的变量有两个:甲校人数与乙校的人数,且所给条件均为关于两校人数的不 等式,所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为 x ,乙校人数为 y ,所求问题为目标函 数 z ? 3x ? 5 y ,列出约束条件后通过数形结合即可求出 z 的最大值 解:设甲校人数为 x ,乙校人数为 y ,依题意, x , y 应满足的条件为:

-6-

?5 x ? 3 y ? 45 ? ?x ? y ? 1 ? x, y ? N ? ?
目标函数 z ? 3 x ? 5 y ? y ? ? x ?

3 5

z ,通过数形结合 5

可得。动直线 l 经过 M 时, z 取得最大值

?5x ? 3 y ? 45 ? x ? 6 ?M : ? ?? ?x ? y ? 1 ?y ? 5

? M ? 6,5?

zmax ? 3x ? 5 y ? 43

例 6:如图,某海滨浴场的岸边可近似地看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人 求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处,若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒,在海中的行进速度为 2 米/秒, ?BAD ? 45? 。 (1)分析救生员的选择是否正确; (2)在 AD 上找一点 C,使救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出 最短时间 解: (1)思路:所谓“选择是否正确” ,是指方案二所用的时间是否比直接游到 B 处时间短, 所以考虑分别求出两种方案所用的时间,再进行比较即可。 解:从图形可得: AB ?

300 300 2 ? 300 2 ,所以 t1 ? ? 150 2 (s) ? sin 45 2

而 AD ? BD ? 300 ,所以 t2 ?

300 300 ? ? 200 (s) 6 2

? t1 ? t2 ,所以救生员的选择是正确的
(2)思路:要求得时间的最值,考虑创设一个变量 x ,并构造出时间关于 x 的函数 f ? x ? , 再 求 出 f ? x ? 的 最 小 值 即 可 。 不 妨 设 CD ? x , 则 BC ?

3002 ? x 2 , 所 以 时 间

f ? x? ?

300 ? x 3002 ? x 2 ,再求导求出 f ? x ? 的最小值即可 ? 6 2
3002 ? x 2 ,设所用时间为 f ? x ?

解:设 CD ? x ,则 BC ?

-7-

300 ? x 3002 ? x 2 ? ? f ? x? ? 6 2

1 1 2x ? 3002 ? x 2 ? 3x ? f ' ? x? ? ? ? ? ? 6 2 2 3002 ? x 2 6 3002 ? x 2
令 f ' ? x ? ? 0 ,即解不等式 3x ? 3002 ? x2 ? 0 ? 3x ? 3002 ? x2

? 9 x ? 300 ? x
2 2

2

3002 ?x ? ,解得: x ? 75 2 8
2

? f ? x ? 在 0,75 2 单调递减,在 75 2,300 单调递增
? f ? x ?min ? f 75 2 ? 50 ? 100 2 (秒)
答:当 CD ? 75 2 时,救生员所用的时间最短,为 50 ? 100 2 秒 答:甲,乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时,受到服务的老人最多,最多为 43 人 例 7:某人有楼房一幢,室内面积共计 180m ,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间 面积为 18m ,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15m ,可以住游 客 3 名,每名游客每天住宿费 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少 间,每天能获得最大的房租收益?(注:设分割大房间为 x 间,小房间为 y 间,每天的房租 收益为 z 元) ,求 x , y 各为多少时,每天能获得最大的房租收益?每天能获得最大的房租收益 是多少? 思路:本题的主要变量是 x , y ,从题目中可发现对 x , y 的约束条件有 3 个,一个是房间数必 须是非负整数,所以 x, y ? N ,第二个条件是室内面积为 180m ,所以大小房间面积和要不
2
2 2 2

?

?

?

?

?

?

