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信号与系统实验指导书


信号与系统实验指导书

赵 磊

编写

昆明理工大学理学院电子信息实验室 2012 年 12 月

信号与系统实验指导书

目录

实验一 实验二 实验三 实验四 实验五 实验六 实验七 实验八

连续时间信号的时域表示 ...................................................... 3 连续时间信号的时域分析 ...................................................... 6 连续时间信号的卷积 .............................................................. 9 连续时间系统的时域分析 .................................................. 12 连续时间信号的频域分析 .................................................. 15 连续时间系统的频域分析 .................................................. 20 设计性实验 .......................................................................... 23 连续时间系统的复频域分析 .............................................. 26

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信号与系统实验指导书

实验一
一、实验目的:

连续时间信号的时域表示

1、掌握连续时间信号的 MATLAB 表示方法; 2、掌握用 MATLAB 描绘二维图像的方法。 二、实验原理: 信号是消息的载体,是消息的一种表现形式。信号可以是多种多样的,通常表现为 随时间变化的某些物理量,一般用 x(t)或 x(n)来表示。信号按照自变量的取值是否连续 可分为连续时间信号和离散时间信号。 连续时间信号是指自变量的取值范围是连续的,且对于一切自变量的取值,除了有 若干不连续点以外,信号都有确定的值与之对应。严格来说,MATLAB 并不能处理连 续信号, 而是用等时间间隔点的样值来近似地表示连续信号。 当取样时间间隔足够小时, 这些离散的样值就能较好地近似连续信号。在 MATLAB 中通常用向量来表示连续时间 信号,向量需要与时间变量相对应。 对于连续时间信号 x(t),可用 x、t 两个行向量来表示。其中向量 t 是形如 t = t1:p:t2 的 MATLAB 命令定义的时间范围向量,t1 为信号起始时间,t2 为终止时间,p 为时间间 隔。向量 x 为连续信号 x(t)在向量 t 所定义的时间点上的样值。如产生连续信号
x(t ) ? Sa (t ) ? sin( t ) 可用如下命令实现: t

t =-10:1.5:10; x=sin(t)./ t;

在命令窗口 (Command Window)中可得到程序执行的结果即 x、 的具体值。注意: t 在 MATLAB 程序调试过程中,有时程序执行不出结果或虽然出结果但存在一些问题, MATLAB 都会在 Command 窗口中给出错误说明, 掌握利用 Command 窗口中的说明检 查程序的方法。 用上述向量对连续信号进行表示后,就可以用 plot 命令绘制信号的时域波形。命令 如下:
plot(t,x) title(‘x(t)=Sa(t)’) xlabel(‘t’) axis([-10,10,-0.2,1.2])

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信号与系统实验指导书

绘制的信号波形如图一所示,当把 t 改为:t =-10:0.5:10;则可得到图二。因为 plot 命令将点与点之间用直线连接,当点与点之间距离很小时,绘出的图形就成了光滑的曲 线。但图二在 t=0 时,曲线是间断的。

图一

图二

应用 plot 函数时应确保自变量 t 和函数值 x 的个数相等;函数 axis([x1,x2,y1,y2])用 来对横纵坐标进行限定,以完善图形,其中 x1 和 x2 分别为横坐标的起始和截止位置, y1 和 y2 分别为纵坐标的起始和截止位置; xlabel(‘’)、ylabel(‘’)和 title(‘’)用于为该图添 加横、纵坐标说明和标题;有时在一个程序中需要将几个图形绘制在一个窗口,利用 subplot(m,n,k)函数可以将当前窗口分成 m 行 n 列个子窗口, 并在第 k 个子窗口绘图, 窗 口的排列顺序为从左至右,从上至下分别为 1,2,?m*n。 以上为几个常用绘图函数的基本用法,有关各函数的其他参数可参考 MATLAB 的 帮助文件。 单位冲激信号?(t) 和单位阶跃信号 u(t)是信号处理中两个最基本的信号,它们的定 义如下:

? ? ? (t )dt ? 1 ???? ? ?? (t ) ? 0,    t ? 0 ?

