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江苏省2016届高三数学一轮复习专题突破训练:数列


数列
一、填空题 1、 (2015 年江苏高考) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? an ? n ? 1 , 则数列 ?

?1? ? 的前 10 项和为_____。 ? an ?

2、(2014 年江苏高考)在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1 , a8 ? a6 ? 2a2 ,则 a6 的值 是 3 、 ( 2013 年 江 苏 高 考 ) 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ? an 的最大正整数 n 的值为
4、 (2015 届南京、 盐城市高三二模) 记等差数列 也为等差数列,则 a13 =

。 且数列 ? 2,

?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a

1

?S ?
n

5、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))已知等差数列 ?an ? 的首项为 4, 公差为 2,前 n 项和为 Sn . 若 S k ? ak ? 5 ? 44 ( k ? N? ),则 k 的值为 ▲ .

6、 (苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))已知等差数列 ?an ? 满足:a1 ? ?8, a2 ? ?6 . 若 将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数 m ,所得的三个数依此成等比数列,则 m 的值为 ▲

7、 (泰州市 2015 届高三第二次模拟考试) 在等比数列 {an } 中, 已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 , 则 a7 ? 8、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若数列 ?an ? 满足

an ? S n ? An 2 ? Bn ? C 且 A ? 0 ,则

1 ? B ? C 的最小值为 A



9、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)记数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,Sn=2(a1+an)(n≥2, n∈N*),则 Sn= ▲ 10 、 ( 2015 届 江 苏 南 通 市 直 中 学 高 三 9 月 调 研 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且

a1 ? a3 ? 1 ? a2 ? a4,S4 ? 2 ,则数列 {an } 的公比 q 为



11 、( 2015 届江苏苏州高三 9 月调研)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ?

1 ,则 2

a4 ? a5 ?



12、(苏州市 2015 届高三上期末)已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则 其公差为

1

13、(泰州市 2015 届高三上期末)等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3 a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项 和为 ▲

14、 (无 锡市 2015 届 高三 上期 末) 已 知数 列 {a n } 的 首项 a1 = 1 , 前 n 项 和为 S n , 且满 足

2a n + 1 + S n = 2 (n

*

),则满足 1000 <

1001

S 2n 11 的 n 的最大值为 < Sn 10
1 2
n ?1

15、(扬州市 2015 届高三上期末)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 an ? 4 ? ( ? )

,若对任意

n ? N * ,都有 1 ? p ( S n ? 4n) ? 3 ,则实数 p 的取值范围是____

二、解答题 1、(2014 年江苏高考)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列, (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3
n n?k n?2k n ?3k , a4 依次构成等比数列?并说明理由。 2 3 4

a

a

a

a

2

2、 ( 2014 年江苏高考)设数列 {

} 的前 n 项和为

. 若对任意的正整数 n, 总存在正整数 m, 使得

,则称{

}是“H 数列。 ”

(1)若数列{

}的前 n 项和

=

(n

) ,证明:{

}是“H 数列” ;

(2)设数列{

}是等差数列,其首项

=1.公差 d

0.若{

}是“H 数列” ,求 d 的值;

(3)证明:对任意的等差数列{

},总存在两个“H 数列” {

}

和{

},使得

=

(n

)成立。

3

3、(2013 年江苏高考)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , S n 是其前 n 项和。记

bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数。 n2 ? c
2

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: S nk ? n S k ( k , n ? N );
*

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 。

4

4、(2015 届南京、盐城市高三二模)给定一个数列{an},在这个数列里,任取 m(m≥3,m∈N*)项, 并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个 m 阶子数列. 已知数列{an}的通项公式为 an= 个 3 阶子数列. (1)求 a 的值; 1 (2)等差数列 b1,b2,…,bm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,且 b1= (k 为常数, k k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1; (3)等比数列 c1,c2,…,cm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列, 1 求证:c1+c2+…+cm≤2- m-1. 2 1 (n∈N*,a 为常数),等差数列 a2,a3,a6 是数列{an}的一 n+a

5

5、 (南通、 扬州、 连云港 2015 届高三第二次调研 (淮安三模) ) 设 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列.记 cn ? an ? bn . (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n2 ,…, nk ? ( k≥4 , k ? N? ),使得数列

cn1 , cn2 ,…, cnk 为等差数列?证明你的结论.