大 于 180m , 第 三 个 条 件 是 装 修 费 用 总 和 不 高 于 8000 元 , 据 此 列 出 约 束 条 件 :

2

?18 x ? 15 y ? 180 ? ?1000 x ? 600 y ? 8000 ,所求收益 z ? 200 x ? 150 y ,所 ? x, y ? N ?
以该模型为线性规划问题,数形结合即可。 解:依题意可得对 x , y 的约束条件为:

-8-

?18 x ? 15 y ? 180 ?6 x ? 5 y ? 60 ? ? ?1000 x ? 600 y ? 8000 ? ?5 x ? 3 y ? 40 ,所求目标函数为 z ? 200 x ? 150 y ? x, y ? N ? x, y ? N ? ?
作出可行域,依图可得:直线过 M ? 3,8? 或 M ?0,12? 时, z 最大,即 zmax ? 18000 答:当大房间为 3 间,小房间为 8 间;或者不设大房间,小房间为 12 间时,收益最大,最大 值为 18000 元 例 8:某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定, 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面,该圆面的内接四边 形 ABCD 是原棚户建筑用地,测量可知边界 AB ? AD ? 4 万米,

BC ? 6 万米, CD ? 2 万米
(1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面半径 R 的值 (2)因地理条件的限制,边界 AD, CD 不能变更,而边界 AB, BC 可以调整,为了提高棚户 区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P ,使得棚户区改造的新建筑用地

APCD 的面积最大,并求最大值
解: (1)在 ? ABC 中,由余弦定理可得:

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ①
在 ? ADC 中,由余弦定理可得:

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ②
因为四边形 ABCD 内接于圆 ??B ? ?D ? 180
2 2 2 ?

? cos B ? ? cos D

所以由①②可得: 4 ? 6 ? 2 ? 4 ? 6cos B ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2cos B
2

解得: cos B ?

1 ? ?B ? 60? ??D ? 120? 2 1 1 ? S ABCD ? S? ABC ? S? ADC ? AB ? BC ? sin B ? AD ? DC ? sin D 2 2 1 1 ? ? 4 ? 6 ? sin 60? ? ? 2 ? 4 ? sin120? ? 8 3 (万平方米) 2 2

由余弦定理可得:

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 28

? AC ? 2 7

-9-

? 2R ?

AC 2 7 4 21 ? ? sin B 3 3 2

?R ?

2 21 3

(2)设 AP ? x,CP ? y ,可知 S APCD ? S? APC ? S? ADC 由(1)可知 S? ADC ? 2 3

?若要 APCD 面积最大,只需 S? APC 最大

S? APC ?

1 1 3 AP ? CP sin P ? AP ? CP sin B ? xy 2 2 4
2 2 2

在 ? APC 中,由余弦定理可得: AC ? AP ? PC ? 2 AP ? PC cos P 即 28 ? x2 ? y 2 ? 2 xy ? cos60? ? x2 ? y 2 ? xy ? 28

? x 2 ? y 2 ? 2 xy ?28 ? x2 ? y 2 ? xy ? 2 xy ? xy ,即 xy ? 28 当且仅当 x ? y 时,等号成立
? S APCD ? 2 3 ? 3 3 xy ? 2 3 ? ? 28 ? 9 3 4 4

所以四边形 APCD 的最大面积为 9 3 万平方米 例 9:如图是一块平行四边形园地 ABCD ,经测量, AB ? 20m, BC ? 10m, ?ABC ? 120 ,
?

拟过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) , 将该园地分为面积比为 3 : 1 的左,右两部分,分别种植不同的花卉,设 EB ? x, EF ? y (单 位:m) (1)当点 F 与点 C 重合时,试确定点 E 的位置 (2)求 y 关于 x 的函数表达式 (3)试确定点 E , F 的位置,使得直路 EF 长度最短 解: (1)当 F 与 C 重合时, S? BEF ?

1 ? BE ? h (设 h 为平行四边形的高) 2

S ABCD ? AB ? h
依题意可得: S? BEF ?

1 1 1 S ABCD 即 ? BE ? h ? ? AB ? h 4 2 4

? BE ?

1 AB 即 E 为 AB 的中点 2

(2)?E 在线段 AB 上
- 10 -

? 0 ? x ? 20
当 x ??10,20? 时,可得 F 在线段 BC 上

? AB ? 20m, BC ? 10m, ?ABC ? 120?

? S? ABCD ? AB ? BC ? sin ?ABC ? 20 ? 10 ?
? S? EBF ? 1 S? ABCD ? 25 3 4

3 ? 100 3 2

? S? EBF ?

1 3 BE ? BF ? sin120? ? x ? BF 2 4

? BF ?
2

100 x
2

?在 ?BEF 中
2 2 2

100 ? 100 ? EF ? BE ? BF ? 2BE ? BF cos EBF ? x ? ? cos120? ? ? 2x ? x ? x ?
? y ? EF ? x 2 ? 10000 ? 100 x2

当 x ??0,10? 时,点 F 在线段 CD 上,此时四边形 EBCF 为梯形或平行四边形

? S EBCF ?