1.1

?1, u(t ) ? ? ?0,

t ?0 t?0

1.2

下面给出产生单位冲激信号和单位阶跃信号的两个函数,供参考。 产生单位冲激信号的程序为:
function x=delta(t1,t2,t0) dt=0.01; t=t1:dt:t2; n=length(t); x=zeros(1,n); %信号的时间间隔 %信号时间样本点向量 %时间样本点向量长度 %各样本点函数值赋值为零

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x(1,(t0-t1)/dt+1)=1/dt; stairs(t,x);

%在时间 t=-t0 处,样本点赋值为 1/dt

产生单位阶跃信号的程序为:
function x=ut(t) x=(t>0); %t>0 时 x 为 1,否则为 0

在调用该函数表示信号时,需要先定义向量 t,如 t=-1:0.01:3。 对于其他常用信号,可以直接调用 MATLAB 中的内部函数进行定义,例如:正弦 信号: ), sin( 余弦信号: cos( ), 指数信号: exp( ), 符号函数: sign( ); square( ), 周期方波: 周期锯齿波:sawtooth( )。复指数信号是时间 t 的复函数,需要用模和相角或实部和虚 部来表示复指数信号随时间变化的规律,对应的函数分别为 abs( ),angle( ),real( ), imag( )。 各函数的参数及定义方法可参考 MATLAB 的帮助文件。 三、实验内容: 1、参考示例程序,绘制信号 e ?2t cos3?t[u(t ) ? u(t ? 3)] 的图形,t 取-1 到 4,步长 值设为 0.01。 2、产生一个指数为 [?0.1 ? (? / 4) * i] * t 的复指数函数,绘出函数的实部、虚部、幅度 和相位的波形,t 取 0 到 20,步长值设为 0.1。 四、思考: 1、为什么图二中 t=0 处曲线是间断的,如何使其成为连续的曲线?

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实验二
一、实验目的:

连续时间信号的时域分析

1、掌握用 MATLAB 对连续信号进行基本运算和时域变换的方法; 2、掌握用 MATLAB 表示周期信号的方法。 二、实验原理: (一)连续时间信号的基本运算和时域变换 1、加法:x1(t)+x2(t) 信号的加法运算为对应位置处量值的相加,在 MATLAB 中可用运算符“+”实现, 但要求参与运算的两信号向量的长度必须相等。 如果长度不等或者长度相等但采样位置 不同,则不能直接应用该运算符,此时需要先给定参数使序列具有相同的位置向量和长 度。下面给出 sigadd 函数实现任意两信号的加法运算。
function [y,t] = sigadd(x1,t1,x2,t2) t = min(min(t1),min(t2)):max(max(t1),max(t2)); y1 = zeros(1,length(t)); y2 = y1; y1(find((t>=min(t1))&(t<=max(t1))==1))=x1; y2(find((t>=min(t2))&(t<=max(t2))==1))=x2; y = y1+y2; %结果的时间向量 %初始化 %在公共区间定义 y1 %在公共区间定义 y2

其中 x1 和 x2 为参与加法运算的两信号,t1 和 t2 分别为 x1 和 x2 的时间向量。 2、乘法:x1(t)·2(t) x 序列的乘法运算为对应位置处量值的相乘,在 MATLAB 中由数组运算符“.*”实 现,也受到“+”运算符同样的限制。 3、时移:y(t) = x(t - t0) 其中,t0 为位移量,当 t0>0 时,y(t)为 x(t)右移 t0 时刻之后的结果,当 t0<0 时,y(t) 为 x(t)左移|t0|时刻之后的结果。 在 MATLAB 中,时移运算与数学上习惯表达方法完全相同。例:
clear; t = -5:0.01:5; x = exp(-0.5*t).*ut(t); x1 = exp(-0.5*(t+2)).*ut(t+2); subplot(211)

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plot(t,x) title ('原信号 x(t)') subplot (212) plot (t,x1) title (' x(t)左移 2') xlabel (' t (sec)')

若信号的自变量的范围和 t 的范围相同,则不能用上述方法,如将 x = exp(-0.5*t) 进行左移得到 x1 = exp(-0.5*(t+2))后,还需要对 x1 的时间变量重新定义。由于函数的平 移可看作是函数时间向量的平移,而对应的样值不变,当函数左移时,所有时间序号都 减小|t0|个单位,反之,则增加 t0 个单位。因此可用如下方式实现: t1=t+t0; x1=x;
plot(t1,x1) 注:函数左移时,t0<0,即 t-|t0|;函数右移时,t0>0。