6

6、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))已知 ? , ? 为常数,且为正整数, ? ? 1 ,无 穷数列 ?an ? 的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n , S n ? ? an ? ? .数列 ?an ? 中任意两不同项的和构成集合 A (1)证明无穷数列 ?an ? 为等比数列,并求 ? 的值; (2)如果 2015 ? A ,求 ? 的值; (3)当 n ? 1 时,设集合 Bn ? x 3? ? 2 求数列 ?bn ? 的通项公式

?

n ?1

? x ? 3? ? 2n , x ? A 中元素的个数记为 bn

?

7

7、(泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列,且满足

?

?

?

a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn S n ,n ? N? ,其中 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?cn ? 是公差为 d (d ? 0)
的等差数列. (1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ? n ( ? 是不为零的常数),求证:数列 bn ? 是等差数列; ( 3 ) 若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为 常 数 , k ? N ) , bn ? cn ? k ( n ? 2, n ? N ) , 求 证 : 对 任 意 的
?

?

?

?

?

b n ? 2, n ? N? ,数列 { n } 单调递减. an

8

8、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)设函数 f ( x) ?

1 2 2 (其中 p ? q ? 0 ),且存 1+px ? qx 2
2 n

在无穷数列 ?an ? ,使得函数在其定义域内还可以表示为 f ( x) ? 1 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ? ? . (1)求 a2 (用 p, q 表示); (2)当 p ? ?1, q ? ?1 时,令 bn ?

an ?1 3 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? ; 2 an an ? 2

(3)若数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,求 ?an ? 的通项公式.

9

9、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列, 且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

10、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2a2 ? a1 ? a3 ,且 对于任意 n ? N* ,都有 an ? 0 , an2?1 ? an an ? 2 ? 4 . (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

10

11、(连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三上期末)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1 ,且 满足 an ? an ? 2 ? ? ? 2an ?1 , n ? N , ? 为常数.
*

(1)证明: a1 , a4 , a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2
an ? 2 ? an

,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ;

(3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ? 1? 中是否存在三项 as ?1 ? 1 ,at ?1 ? 1 ,a p ?1 ? 1 成等比数列,且 s ,t ,

p 也成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由.

12、 (南京市、盐城市 2015 届高三上期末)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 .

(2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适 当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有

个元素,试求 ? 的取值范围.

? b ? a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? anb1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 ? an ?

11

13、 (南通市 2015 届高三上期末) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 是“紧密数列”.

1 an ?1 ? ? 2?n ? N* ? , 则称 {an } 2 an

?1? 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? ? n2 ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”; 4 ? 2 ? 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的取值范围.

1

?1 ? an ? n (n为奇数) 14、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . (n为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2 n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 S n ? 0 的所有正整数 n .

12

15、 (泰州市 2015 届高三上期末) 数列 an ? , bn ? , cn ? 满足:bn ? an ? 2an ?1 ,cn ? an ?1 ? 2an ? 2 ? 2 ,

?

?

?

n? N *.
(1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你的结论.

?

?

? ?

?

?

?

13

参考答案
一、填空题 1、 an ?1 ? an ? n ? 1 ? an ?1 ? a1 ?
n ?1 i ?2

?i ?

(n ? 1)(n ? 2) ? 1 ,所以 a 2

n ?1

?

(n ? 1)(n ? 2) 2

? a n?
2、4 4、50
9、

10 1 1 1 1 1 1 20 n(n ? 1) 。故 ? ? 2 ? (1 ? ? ? ? ..... ? ? )? 2 2 2 3 10 11 11 i ?1 ai

3、12

5、7

6、-1
-1

7、64 11、

8、 2 3

3 5

10、2-2n 13、 ?

