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2016届高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最大(小)值练习 理


第二节
题号 答案 1 2

函数的单调性与最大(小)值
3 4 5 6

1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( A.y=log1x 2 1 2 C.y=x - 2 B.y=2 -1
x

)

D.y=-x

3

解析:由所求函数在(-1,1)内是增函数,故排除 C,D,又选项 A 中对数函数的真数 x>0,排除 A.故选 B. 答案:B
?-x+3a,x<0, ? 2.已知函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范 ?a ,x≥0 ?

围是(

)

?1 ? A.(0,1) B.? ,1? ?3 ? ? 1? C.?0, ? ? 3? ? 2? D.?0, ? ? 3?

?1 ? 0 解析:由 f(x)在 R 上是减函数得,0<a<1,且-0+3a≥a ,由此得 a∈? ,1?.故选 ?3 ?
B. 答案:B 3. (2013·郑州第一次质检)已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数, 则满足 f(x)<f(2x -3)的 x 的取值范围是( A.(-2,+∞) B.(-3,+∞) C.(2,+∞) D.(3,+∞) 解析: 依题意得, 不等式 f(x)<f(2x-3)等价于 x<2x-3, 由此解得 x>3, 即满足 f(x) <f(2x-3)的 x 的取值范围是(3,+∞).故选 D. 答案:D 4.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为(
x

)

)

A.(0,+∞)

B.[0, +∞)

1

C.(1,+∞) 答案:A

D.[1, +∞)

5. (2014·安徽卷)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, 则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8

)

解析:利用绝对值的几何意义分类讨论,根据解析式特征确定函数最小值点进而求 a. a (1)当-1≤- ,即 a≤2 时, 2

? a ? -x-a+1,-1<x<- , 2 f(x)=? a ? ?3x+a+1,x≥-2.
-3x-a-1,x≤-1, a a 易知函数 f(x)在 x=- 处取最小值,即 1- =3. 2 2 所以 a=-4. a (2)当-1>- ,即 a>2 时, 2

? ? a f(x)=? x+a-1,- <x<-1, 2 ? ?3x+a+1,x≥-1.
a -3x-a-1,x≤- , 2 a a 易知函数 f(x)在 x=- 处取最小值,即 -1=3,故 a=8.综上 a=-4 或 8.故选 D. 2 2 答案:D (x-a) ,x≤0, ? ? 6.(2014·上海卷)设 f(x)=? 1 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取 x+ +a,x>0. ? x ? 值范围为( ) B.[-1,0]
2

A.[-1,2]

C.[1,2] D.[0,2]
?0≤a, ? 解析:要使 f(0)是 f(x)的最小值,则? 解得 0≤a≤2,故选 D. 2 ? ?2+a≥a ,

答案:D

?3? 2 7 . 若 f(x) 在 (0 , + ∞) 上 是 减 函 数 , 则 f(a - a + 1) 与 f ? ? 的 大 小 关 系 是 ?4?

2

____________________. 2 ? 1? 3 3 2 解析:∵a -a+1=?a- ? + ≥ ,f(x)在(0,+∞)上是减函数, ? 2? 4 4

?3? 2 ∴f(a -a+1)≤f? ?. ?4? ?3? 2 答案:f(a -a+1)≤f? ? ?4?
a 2 8.若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1 ________. 解析:f(x)=-x +2ax 的对称轴 x=a 且在[1,2]上为减函数,则 a≤1; g(x)= a 的单调区间为(-∞,-1)及(-1,+∞)为减函数,∴a>0. x+1
2

答案:(0,1] 1 1 9.已知函数 f(x)= - (a>0, x>0), a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;

?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,求 a 的值. ?2 ? ?2 ?
解析:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x2 ?-?a-x1?=x -x = x x >0,∴f(x2)>f(x1), ? ? ? ? 1 2 1 2 ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.

?1 ? ?1 ? ?1 ? (2)解析:∵f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,又 f(x)在? ,2?上单调递增, ?2 ? ?2 ? ?2 ?
2 ?1? 1 ∴f? ?= ,f(2)=2.∴a= . 2 5 ? ? 2 m-1 1 10.已知 m∈R,函数 f(x)=mx- -ln x,g(x)= +ln x. x x (1)求 g(x)的极小值; (2)若 y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调递增函数,求 m 的取值范围. 1 1 x-1 解析:(1)由题意,x>0,g′(x)=- 2+ = 2 , x x x ∴当 0<x<1 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0. 故 g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, ∴g(x)的极小值为当 x=1 时 g(x)的值,即 g(1)=1.

3

m (2)∵f(x)-g(x)=mx- -2ln x, x mx -2x+m ∴[f(x)-g(x)]′= . 2 x 由于 f(x)-g(x)在[1,+∞)上为增函数,所以 mx -2x+m≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即 m≥ 2x ? 2x 2? =1. ? 2在[1,+∞)上恒成立,故 m≥? 1+x ?1+x ?max
2 2

∴m 的取值范围是[1,+∞).

4



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