4、反折:y(t) = x(-t) 在 MATLAB 中有多种方法可以实现信号的反折运算。 (1)修改绘图函数 plot(t,x)中的时间变量 t,即用-t 代替原来的 t。 (2)直接利用原信号与其反折信号的数学关系式来实现。这种方法最符合信号反 折运算的实际意义。 (3)使用 MATLAB 内部函数 fliplr( )来实现信号的反褶运算。其用法为: y=

fliplr(x),其中 x 为原信号,而 y 则为 x 的时域反折。需要说明的是,函数 fliplr()对信号 作时域反折,仅仅将信号中各个元素的次序作了一个反转,这种反转处理是独立于时间 变量 t 的。因此,还需要对时间变量 t 进行反折,即 t= -fliplr(x)。 5、展缩:y(t) = x(at) 其中 a 为任意常数。根据 a 的不同取值,尺度变换对信号 x(t)具有不同的影响。当 a > 1 时,y(t) = x(at),y(t)是将 x(t)在时间轴上压缩得到;当 0 < a < 1 时,y(t) = x(at), y(t)是将 x(t)在时间轴上扩展得到。在 MATLAB 中,按照数学上的常规方法即能实现。 (二)周期信号 周期信号是一类非常重要的信号。给定一个信号 x(t),如果满足 x(t) = x(t+kT),则 该信号叫做周期信号。其中,k 为任意整数,T 为常数,通常称为信号的基本周期或最 小周期。周期信号可以看作是一个有限长非周期信号经过周期延拓之后形成的。

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周期信号可用如下表达式定义: x(t ) ?

k ? ??

? x (t ? kT )
1

?

2.1

三、实验内容: 1、已知 x(t ) ? e 长值设为 0.01。 2、根据符号函数和单位阶跃函数的关系,利用符号函数 sign 实现单位阶跃函数。 要求图形窗口的横坐标范围为-5~5,纵坐标范围为-1.5~1.5。 3、任意定义一个有限长时间信号 x1(t),根据式 2.1 产生一个周期信号,绘制 x1(t) 和 x(t)的图形。 四、思考: 1、代数运算符号*和.*的区别是?
?0.5t

? u(t ) , y(t ) ? x(1.5t ? 3) ,绘制 x(t)和 y(t)的图形,t 取-3 到 5,步

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实验三
一、实验目的:

连续时间信号的卷积

1、掌握两个连续时间信号卷积的计算方法和编程技术。 2、进一步熟悉用 MATLAB 描绘二维图像的方法。 二、实验原理: 卷积积分在信号与线性系统分析中具有非常重要的意义, 是信号与系统分析的基本 方法之一。 (一)卷积的定义 连续时间信号 f1(t)和 f2(t)的卷积积分(简称为卷积)f(t)定义为:

f (t ) ? f1 (t ) * f 2 (t ) ? ? f1 (? ) f 2 (t ? ? )d?
??

?

(二)线性时不变(LTI)系统的单位冲激响应 给定一个连续时间 LTI 系统,在系统的初始条件为零时,用单位冲激信号?(t)作用 于系统,此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应(Unit impulse response) ,一般 用 h(t)来表示。需要强调的是,系统的单位冲激响应是在激励信号为? (t)时的零状态响 应(Zero-state response) 。 系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念,如果已知一个系统的单位冲激响应, 那么,该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。 (三)卷积的意义 对于 LTI 系统,根据系统的线性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数可 得,任意 LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t)来确定,系统的输入信号 x(t)和输 出信号 y(t)之间的关系可以用卷积运算来描述,即:

y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d?
??

?

