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含参数的一元二次不等式的解法 - 副本


含参一元二次不等式 的解法
授课教师:

解题回顾

解不等式: ? x ? 5 x ? 6 思考:解一元二次不等式的步骤
2

解:原不等式可变形为:x ? 5x ? 6 ? 0
2

有哪些?
2

方程x ? 5x ? 6 ? 0的两个根为:
x1=2,x2=3 ∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.

解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲” (1)转化为不等式的“标准”形式; (2)计算△,解相应一元二次方程的根; (3)根据二次函数的图象以及不等号的方向, 写出不等式的解集. (需考虑两根的大小)

新课探究:
对于含有参数的不等式,由于参数的取值 范围不同,其结果就不同,因此必须对参数进 行讨论,即要产生一个划分参数的标准。

思考:

(1)含参一元二次不等式的分类需要讨 论,那么如何讨论呢? (2)我们应该从哪几个方面对含参一元 二次不等式的的参数进行讨论?

一、对x 项的系数a的符号讨论,即a ? 0, a ? 0, a ? 0
2
2 ax 例1 解关于 x 不等式: ? ? a ? 2? x ? 1 ? 0

分析:

2 ? ? a ? 2 ? 4 a ? a ?4?0 ? ? 本题二次项系数含有参数, , 2

故只需对二次项系数进行分类讨论。
? 综上所述 ? ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ? ? ? 或x ? ?1? 当a ? 0时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1? ? ? 2 ? 当a ? 0时,不等式的解集为 ? x | x ? ?; 2? ? 2 ? ?a ? 2 ? a 2 ? 4 ? ? ?a ? 2 ? a ? 4 ? ?x? ? 3? 当a ? 0时,解集为 ? x | ? 2 a 2 a ? ? ? ?

变式训练1:
分析:

解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0 ? a ? 0?

因为不等式可变形为a ? x ? 2?? x ? 3? ? 0,所以我们只要讨论二次项系数

?当a ? 0时,解集为? x | x ? 2或x ? 3?; 当a ? 0时,解集为? x | 2 ? x ? 3?

例2、解不等式x ? ax ? 4 ? 0
2

分析:

本题中由于的x 系数大于0, 故只需考虑? 与 根 的情况。 解:
2

? ? a 2 ? 16

?当? ? 0即a ? ? ?4,4? 时,解集为R
? 当?=0即a ? ?4时,解集为 ? x x ? R且x ? ? a? ?; 2?

二、对判别式?的符号讨论,即? ? 0, ? ? 0, ? ? 0; 例2、解不等式x ? ax ? 4 ? 0
2

?a ? a 2 ? 16 当? ? 0即a ? 4或a ? ?4, 此时两根分别为x1 ? , 2 ?a ? a 2 ? 16 x2 ? ,显然x1 ? x2 , 2 ? ?a ? a 2 ? 16 ?a ? a 2 ? 16 ? ? ? ? 不等式的解集为 ? x x ? 或 〈 x ? 2 2 ? ? ? ?

终上所述:……

变式训练2:
解不等式 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? m ? R ?
分析:
由于x 2前的系数 ? m 2 ? 1? 大于0很成立,所以只需考虑 ?与跟的情况
因m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 ? m 2 ? 1? ? 4 ? 3 ? m 2 ?

所以当? ? 0,即m ? ? 3或m ? 3时,解集为R.
1? ? 当? ? 0,即m ? ? 3时,解集为 ? x | x ? ?; 2? ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? ? ? 当? ? 0,即 ? 3 ? m ? 3时,解集为 ? x x ? 或 x ? ?; 2 2 m ?1 m ?1 ? ? ? ?

三、对方程的根x1, x2的大小讨论,即x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2
1 例3、解不等式x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 ( a ? 0) a
2

分析:

1 此不等式可以分解为: x ? a ( x ? ) ? 0故对应的方程必有两解. ? ? a 本题只需讨论两根的大小即可.

1? ? ?当a ? ?1或0 ? a ? 1时,原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? a? ? 当a ? 1或a ? -1时,原不等式的解集为? ? 1 ? 当 ? 1 ? a ? 0或a ? 1时,原不等式的解集为 ? x | ? x ? a ? ? a ?

变式训练3:

解不等式x ? 5ax ? 6a ? 0,a ? 0
2 2

分析:
此不等式? ? ? ?5a ? ? 24a 2 ? a 2 ? 0,且可以分解 为:
2

? x ? 2a ? ( x ? 3a) ? 0故对应的方程必有两解.
所以本题只需讨论两根的大小即可

小结:

1、讨论二次项 系数,确定不等 式类型

2、讨论判别式 的正负,确定根 的情况

3、讨论根的大 小,确定解集

含参一元二次不等式的讨论级别如下框架进行 当a=0时,不等式就成为一次不 ? 0 ? 结论 等式或更低次数的不等式,解集 ? 结论 很显然的,但是这种情况容易丢 a ?0? ?0
? x1 ? x2 ? 结论 ?0 ? ? 失,所以在解题时 ? x1 ? x2 ? 结论
a ?0?

优先考虑

结论
? 0 ? 结论 ? 0 ? 结论 ? x1 ? x2 ? 结论 ?0? ? ? x1 ? x2 ? 结论

a ?0?

练习:
( 1)解关于x的不等式:x ? ( a ? 2) x ? a ? 0.
2

(2)解关于x的不等式:ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

(3)解关于x的不等式:ax ? ax ? 1 ? 0.
2


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