1 3
15、 [2,3]

12、2

21 4

14、9

14

二、解答题 1、(1)证明:设 a1 ? x ? 3d , a2 ? x ? d , a3 ? x ? d , a4 ? x ? 3d ,因为: 因为 (2 2 ) ? 2
a 2 2 x?2d

, 2 1 g2

a

a3

? 2( x ?3d ? x ? d ) ? 2(2 x ? 2 d ) ,所以

2a1 , 2a2 , 2a3 依次构成等比数列。
因为 (2 3 ) ? 2
a 2 (2 x ? 2 d )

, 2 2 g2

a

a4

? 2( x ? d ? x ?3d ) ? 2(2 x ? 2 d ) ,所以

2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列。
所以 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列。 (2)假设 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列,那么应该有:
2 2 3 3 (a2 ) ? a1 ? a3 ? (a2 ? d )(a2 ? d )3 ? d (2a2 ? 2a2 d 2 ? d 3 ) ? 0 ,因为 2 3 4

a

a

a

a

d ? 0 ,所以 d 3 ? 2a2 d 2 ? 2a23 ? 0 ………(a),考察(a)的解, f '(d ) ? d (3d ? 4a2 )
故d ? ?
3 2

4a2 4a 22 3 a2 ? 0 ,所以符合(a)的解 d ? 0 。 为 f ( d ) 的极大值,而 f ( ? 2 ) ? ? 3 3 27
2 4 3 2

又 ( a3 ) ? a2 ? a4 ? a3 ? a2 ? a4 ,(因为数列各项为正数)。所以
2 (a2 ? d )3 ? a2 (a2 ? 2d ) 2 ? d 2 ? a2 d ? a2 ? 0 ,解得 d ?

1? 5 a2 , (d ? 0) 。 2

所以 d ?

1? 5 1? 5 (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 0 ,这与(a)矛盾。所以不存在这样的 a1 , d , 2 1? 5
2 3 4

使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列。 (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3
n?2k n?k n ?3k a3 a2 a4 q ? n ? n ? k ? n ? 2 k ,而 a1 a2 a3
n n?k n?2k n ?3k , a4 依次构成等比数列,那么:

(

a a a2 n k a k ) a2 ? ( 3 ) n ? k a3 ? ( 2 ) n ? ( 3 ) n ? 2 k …………(a) a1 a2 a1 a2 a3 n ? k k a a a k ) a3 ? ( 4 ) n ? 2 k a4 ? ( 3 ) n ? k ? ( 4 ) n ?3k …….(b) a2 a3 a2 a3

(

15

由于 a2

2n?2k

n?2k n 2k ,而 a1a3 ? ? a1n a3 ? (a1n a3 )a3

(a1 ? a3 ) 2 ,( an ? 0 且各项不等) 4

a1 ? a3 2 n 2 k 2n 2k 2k 2k ) a3 ? a2 ga3 ,所以 a2 ? a3 ? a2 ? a3 ? d ? 0 。 2 a a d d 1 1 2x ?1 ? 1 ? x , ( x ? 0) ,则 3 ? 1 ? ? 1 ? ? 1? ? 令 2 ? 1? ,同理, a1 1 a1 a1 a2 a2 x ? 1 1? 1? x d a4 d 1 1 3x ? 1 ? 1? ? 1? ? 1? ? 。代入(a),(b)得: a 1 a3 a3 2x ?1 2? 2? 1 x d
所以 a2 ga2 ? (
2n 2k

2 x ? 1 n?2k ? (1 ? x) n ? ( ) ...........(c) ? ? x ?1 ,等式两边取对数变形得: ? ?( 2 x ? 1) n ? k ? ( 3 x ? 1 ) n ?3k ...........(d ) ? x ?1 2x ?1 ? 2x ?1 ? n ln( x ? 1) ? (n ? 2k ) ln( )...........(e) ? ? x ?1 ? ?(n ? k) ln( 2 x ? 1) ? (n ? 3k ) ln( 3 x ? 1 )...........(f) ? x ?1 2x ?1 ?
由(e)(f)得到新函数:

f ( x) ? 3ln( x ? 1) ln(2 x ? 1) ? ln(2 x ? 1) ln(3 x ? 1) ? 4 ln( x ? 1) ln(3 x ? 1) ,求导得到:

f '( x) ?

2[?3( x ? 1) 2 ln( x ? 1) ? 3(2 x ? 1) 2 ln(2 x ? 1) ? (3 x ? 1) 2 ln(3 x ? 1)] ,令 g ( x ) ( x ? 1)(2 x ? 1)(3 x ? 1)

? ?3( x ? 1) 2 ln( x ? 1) ? 3(2 x ? 1) 2 ln(2 x ? 1) ? (3 x ? 1) 2 ln(3 x ? 1) ,求二阶导数得:
g ''( x) ? 6[4 ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3 x ? 1)] ,令 h( x) ? 4 ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3 x ? 1) ,则 h '( x) ?