由于系统的单位冲激响应是零状态响应, 故按照上式求得的系统响应也是零状态响 应。它是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。 (四)函数说明 利用 MATLAB 的内部函数 conv( )可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。其 语法为:y = conv(x,h)。其中 x 和 h 分别是两个参与卷积运算的信号,y 为卷积结果。

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为了正确地运用这个函数计算卷积,这里对 conv(x,h)做一个详细说明。conv(x,h) 函数实际上是完成两个多项式的乘法运算。例如,两个多项式 p1 和 p2 分别为:

p1 ? s 3 ? 2s 2 ? 3s ? 4



p2 ? 4s 3 ? 3s 2 ? 2s ? 1

这两个多项式在 MATLAB 中是用它们的系数构成一个行向量来表示的,用 x 来表 示多项式 p1,h 表示多项式 p2,则 x 和 h 分别为 x = [1 2 3 4] h = [4 3 2 1] 在 MATLAB 命令窗口依次键入 >> x = [1 2 3 4]; >> h = [4 3 2 1]; >> y=conv(x,h) 在屏幕上得到显示结果: y= 4 11 20 30 20 11 4

这表明,多项式 p1 和 p2 的乘积为:

p3 ? 4s 6 ? 11s 5 ? 20s 4 ? 30s 3 ? 20s 2 ? 11s ? 4
用 MATLAB 处理连续时间信号时,时间变量 t 的变化步长应该很小,假定用符号 dt 表示时间变化步长,那么,用函数 conv( )作两个信号的卷积积分时,应该在这个函数 之前乘以时间步长方能得到正确的结果。也就是说,正确的语句形式应为: y = dt*conv(x,h)。 对于定义在不同时间段的两个时限信号 x(t), t1 ? t ? t 2 ,和 h(t), t3 ? t ? t 4 。 如果 用 y(t)来表示它们的卷积结果,则 y(t)的持续时间范围应为 t1 ? t 3 ? t ? t 2 ? t 4 ,这个结论 很重要。在处理卷积结果的时间范围时,要利用这个结论,将结果的函数值与时间轴的 位置和长度关系保持一致。 另,用函数 conv( )计算得到的卷积结果的长度为参与卷积的两函数长度之和减 1。 可参考以下程序得到卷积结果的时间变量:
%计算卷积结果的非零样值的起点位置, %k1,k2 分别为参与卷积的两函数的时间向量 k0=k1(1)+k2(1); %计算卷积结果的非零样值的宽度 k3=length(f); %确定卷积结果的非零样值的时间向量

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k=k0:p:k0+(k3-1)*p;

有时候,参与卷积运算的两个函数,可能有一个或者两个都很长,甚至是无限长, MATLAB 处理这样的函数时,总是把它看作是一个有限长序列,具体长度由编程者确 定。实际上,在信号与系统分析中所遇到的无限函数,通常都是满足绝对可积条件的信 号,因此,对信号采取这种截断处理尽管存在误差,但是通过选择合理的信号长度,能 够将误差减小到可以接受的程度。 三、实验内容: 1、已知两连续时间信号如下图所示,绘制信号 f1(t)、f2(t)及卷积结果 f(t)的波形; 设时间变化步长 dt 分别取为 0.5、0.1、0.01,当 dt 取多少时,程序的计算结果就是连续 时间卷积的较好近似?

f1(t)

f2(t)

1 0 2 t -1

1 1 t

2、计算信号 f1 (t ) ? e ?at u(t ) (a=1)和 f 2 (t ) ? sin tu(t ) 的卷积 f(t), f1(t)、f2(t)的时间范 围取为 0~10,步长值取为 0.1。绘制三个信号的波形。

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实验四
一、实验目的:

连续时间系统的时域分析

1、熟悉连续时间系统的线性和时不变性质。 2、掌握线性时不变系统的单位冲激响应的概念。 3、掌握线性时不变系统的微分方程描述方法及其 MATLAB 编程的求解方法。 二、实验原理: (一)线性时不变(LTI)系统 在分析连续时间系统时,有关系统的两个重要的性质就是线性(Linearity)和时不 变性(Time-invariance) 。所谓线性是指系统同时满足齐次性和可加性。这可以用下面的 方法来描述。 假设系统在输入信号 x1(t)时的响应为 y1(t),在输入信号 x2(t)时的响应信号为 y2(t), 给定两个常数 a 和 b,如果当输入信号为 x(t)时系统的响应信号为 y(t),且满足 x(t) = x1(t) + x2(t) (a) y(t) = y1(t) + y2(t) (b) 则该系统具有可加性(Additivity) 。如果满足 x(t) = ax1(t) (a) y(t) = ay1(t) (b) 则该系统具有齐次性(Homogeneity) 。如果系统同时具有可加性和齐次性则系统是 线性。 假设系统在输入信号 x(t)时的响应为 y(t),对一个给定时间常数 t0,如果当输入信 号为 x(t-t0)时,系统的响应为 y(t-t0)的话,则该系统具有时不变性。 同时具有线性和时不变性的系统,叫做线性时不变系统,简称 LTI 系统。 (二)LTI 系统的微分方程描述 线性常系数微分方程是描述 LTI 系统的一种时域模型。一个连续时间 LTI 系统,它 的输入信号 x(t)和输出信号 y(t)的关系可以用下面的微分方程来表达。

