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福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学(理)试题


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考试时间:120 分钟
2014.12.15

试卷满分:150 分

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考 题.本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差

1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? 其中 x 为样本平均数 ? ? n 1 锥体体积公式 V= Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 3
s= 柱体体积公式 V=Sh 球的表面积、体积公式 其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其 中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.已知 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {?2, ?1, 0,1} ,则 (CR A) ? B ? ( ) A. {?2, ?1} 2 .双曲线 ( ) A. 2 B. 2 C. B. {?2} C. {?1, 0,1} D. {0,1}

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2

6 2 3 D. 3 3 x 3.已知命题 p : ? x ? R, log 2 (3 ? 1) ≤0,则(
A. p 是假命题; ?p : ? x ? R, log 2 (3 ? 1) ≤0
x

)

B. p 是假命题; ?p : ? x ? R, log 2 (3x ? 1) >0 C. p 是真命题; ?p : ? x ? R, log 2 (3x ? 1) ≤0 D. p 是真命题; ?p : ? x ? R, log 2 (3x ? 1) >0 4.设 ab ? 0 ,下面四个不等式中,正确的是( ) ① | a ? b |?| a | ;② | a ? b |?| b | ;③ | a ? b |?| a ? b | ;④ | a ? b |?| a | ? | b | A.①和② B.①和③ C.①和④ D.②和④

1 ? 1 x dx 成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? e D. a ? e 6.已知点 O 、 A 、 B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP ? 2OA ? BA ,
5. 已知 a 为常数,则使得 a ?
e

则 ( ) A.点 P 在线段 AB 上

B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上

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C.点 P 在线段 AB 的延长线上
2

D.点 P 不在直线 AB 上
2 2

7. 已知 M (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线 l : ax ? by ? r ,则(
2



A. m // l ,且 l 与圆相交 B. l ? m ,且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离 D. l ? m ,且 l 与圆相离 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 8.若平面区域 ?: 的面积为 3,则实数 k 的值为 ( ) ? y ? 2 ? 0, ? y ? k ( x ? 1) ? A.
1 1 B. 3 2

C.

4 5

D.

3 2

9. 已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ? ?1, 3? 时, f ( x) ? ln x, 若在区间 ? , 3? 内,函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax ,有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A. ? )

1 x

?1 ? ?3 ?

1? e? 1 10. 已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 py , 圆 C2 : x 2 ? ( y ? p ) 2 ? p 2 , 直线 l : y ? x ? p , 其中 p ? 0 , 2 直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按横坐标从小到大依次为 A, B, C , D ,则 AB ? CD 的值为
B. ? , ? ? 3 e? C. ? 0, D. ? 0, ? ( )

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

? ln 3 2 ?

? ?

1 ? ? 2e ?

? ?

p2 A. 4

p2 B. 3

C.

p2 2 D. p 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. 已 知 两 条 直 线 l1 : (2 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m , l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 互 相 垂 直 , 则 m =_________. 12. 已知 cos(? ?

1 ? ) ? ? , 则 sin(? ? ) ? _________. 3 3 6 13. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,当 S n 取最小值时, n 等

?

__________.
? ? a ?x ?1 ? ? , x ? 0, 14. 若函数 f ( x) ? ? ? (a ? 0 且 a ? 2 , b ? 0 且 b ? 1) 的图象关于 y 轴对称,则 ?2? ? x ? 1? b , x ? 0
a ? 8b 的最小值为__________. 15. 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对于映射 f : V ? V , a ? V , 记 a 的象为 f (a ) 。 若 映 射 f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a, b ? V 及 任 意 实 数 ? , ? 都 有 f (? a ? ? b) ? ? f ( a) ? ? f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:

①设 f 是平面 M 上的线性变换, a ? V ,则对任意实数 k 均有 f (ka ) ? kf (a ) ; ②对 a ? V , 设f (a ) ? 2a ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

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③设 f 是平面 M 上的线性变换, a, b ? V ,若 a, b 共线,则 f (a ), f (b) 也共线; ④若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ? V , 设f (a ) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,

1 1 2 ? ? (n ? N *) an an ?1 an an ?1

(Ⅰ)求证数列 {an } 为等差数列,并求它的通项公式; ( Ⅱ ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 是 否 存 在 正 整 数 n , 使 得

S1 ?

S 2 S3 ? ? 2 3

S n (n ? 1)2 求出 n 的值; 若不存在, 请说明理由. ? ? 2014 成立?若存在, n 2

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? m( m ? R ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

] 时, f ( x) 的最大值为 9 ,求实数 m 的值.

18. (本小题满分 13 分)

) ,集合 M ? {x | f ( x) ? 2, x ? 0} ,把 M 中的元素从小到大 6 依次排成一列,得到数列 {an }.( n ? N * )
已知 f ( x) ? 2sin(

?

3

x?

?