?2 ?0, ( x ? 1)(2 x ? 1)(3 x ? 1)

而 g ''(0) ? g '(0) ? g (0) ? 0 ,故 f ( x) 单调递减,又 f (0) ? 0 ,所以 f ( x) 除了 x ? 0 外无零点,而这与题目条件不符。 所以:不存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3
n n?k n?2k n ?3k , a4 依次构成等比数列。

2、 (1)证明:∵

=

,∴

=

=

(n

) ,又

=

=2=

,∴

(n

) 。∴存在 m=n+1 使得

16

(2)

=1+ ( n-1 ) d ,若 {

} 是“ H 数列”则对任意的正整数 n, 总存在正整数 m, 使得



=1+(m-1)d 成立。化简得

m=

+1+

,且 d

0

又m



, d

,且 为整数。

(3)证明:假设成立且设

都为等差数列,则

n

+

=

+(

-1)



=

+

+1,



=



)同理

=







=

=k

由题

=

=

+( -1)

+

+( -1)

=(

)+(n-1) (

)=(n+k-1)



可得{

}为等差数列。即可构造出两个等差数列{

}

和{

}同时也是“H 数列”满足条件。

3、证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0) , S n 是其前 n 项和
∴ Sn

? na ?

n(n ? 1) d 2
∴ bn

(1)∵ c ? 0

?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2
2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 1 2 1 1 1 ∴ ad ? d ? 0 ∴ d ( a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2 4 2 2 2
∵ b1,b2,b4 成等比数列

? b1b4 ∴ (a ?

17

∴ Sn

? na ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
右边= n
2

∴左边= S nk

? (nk ) 2 a ? n 2 k 2 a

Sk ? n2k 2a

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn

? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?
成立

nS n 1 1 3 2 ? ∴ ( d 1 ? d ) n ? (b1 ? d 1 ? a ? d ) n ? cd1 n ? c ( d 1 ? b1 ) 对 n ? N 恒 2 2 2 n ?c

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d 1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由③式得: c ? 0

由①式得: d1

?

1 d 2

∵ d ?0



d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? ( n ? 1) d , S n 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2
2

?

n[(n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

2

? b1b4 ,

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2 2 ? ? ? ?
由此: S n 故: S nk

? n 2 a , S nk ? (nk ) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a .

? n 2 S k ( k , n ? N * ).

(n ? 1)d ? 2a n2 nS n 2 (2) bn ? 2 , ? n ?c n2 ? c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

18

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.

4、解:(1)因为 a2,a3,a6 成等差数列,所以 a2-a3=a3-a6. 又因为 a2= 1 1 1 ,a3= , a6= , 2+a 3+a 6+ a …………… 3 分

1 1 1 1 代入得 - = - ,解得 a=0. 2+a 3+a 3+a 6+a (2)设等差数列 b1,b2,…,bm 的公差为 d. 1 1 因为 b1= ,所以 b2≤ , k k+1 从而 d=b2-b1≤ 1 1 1 - =- . k k+1 k(k+1)

……………… 6 分

1 m-1 所以 bm=b1+(m-1)d≤ - . k k(k+1) 1 m-1 又因为 bm>0,所以 - >0. k k(k+1) 即 m-1<k+1. 所以 m<k+2. 又因为 m,k∈N*,所以 m≤k+1. …………… 9 分

1 (3)设 c1= (t∈N*),等比数列 c1,c2,…,cm 的公比为 q. t 因为 c2≤ 1 t c ,所以 q= 2≤ . c1 t+1 t+1


从而 cn=c1qn 1≤

1 t n-1 (1≤n≤m,n∈N*). t t+1

1 1 t 1 1 t 2 1 t m-1 所以 c1+c2+…+cm≤ + + +…+ t t t+1 t t+1 t t+1 = = t m t+1 [1- ] t+1 t t+1 t m-1 - . t+1 t ………… 13 分

1 设函数 f(x)=x- m-1,(m≥3,m∈N*). x 当 x∈(0,+∞)时,函数 f(x)=x- 因为当 t∈N*,所以 1< t+1 ≤ 2. t 1 x
m-1

为单调增函数. t+1 1 )≤2- m-1. t 2

所以 f(

19

1 即 c1+c2+…+cm≤2- m-1. 2

……… 16 分

5、解:(1)证明:依题意, cn ?1 ? cn ? d ? ? an ?1 ? bn ?1 ? ? ? an ? bn ? ? d

? ? an ?1 ? an ? ? d ? ? bn ?1 ? bn ?
? bn (q ? 1) ? 0 ,
从而 …… 3 分

cn ? 2 ? cn ?1 ? d bn ?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn ?1 ? cn ? d bn (q ? 1)
…… 5 分

所以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是首项为 b1 (q ? 1) ,公比为 q 的等比数列.