? ak
k ?0

N

d k y(t ) M d k x(t ) (1) ? ? bk dt k dt k k ?0

在 MATLAB 中,我们可用向量 a=[aN,aN-1,??a1,a0]和 b=[bN,bN-1,??b1,

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b0] 来表示该系统,其中 a 和 b 分别为(1)式中方程左右两端的系数向量。 注意,向量 a 和 b 的元素一定要以微分方程中时间求导的降幂次序来排列, 且 缺项要用 0 来补齐。 例如, 对微分方程 y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x’’(t)+x(t), 则表示该系统的对应向量应为 a=[1 3 2],b=[1 0 1]。 (1)式描述了 LTI 系统输入信号和输出信号的一种隐性关系,式中,max (N, M) 定义为系统的阶。为了求得系统响应信号的显式表达式,必须求解微分方程。 MATLAB 的内部函数 impulse( ),step( ),initial( ),lsim( ) 可以用来计算并绘制连 续时间 LTI 系统的单位冲激响应,单位阶跃响应,零输入响应和任意信号作用于系统的 零状态响应。 1、impulse( )函数 该函数有如下几种调用格式: (1)impulse(b,a):该调用格式以默认方式绘出向量 a 和 b 定义的连续系统的单 位冲激响应的时域波形。 (2)impulse(b,a,t):绘出系统在 0~t 时间范围内冲激响应的时域波形。 (3)impulse(b,a,t1:p:t2):绘出在t1~t2 时间范围内,以 p 为步长的单位冲激响应波 形。 (4)y=impulse(b,a,t):不绘出波形,而是求出系统冲激响应的数值解。y 的点数默 认值为 101 点,由此可得时间步长为 p = t/(101-1)。 (4)y=impulse(b,a,t1:p:t2): 计算在 t1~t2 时间范围内,以 p 为步长的单位冲激响 应的数值。 2、step( )函数 该函数和impulse( )函数的调用方法一样。 3、lsim( )函数 带返回值的形式如 y = lsim(b, a, x, t)用来计算由 a 和 b 表示的 LTI 系统在输入信号 x 作用下的零状态响应。其中 t 为指定的时间变化范围,x 为输入信号,它们的长度应该 是相同的。如带返回参数 y,则将计算的响应信号保存在 y 中,若不带返回参数 y,则 直接在屏幕上绘制输入信号 x 和响应信号的波形。 三、实验内容:

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已知描述某连续系统的微分方程为:
d 2 y (t ) dy(t ) 4 ? ? 6 y (t ) ? x(t ) dt dt 2

1、求出该系统在 0~30 秒范围内,以时间间隔 0.1 秒取样的单位冲激响应和单 位阶跃响应的数值解,并绘制时域波形; 2、计算并绘制该系统在输入信号为 x(t ) ? (e?2t ? e?3t )u(t ) 时的零状态响应。

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实验五
一、实验目的:

连续时间信号的频域分析

1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数展开的物理意义和分析方法。 2、观察由矩形窗函数截断产生的 Gibbs 现象,了解其特点、产生的原因及消除的 方法。 3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。 4、掌握用 MATLAB 进行傅里叶正反变换的方法。 二、实验原理: (一)傅里叶级数(FS)展开 周期为 T1 连续时间周期信号,若满足狄利克莱条件,就可以展开成 FS。其中三角 形式的傅里叶级数为:
x(t ) ?
? a0 ? a 2? 2? ? ?[an cos n?1t ? bn sin n?1t ] ? 0 ? ?[an cos nt ?bn sin nt ] 2 n?1 2 n?1 T1 T1

(1)

其中 ?1 ?

2? ,称为信号的基本频率(Fundamental frequency) a0,ak,和bk 分别 , T1

是信号 x(t ) 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。其中:

ak ?