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足: b1 ? 1 , bn ?1

? bn ? a2n ,求 {bn } 的通项公式。

19.(本小题满分 13 分) 某港湾的平面示意图如图所示, O , A ,B 分别是海岸线 l1 , l2 上的三个集镇, A 位于 O 的正南方向 6km 处, B 位于 O 的北偏东 600 方向 10km 处. (Ⅰ)求集镇 A , B 间的距离; (Ⅱ)随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l2 上分别修建码头 M , N ,开辟水上航线.勘测时发现:以 O 为 圆心, 3km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定 码头 M , N 的位置,使得 M , N 之间的直线航线最短. 第 19 题图

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20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且它的四条边与坐标轴平行, a 2 b2 正 方 形 GHPQ 的 顶 点 G 、 H 在 椭 圆 上 , 顶 点 P 、 Q 在 正 方 形 的 边 EF 上 . 且
如图,正方形 CDEF 内接于椭圆

CD ? 2 PQ ?

4 10 . 5

(Ⅰ)求椭圆的方程; l 交椭圆于 A 、 (Ⅱ) 已知点 M (2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) , B 两个不同点,求证:直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

21. (本小题满分 14 分)

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x , g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其中 x ? 0,a ? R . (Ⅰ)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (Ⅲ)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ? . 2
巳知函数

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福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第四次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. AABCC BCBAD 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. 12 12.

1 3

13. 6

14. 8

15.①②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? m 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? 3 ? ? m ………………………3 分 2 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 2 ? ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 2. ………………………5 分 6 ? ? ? 由 ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z ,………………………6 分 2 6 2 ? ? 得 ? ? k ? ? x ? ? k ?, k ? Z . 3 6 ? ? ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [? ? k ?, ? k ?] (k ? Z) .………………………7 分 3 6 ? ? ? k? 由 2 x ? ? ? k ?, k ? Z 得 x ? ? ,k ?Z , 6 2 6 2 ? k? ∴函数 f ( x) 的对称轴方程是 x ? ? , k ? Z .………………………8 分 6 2 ? ? ?? ? (Ⅱ)∵当 x ? [0, ] 时, ? 2 x ? ? ,………………………9 分 6 6 6 3 1 ? ∴ ? sin(2 x ? ) ? 1 ,………………………11 分 2 6 ? ∴ 3 ? m ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 2 ? 4 ? m ,……………………12 分 6 ∴ 4 ? m ? 9 ,解得 m ? 5 . ∴实数 m 的值为 5.…………………………………………13 分

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(由

? ? ?? ? 得出 sin(2 x ? ) 的最大值为 1,得 2 分;正确推出 f ( x) 的最大值为 ? 2x ? ? 6 6 6 6 4 ? m ,再得 1 分;正确求出 m 的值得 1 分)

18. 解 :( Ⅰ ) 由

?? ?? ?? ?? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? 2 , 得 sin ? x ? ? ? ? 1 , 即 6? 6? ?3 ?3

,其中 k ? Z ,? x ? 3k ? 1, k ? Z ,………………3 分 6 2 又 x ? 0 ,? M ? ? x x ? 3k ? 1, k ? N ? ,依题意,可得数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 3

?

3

x?

?

? k? ?

?

的等差数列,………………5 分 ? 数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n ? 2 , n ? N * ………………6 分 (Ⅱ)当 n ? 2 时,

bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ?
= a2n?1 ? a2n?2 ? =3

2 ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2

? a21 ? b1 = 3 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ?

? (b2 ? b1 ) ? b1 ………………7 分

? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? 1 ………………9 分

? 2 ? n ? 1? ? 1 ? 3.2n ? 2n ? 3 …………11 分

当 n ? 1 时,上式也成立,………………12 分 ? bn = 3.2n ? 2n ? 3 ( n ? N * )………………13 分 19. 解法一: (Ⅰ)在△ ABO 中, OA ? 6 , OB ? 10 , ?AOB ? 120 ,…1 分 根据余弦定理得, AB 2 ? OA2 ? OB 2 ? 2 ? OA ? OB ? cos120

所以 AB ? 14 . 故 A , B 两集镇间的距离为 14km.………………6 分 ( Ⅱ ) 依 题 意 得 , 直 线 MN 必 与 圆 O 相 切 . 设 切 点 为 C , 连 接 OC , 则 OC ? MN .………………7 分 设 OM ? x , ON ? y , MN ? c , 在△ OMN 中,由 得

? 1? ? 62 ? 102 ? 2 ? 6 ?10 ? ? ? ? ? 196 ,…………………4 分 ? 2?

1 1 MN ? OC ? OM ? ON ? sin120 , 2 2

1 1 ? 3c ? xy sin120 ,即 xy ? 2 3c , …………………………… …9 分 2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得, c ? x ? y ? 2 xy cos120 ? x ? y ? xy ? 3 xy , …………11 分
所以 c ? 6 3c ,解得 c ? 6 3 , …………………12 分
2

当且仅当 x ? y ? 6 时, c 取得最小值 6 3 . 所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为

6 3 km.…13 分
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)依题意得,直线 MN 必与圆 O 相切.设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN .

? ? 设 ?OMN ? ? ,则 ? ? (0, ) , ?ONM ? ? ? ,……………………………7 分
3 3 OC OC 3cos ? 在 Rt?OCM 中, tan ? ? ,所以 CM ? , ? CM tan ? sin ?

………………8 分

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在 Rt?OCN 中, tan(

CN ?

OC ?? ? tan ? ? ? ? ?3 ?

OC ,所以 3 CN ?? ? 3cos ? ? ? ? ?3 ? ,……………9 分 ? ?? ? sin ? ? ? ? ?3 ? ??) ?

?

3cos( ? ? ) 3cos ? 3 所以 MN ? CM ? CN ? ? ? sin ? sin( ? ? ) 3 ? ? ? ? 3 ?cos ? sin( ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? 3 3 ? ? ?

?

sin ? sin( ? ? ) 3

?

3 1 cos ? ? sin ? ) 2 2 3 3 . ……………………11 分 ? ? 1 sin(2? ? ) ? 6 2 ? 5? ? ? ? ? ? 因为 ? ? (0, ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,因此当 2? ? ? ,即 ? ? 时, 6 6 3 6 6 2 6 1 ? 1 sin(2? ? ) ? 有最大值 ,故 MN 有最小值 6 3 ,此时 OM ? ON ? 6 . 2 6 2 所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时, M , N 之间的直线航线最短,最短距离为 sin ? (
6 3 km. …13 分
4 10 2 10 2 10 20.解: (Ⅰ)∵CD= 5 ,∴点 E( 5 , 5 ),…………………1 分 2 10 4 10 10 又∵PQ= ,∴点 G( , ),………………………2 分 5 5 5 8 8 2+ 2=1, 2 5a 5b ? ?a =8, 则 解得? 2 ………………………4 分 ?b =2, 32 2 ? 2+ 2=1, 5a 5b

?

3sin

?

3

? ? ? ? ?

∴椭圆方程 + =1. ………………………5 分 8 2 (Ⅱ)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可, y1-1 y2-1 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k1= ,k2= ,直线 l 方程为 y= x+m,代入椭圆 x1-2 x2-2 2 方程 + =1 消去 y, 8 2 2 2 得 x +2mx+2m -4=0 2 可得 x1+x2=-2m,x1x2=2m -4. ………………………9 分

x2 y2

x2 y2

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而 k1+k2=

y1-1 y2-1 (y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2) + = x1-2 x2-2 (x1-2)(x2-2)

1 1 ( x1+m-1)(x2-2)+( x2+m-1)(x1-2) 2 2 = (x1-2)(x2-2) x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) = (x1-2)(x2-2) 2 2m -4+(m-2)(-2m)-4(m-1) = (x1-2)(x2-2) 2 2 2m -4-2m +4m-4m+4 = =0,………………………13 分 (x1-2)(x2-2) ∴k1+k2=0,故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. …………14 分

(Ⅲ) 解法 1: F ( x ) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a
2 2

2

x 2 ? ln 2 x ] ,…………………9 分 2 x 2 ? ln 2 x 2 令 P ( a ) ? a ? ( x ? ln x )a ? , 2 x ? ln x 2 x ? ln x 2 x 2 ? ln 2 x ) ?( ) ? 则 P(a ) ? (a ? 2 2 2 2 x ? ln x 2 ( x ? ln x ) ( x ? ln x ) 2 ? (a ? ) ? ? ……………………11 分 2 4 4 1 x ?1 令 Q ( x ) ? x ? ln x ,则 Q ?( x ) ? 1 ? ? , x x 显然 Q ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增, ? 2[a 2 ? ( x ? ln x )a ?

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则 Q ( x ) min ? Q (1) ? 1 ,则 P ( a ) ? 故 F ( x) ? 2 ?

1 , 4

…………………………13 分

1 1 …………………………14 分 ? . 4 2 解法 2: F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x ? ln 2 x ? 2a 2
…………………………9 分 ? ( x ? a ) 2 ? (ln x ? a ) 2 则 F ( x ) 表示 y ? ln x 上一点 ( x,ln x ) 与直线 y ? x 上一点 ( a , a ) 距离的平方. 1 1 由 y ? ln x 得 y ? ? ,让 y ? ? ? 1 ,解得 x0 ? 1 , x x0 ∴直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ,……………………12 分 1 (另解:令 N ( x ) ? x ? 1 ? ln x ,则 N ?( x ) ? 1 ? , x 可得 y ? N ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增, 故 N ( x ) min ? N (1) ? 0 ,则 x ? x ? 1 ? ln x , 直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ) ,

2 , 2 2 2 1 则 F ( x ) ? ( x ? a ) 2 ? (ln x ? a ) 2 ? ( ) ? .…………………………14 分 2 2
点(1,0)到直线 y ? x 的距离为


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