(2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d , 9 ? d , 15 ? d , 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,
2

解得 d ? 3 ,从而 q ? 2 ,

…… 7 分

?a ? b ? 4, 且? 1 1 ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,
解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 ,bn ? 3 ? 2n ?1 . …… 10 分

?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , 法 2:依题意,得 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1
? d ? b1q ? b1 ? 6 , ? 消去 a1 ,得 ? d ? b1q 2 ? b1q ? 9 , ? 3 2 ? d ? b1q ? b1q ? 15 ,

…… 7 分

?b1q 2 ? 2b1q ? b1 ? 3 , ? 消去 d ,得 ? 3 2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1q ? 6 ,
消去 b1 ,得 q ? 2 , 从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 ,bn ? 3 ? 2n ?1 . …… 10 分

② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) ,且 cl , cm ,

c p , cr 成等差数列,
则 2cm ? c p ? cl , 因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? c p , ① 若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
20

m ?1 m ?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , 3



因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , cr 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm ?1 ? cm ? cm ? 2 , 即 2 ? am ?1 ? bm ?1 ? ? am ? bm ? am ? 2 ? bm ? 2 , 故 2bm ?1 ? bm ? bm ? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A . …… 16 分

(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给 1 分.) 6、

21

7、解:(1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1 ,
22

因为数列 an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? ? ? an , S n ? na1 , 则由 S n cn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn 及 cn ? 2n ? 1 得 n(2n ? 1) ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 当 n ? 2 时, ( n ? 1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 , 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3( n ? N ) . (2)因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? cn S n , 当 n ? 2 时, S n ?1cn ?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an ?1bn ?1 ,两式相减得 S n cn ? S n ?1cn ?1 ? an bn , 即 ( S n ?1 ? an )cn ? S n ?1cn ?1 ? an bn , S n ?1 (cn ? cn ?1 ) ? an cn ? an bn ,即 S n ?1d ? ? ncn ? ? nbn , 又 S n ?1 ? 即
?

?

…………4 分

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ? 3) , 所以当 n ? 3 时, 2 2 3 所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 2
又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 ,

(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 故数列 ?bn ? 是公差为 d 等差数列. …………15 分 2
当 n ? 2 时,由 b2 ? (3)由(2)得当 n ? 2 时, S n ?1 (cn ? cn ?1 ) ? an cn ? an bn ,即 S n ?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn ? k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 S n ?1d ? an ? kd ,即 S n ?1 ? kan , 所以 S n ? S n ?1 ? an ? ( k ? 1) an , 当 n ? 3 时, S n ?1 ? ( k ? 1) an ?1 ,两式相减得 an ? ( k ? 1) an ? ( k ? 1) an ?1 ,

k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ? 2 时, an ? a2 ( k
即 an ?

bn ? cn ? k ? cn ? kd ? c1 ? (n ? 1)k ? k 2 ? k ? (n ? 1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,
另外由已知条件得 ( a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) ,

23

所以 a2 ? 1 ,因而 an ? (

b d b a k ? 1 n?2 (n ? k ? 1)k ) ,令 d n ? n ,则 n ?1 ? n ?1 n ? , k an dn an ?1bn (n ? k )(k ? 1) d n ?1 b ? ? 1, 所以对任意的 n ? 2, n ? N , 数列 { n } 单 dn an
……………16 分
2 2 n

因为 ( n ? k ? 1) k ? ( n ? k )( k ? 1) ? ? n ? 0 , 所以 调递减.