2 T1

?

t 0 ?T1

t0

x(t ) cos k?1tdt

bk ?

2 T1

?

t 0 ?T1

t0

x(t ) sin k?1tdt

(2)

连续时间周期信号 x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为
Ak ? ak2 ? bk2

? k ? arct an

bk ak

(3)

其中 k 与频率的关系为 ? ? k?1 ,因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率 变化的规律。 三角形式的傅里叶级数表明,一个周期信号 x(t) 如果满足狄里克莱条件,那么,它 就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成, 其中每一个不同频率的正弦信号称 为正弦谐波分量,其幅度为 Ak。反过来理解三角傅里叶级数:用无穷多个正弦谐波分量 可以合成一个任意的非正弦周期信号。 (二)吉布斯(Gibbs)现象 当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时,对 k 的求和过程不可能进行到无

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穷,只能到某一有限值 K,即用一个矩形窗函数 WK(k)与 FS 的求和式相乘,相当于在 频域进行截断,得到一个频域有限长序列 X(k)?WK(k),因此实际 FS 展开式为
x(t ) ? ? a0 ? ? ? [a k cos k?1t ? bk sin k?1t ]WK (k ) 2 k ?1 a0 K ? ? [a k c o k?1t ? bk s i n ?1t ] s k 2 k ?1

(4)

K 越大,所选项数越多,有限项级数合成的结果越逼近原信号 x(t)。截断引起信号 失真,这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时, 在跃变点的附近存在一个幅度大约为 9%的过冲,且所选谐波次数越多,过冲点越向不 连续点靠近。这种现象称为 Gibbs 现象,或称为震铃(ringing)效应。 图 5.1 给出了一个方波信号展开成有限长 FS 后,在跃变点的附近产生的 Gibbs 现 象,而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。

图 5.1 方波展开成有限长 FS 后,在跃变点的附近产生 Gibbs 现象

为了消除这种频域截断形成的 Gibbs 现象,通常不采用矩形窗作截断处理,而是采 用汉宁(Hanning)窗、海明(Hamming)窗或三角窗等进行加权计算。 1、以 0 点为中心的 Hanning 窗(也称为升余弦窗)定义为
2? k ?1 ) ? (1 ? cos w(k ) ? ? 2 K ?0 ? k ? K /2 ot herwise

(5)

2、以 0 点为中心的 Hamming 窗定义为
2? k ? ?0.54 ? 0.46 cos w(k ) ? ? K ?0 ? k ? K /2 ot herwise

(6)

3、以 0 点为中心的三角窗(Bartlett 窗)定义为
? 2k ?1 ? w(k ) ? ? K ?0 ? k ? K /2 ot herwise

(7)

图 5.2 中列出了矩形窗、三角窗、Hanning 窗和 Hamming 窗的图像,可以比较它们

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的差异和类同之处。
w(k) 1 w(k) 1

-K/2

0 (a) 矩形窗

K/2

k

-K/2

0 (b) 三角窗

K/2

k

w(k) 1

w(k) 1

-K/2

0 (c) Hanning 窗

K/2

k

-K/2

0 (d) Hamming 窗

K/2

k

图 5.2 几种加权窗函数的比较

图 5.3 用 Hanning 窗加权后方波 FS 的跃变点附近的 Gibbs 现象的消除

例如图 5.1 中的方波信号展开式用 Hanning 窗加权截断后,图像如图 5.3 所示,显 然 Gibbs 现象已经基本消除。 采用频域 Hanning 窗加权或 Hamming 窗加权的方法进行截断,与矩形截断相比, 可以减弱或消除 Gibbs 现象,但不会减小由于频域截断产生的误差,反而因加权导致所 截取区域内频谱发生变化,增大了误差。 (三)傅里叶正反变换 MATLAB 的 symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及反变换的函数 fourier()及 ifourier()两者的调用格式如下。 Fourier 变换的调用格式 F=fourier(f):它是符号函数 f 的 fourier 变换,默认返回是关于 w 的函数。