1 1 ? x ? CF ? ? ?10 ? sin 60? ? ,由 S EBCF ? S? ABCD ? 25 3 得: 2 4

CF ? 10 ? x
2 ? 2 当 BE ? CF 时, EF ? 10 ? ? 2 x ? 10 ? ? 2 ? 10 ? ? 2 x ? 10 ? cos120 ? 2 x ? 5x ? 25 2 2 ? 2 当 BE ? CF 时, EF ? 10 ? ?10 ? 2 x ? ? 2 ? 10 ? ?10 ? 2 x ? cos60 ? 2 x ? 5 x ? 25 2

即 y ? 2 x 2 ? 5x ? 25

? 2 10000 ? 100,10 ? x ? 20 ? x ? x2 综上所述可得:? y ? ? ? 2 ?2 x ? 5 x ? 25,0 ? x ? 10
(3)即求 y 的最小值 当 x ??10,20? 时, y ? 等号成立条件: x ?
2

x2 ?

10000 10000 ? 100 ? 2 x 2 ? ? 100 ? 10 3 2 x x2

10000 ? x ? 10 x2

当 x ??0,10? 时, y ? 2 ? x ?

? ?

5 ? 75 ?5 3 ? ? 2? 4
- 11 -

2

等号成立条件: x ?

5 2

? ymin ? 5 3 ,此时 BE ? 2.5, CF ? 7.5
例 10:如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC , 该曲线段是函数 y ? A sin ?? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0,? ? ? 0,? ? , x ? ? ?4,0? 的图像, 图像的最高 点为 B ? ?1,2 ? ,边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD ,且 CD ∥ EF ,游乐场的后一部分

?

?

? 边界是以 O 为圆心的一段圆弧 DE
(1)求曲线 FGBC 的函数表达式 (2) 曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近 为 1 千米,现准备从入口 G ,修一条笔直的景观路 距离 到

O ,求景观路 GO 的长度
(3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ ,平行四边形的一边在海岸

? 上,且 ?POE ? ? ,求平行 四边 线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE
形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 ? 的值 解: (1)由 B ? ?1,2 ? 可知 A ? 2 ,? F ? ?4,0?

? 对于 y ? Asin ??x ? ? ? , T ? 4 ? ? ? ?1? ? ? ?4 ? ? ? ? 12
?? ? 2? ? ? T 6

此时 y ? 2sin ?

?? ? x ? ? ? ,由图像过 B ? ?1,2 ? 可得: ?6 ?

? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? ? 1 ? 6 ? ? 6 ?
6 2? ?? = 3 ?? ?

?

?

?
2

? 2k? ? k ? Z ?

2? ? ?? ? 曲线 FGBC 的函数表达式为 y ? 2sin ? x ? ? 3 ? ?6

- 12 -

(2)由已知可得 yG ? 1

2? ? ?? ?2 s i ? n xG ? 1 ?? ? 3? ?6

2 ?? 1 ?? s ?i n xG ? ?? 3? 2 ? 6

?

?
6

xG ?

2? ? ? 2? 5? = ? 2k? 或 xG ? = ? 2k? 3 6 6 3 6

解得: xG ? ?3 ? 12k 或 xG ? 1 ? 12k ,由 xG ? ? ?4,0? 可得: G ? ?3,1?

? OG ? 10
(3)由图可知, OC ? 3, CD ? 1

? DO ? 2, ?COD ?

?
6

过 P 作 PP 1 ? x 轴于 P 1

? 在 Rt?OPP 1中

PP 1 ? OP sin? ? 2sin?
在 ? OMP 中

OP sin120
?

?

sin ? 60? ? ? ?

OM

? OM ?

OP sin120
?

? sin ? 60? ? ? ? ? 2cos? ?

2 3 sin ? 3

? ? 2 3 2 3 2 3 ? SOMPQ ? OM ? PP sin ? ? ? 2sin ? ? 2sin 2? ? cos 2? ? 1 ? ? 2cos ? ? 3 3 3 ? ?

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6

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6

时, SOMPQ 的最大值为

2 3 3

- 13 -



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