8、解:(1)由题意,得 (1 ? px ? qx )(1 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ? ?) ? 1 , 显然 x, x 的系数为 0,所以 ? 分 (2)由 p ? ?1, q ? ?1 ,考虑 x ( n ? 3) 的系数,则有 an ? pan ?1 ? qan ? 2 ? 0 ,
n 2

?a1 +p ? 0 2 ,从而 a1 ? ? p , a2 ? p ? q .………………………4 a + a p + q ? 0 ? 2 1

?a1 ? 1 ? 得 ? a2 ? 2 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an , ?a ? a ? a ? 0(n ? 3) ? n n ?1 n ? 2
所以数列 ?an ? 单调递增,且 bn ?

an ? 2 ? an 1 1 ? ? , an an ? 2 an an ? 2

所以 S n ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? ), a1 a3 a2 a4 a3 a5 an an ? 2 1 1 1 1 3 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? .…………………………10 分 a1 a2 an +1 an ? 2 2 an +1 an ? 2 2

当 n ? 2 时, S n ?

(3)由(2) an ? pan ?1 ? qan ? 2 ? 0 , 因数列 ?an ? 是等差数列,所以 an ? 2an ?1 ? an ? 2 ? 0 ,所以 (2+p ) an ?1 ? (1 ? q ) an ? 2 对一切 n ? 3 都成 立, 若 an ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p ? q ? 0 矛盾,
2 2

若数列 ?an ? 是等比数列,又据题意 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 是常数列,这与数列 ?an ? 的公差不为 零矛盾, 所以 2 ? p ? 1 ? q ? 0 ,即 p ? ?2, q ? 1 ,由(1)知 a1 ? 2 , a2 ? 3 ,所以 an ? n ? 1 .………16 分 (其他方法:根据题意可以用 p 、 q 表示出 a1 , a2 , a3 , a4 ,由数列 ?an ? 为等差数列,利用

2a2 ? a1 ? a3 , 2a3 ? a2 ? a4 解方程组也可求得.)
解法 2:由(1)可知 a1 ? ? p , a2 ? p ? q ,因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d
2

24

d ? a2 ? a1 ? p 2 ? q ? p , a3 ? 2 p 2 ? 2q ? p , a4 ? 3 p 2 ? 3q ? 2 p . 又 由 ( 2 )

an ? pan ?1 ? qan ? 2 ? 0 ,
所以 a3 ? pa2 ? qa1 ? 0, 得 p ( p ? 1) ? 2q ( p ? 1) ? 0 ,若 p ? 1 ? 0, 即 p ? ?1, 时, a1 ? 1 , a2 ? 1 ,
2

d ? 0 与条件公差不为零相矛盾,因此 p ? ?1, 则 q ?

p ( p ? 1) .由 a4 ? pa3 ? qa2 ? 0 ,可得 2

3 p 2 ? 3q ? 2 p ? p (2 p 2 ? 2q ? p ) ? q ( p 2 ? q ) ? 0 ,整理可得 (2 p ? q ? 3)( p 2 ? q ) ? p 2 ? 2 p ? 0 代入 q ?
2 2

p ( p ? 1) 1 2 , p ( p ? 2)( p ? 1) ? 0 , p ? 0 或 p ? ?2 2 4

若 p ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p ? q ? 0 矛盾, 若 p ? ?2 ,则 q ? 1 ,满足题意, 所以 an ? n ? 1

9、解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.……………………………… 3 分 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组 所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+…+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+…+cn =2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1 2 Tn= +(n+1)×2n, (n+1)2n+1, 2+3d+2q3=21, d=1, 解得 3 8+6d+2q =30, q=2. ……………………………… 7 分

2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n+

所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n )-(n+1)×2n+1, …………………………… 11 分 即 Tn=n·2n+1,n∈N*.
2 10、解:(1)由条件, ?n ? N* , an ?1 ? an an ? 2 ? 4 ,

……………………………… 14 分

2 令 n ? 1 ,得 a2 = a1a3 ? 4 .

…………………………………………………………2 分 ……………………………4 分

又? 2a2 ? a1 ? a3 ,且 a1 ? 1 , 易求得 a2 ? 3, a3 ? 5 .

2 再令 n ? 2 ,得 a3 = a2 a4 ? 4 ,求得 a4 ? 7 . …………………………………………6 分

(2)∵ an2?1 ? an an ? 2 ? 4

(1)

25

∴ an2? 2 ? an ?1an ? 3 ? 4

(2)

由(1)-(2)得, an2?1 ? an2? 2 ? (an an ? 2 ? 4) ? (an ?1an ? 3 ? 4)

? an an ? 2 ? an ?1an ? 3 ……………………………………………8 分
∴ an2?1 ? an ?1an ? 3 ? an2? 2 ? an an ? 2 ∴ an ?1 (an ?1 ? an ? 3 ) ? an ? 2 (an ? an ? 2 )



? a ? an ? 2 ? an ? an ? 2 an ?1 ? an ? 3 ? ,∴数列 ? n ? 为常数数列. an ?1 an ? 2 ? an ?1 ?
an ? an ? 2 a1 ? a3 ? ? 2. an ?1 a2
∴ an ? an ? 2 ? 2an ?1 .

………………………12 分



∴数列 {an } 为等差数列. 又公差 d ? a2 ? a1 ? 2 ,

……………………………………………………………14 分 ∴ an ? 2n ? 1 .……………………………………………16 分

11、(1)因为 an ? an ? 2 ? ? ? 2an ?1,a1 ? a2 ? 1 ,所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ……………………2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,…………………………………………………3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ,故 a1 , a4 , a5 成等差数列.………………………………4 分 (2) 由 an ? an ? 2 ? ? ? 2an ?1 ,得 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an +? ,…………………………5 分 令 bn ? an ?1 ? an ,则 bn ?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项公差为 ? 的等差数列,故 bn ? b1 ? ( n ? 1)? ? ( n ? 1)? ,…6 分 即 an ?1 ? an ? ( n ? 1)? ,所以 an ? 2 ? an ? 2( an ?1 ? an ) ? ? ? (2n ? 1)? , 所以 cn ? 2
an ? 2 ? an

? 2(2 n ?1) ? . ………………………………………………………8 分


S n ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25 ? ? L ? 2(2 n ?1) ?
当 ? ? 0时,S n ? n , 当 ? ? 0 时,S n ? 2 ? 2
?

……………………………………………………………9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .………………10 分 1 ? 22 ?

? ? 0, ? n, ? ? 2 n ? 所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ? ? 2 (1 ? 2 ) , ? ? 0. ? ? 1 ? 22?

26

(3)由(2)知 an ?1 ? an ? ( n ? 1)? ,用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2
……………………12 分

当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 2

假设存在三项 as ?1 ? 1, at ?1 ? 1, a p ?1 ? 1 成等比数列,且 s, t , p 也成等比数列,

t 2 (t ? 1) 2 s ( s ? 1) p ( p ? 1) 则 (at ?1 ? 1) ? (as ?1 ? 1)(a p ?1 ? 1) ,即 , ………14 分 ? 4 4
2

因为 s, t , p 成等比数列,所以 t ? sp ,所以 (t ? 1) ? ( s ? 1)( p ? 1) ,
2 2

化简得 s ? p ? 2t ,联立 t ? sp ,得 s ? t ? p .这与题设矛盾.
2

故不存在三项 as ?1 ? 1, at ?1 ? 1, a p ?1 ? 1 成等比数列,且 s, t , p 也成等比数列.…16 分
2 12、解: (1)? 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,



?

S5 ? S3 ? 48
………… 4 分



? a4 ? a5 ? 8q 2 ? 8q ? 48



?q ? 2



? an ? 8 ? 2

n ?3

?2 ;
n

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m ? k ? 2l ? k ,? 5 ? 2m ? k ?1 ? 2l ? k ?1 ,

?2m ? k ?1 ? 1 ? ? ? l ? k ?1 , ?4 ? ?2

?m ? k ? 1 ?? . ?l ? k ? 3
成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , 等差数列, 所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ? 2 ? ? ? an b1 ? 3 ? 2
1 2 3 n 1 2 3 n ?1

………… 6 分

②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m ?1? k ? 2l ? k ? 5 ,左边为偶数,等式不

…………8 分

则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 , 即 5ak , 2ak ,8ak , 调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成

…………10 分

? 4n ? 6 ,
n ?1

即 2 bn ? 2 bn ?1 ? 2 bn ? 2 ? ? ? 2 b1 ? 3 ? 2
2 3

? 4n ? 6 , (*)
4 n n ?1

? 当 n ? 2 时, 2 bn ?1 ? 2 bn ? 2 ? 2 bn ?3 ? ? ? 2n ?1 b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
则 (**) 式两边同乘以 2, 得 2 bn ?1 ? 2 bn ? 2 ? 2 bn ?3 ? ? ? 2 b1 ? 3 ? 2

? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1( n ? 2) ,
2 又 当 n ? 1 时 , 2b1 ? 3 ? 2 ? 10 ? 2 , 即 b1 ? 1 , 适 合 bn ? 2n ? 1( n ? 2) ,

27

? bn ? 2n ? 1 .………14 分 b b b 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 5 ? 2n ? n ? n ,? n ? n ?1 ? n ? n ?1 ? , an 2 an an ?1 2 2 2n bn bn ?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an ?1 a2 a1
? n ? 3 时,


bn bn ?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an ?1 ? an ? b3 5 b1 1 b2 3 ? ? ? , , a1 2 a2 4 a3 8
……………16 分



b4 7 ? a4 16



?

7 1 ??? . 16 2

13、

28

29

14、解:(1)设 bn ? a2 n ? ? ,

因为 bn ?1

bn 1 ?3

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?



…………………………………2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

? q (常数),

? 1 ?q ?0 ? ?1 ? ? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 ?3 ? ? ?? q ? 1? ? ? 1 ? 0
此时 b1 ? a2 ?

1 ? q? ? ? 3 , ? ?? ? 3 ? ? 2

…………………5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6

30

3 ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列………………………………………6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
所以存在实数 ? ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? 故 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ?3?
由 a2 n ?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,…………………8 分 2 ?3? 2 ?3? 2
n ?1

n

n

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ?3?

? 6n ?

15 ,……10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ?

S2 n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2 n ?1 ? a2 n ?
n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6 ?1 ? 2 ? L ? n ? ? 9n ?3? ? ? ?3 ? 3 ? ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3

n

? n n ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ? ? 1 ? 3 n ? 6 n ? ? ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,……………… ?3? ?3? 2

………………………………………………12 分 显然当 n ? N * 时, ?S 2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

S 2 n ?1 ? S 2 n ? a2 n ?

3 ?1? 5 ? ? ? ? ? 3n 2 ? 6n , 2 ?3? 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S 2 n ?1 ? 0 . 综上,满足 S n ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.…………………………………………… 16 分 15、证明:(1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an ?1 , ∴ bn ?1 ? bn ? ( an ?1 ? 2an ? 2 ) ? ( an ? 2an ?1 ) ? ( an ?1 ? an ) ? 2( an ? 2 ? an ?1 ) ? d ? 2d ? ? d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列.
31

?

?

………………4分

(2)当 n ? 2 时, cn ?1 ? an ? 2an ?1 ? 2 ,

bn ? cn ?1 b ?c ? 1 ,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? n ?1 , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an ?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? ,

?

………………10分

?

?

∵ bn ? an ? 2an ?1 , ∴ 2 bn ? 2 an ? 2
n n n ?1

an ?1 ,∴ 2n ?1 bn ?1 ? 2n ?1 an ?1 ? 2n an ,…, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 ,

∴ 2 bn ? 2
n

n ?1

bn ?1 ? ? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 ,
2 n ?1

设 Tn ? 2b1 ? 2 b2 ? ? 2

bn ?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ? ? 2n bn ?1 ? 2n ?1 bn ,
2 n ?1

两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (2 ? ? ? 2 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2 ∴2
n ?1 n ?1

? 2n )d ? ? 2n ?1 bn ,

? 1)d ? ? 2n ?1 bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 ,

an ?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n ?1 (bn ? d ?) ,

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ………………12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23
∴ an ?1 ?

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23

∴ an ?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an ? 2 ? an ?1 ? ?(bn ?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ? d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ? d ? 的等差数列,

? ?

………………14分

∵ bn ? an ? 2an ?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ? a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ? d ? 的等差数列. ………………16分

32

解法 2

∵ bn ? an ? 2an ?1 , b1 ? a3 ? 0 , ………………12分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ? a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn ?1 ? an ?1 ? 2an ? 2 , bn ? 2 ? an ? 2 ? 2an ?3 , ∴ 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? (2an ?1 ? an ? an ? 2 ) ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? 0 , ∴ 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列.

?

………………14分

?

………………16分

33



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