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F=fourier(f,v):它的返回函数 F 是关于符号对象 v 的函数,而不是默认的 w。 Fourier 反变换的调用格式 f=ifourier(F):它是符号函数 F 的 fourier 反变换,默认的独立变量为 w,默认返回 是关于 x 的函数。 f=ifourier(F,t):它的返回函数 f 是 t 的函数,而不是默认的 x。 注意:在调用函数 fourier()及 ifourier()之前,要用 syms 命令对所用到的变量(如 t,u,v,w)进行说明,即将这些变量定义成符号变量。 例 1:求 f (t ) ? e ?2|t| 的傅立叶变换 syms t Fw=fourier(exp(-2*abs(t))) 例 2:求 F (? ) ? syms t w ft=ifourier(1/(1+w^2),t) 三、实验内容: 1、如图 5.4 所示的奇谐周期方波信号,周期为 T1=1,幅度为 A=1,将该方波信号 展开成三角形式 Fourier 级数并分别采用频域矩形窗和 Hanning 窗加权,绘制两种窗函 数加权后的方波合成图像。时间范围取为-2~2,步长值取为 0.01。 提示:由于该信号是奇谐对称周期函数,展开式中将只有正弦函数的奇次谐波,即
x(t ) ?

1 的逆变换 f(t) 1? ?2

k ?1,3,5,?

?

?

bk ? sin(k?1t ) ?WK (k )

其中系数 bk 由(2)式得
bk ? 4 T1 /2 4 ?0 x(t )sin(k?1t )dt ? ? k T1
x(t) 1 -2 -1 0 1 2 t

k ? 1,3,5,?

图 5.4 奇谐方波

采用 Hanning 窗加权,则展开式变为

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x(t ) ? ?

4 k ?0 (2k ? 1)?

K

2? (2k ? 1) ? ? ? ?0.5 ? 0.5cos ? ? sin[(2k ? 1)?1t ] K ? ?

2、将图 5.5 中的锯齿波展开为三角形式 Fourier 级数,按(2)式求出 Fourier 级数的 系数,并在频域分别采用矩形窗、Hanning 窗和三角窗加权,观察其 Gibbs 效应及其消 除情况。时间范围取为-2~2,步长值取为 0.01。
x(t) 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t

图 5.5 锯齿波

3、选做:编程计算连续时间周期信号的三角形式傅里叶级数展开的系数。

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实验六
一、实验目的:

连续时间系统的频域分析

1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义。 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率 响应特性的滤波器对信号的滤波作用。 3、掌握用 MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 二、实验原理: (一)连续时间 LTI 系统的频率响应 所谓频率响应特性,是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包 括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
x(t )
X ( j? )

LTI系统

y (t )
Y ( j? )

h(t ) H ( j? )

连续时间 LTI 系统的时域及频 域分析图

上图中 x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号,h(t)是系统的单位冲激响 应,它们三者之间的关系为 y(t ) ? x(t ) * h(t ) ,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:
Y ( j?) ? X ( j?) H ( j?)

3.1 3.2

或者:

H ( j? ) ?

Y ( j? ) X ( j? )

H ( j? ) 为系统的频域数学模型,即系统的频率响应特性,它实际上就是系统的单位

冲激响应 h(t)的傅里叶变换。即

H ( j? ) ? ? h(t )e ? j?t dt
??

?

3.3

由于 H ( j? ) 实际上是系统单位冲激响应 h(t)的傅里叶变换,如果 h(t)是收敛的,或 者说是绝对可积的,那么 H ( j? ) 一定存在,而且 H ( j? ) 通常是复数,因此,也可以表示 成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时,更多的是把它表示成极坐标形式:

H ( j?) ? H ( j?) e j? (? )

3.4

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上式中, H ( j?) 称为幅度频率响应,反映信号经过系统之后,信号各频率分量的 幅度发生变化的情况, ? (? ) 称为相位特性,反映信号经过系统后,信号各频率分量在 相位上发生变换的情况。 H ( j?) 和 ? (? ) 都是频率?的函数。 当信号 x(t ) ? e j?0t 作用于频率响应特性为 H ( j? ) 的系统时,其响应信号为

y(t ) ? H ( j?0 )e j?0t ? H ( j?0 ) e j? (?0 ) e j?0t ? H ( j?0 ) e j (?0t ?? (?0 ))
若输入信号为正弦信号,即 x(t ) ? sin(?0t ) ,则响应为

3.5

y(t ) ? H ( j?0 ) sin(?0t ) ?| H ( j?0 ) | sin(?0t ? ? (?0 ))

3.6

可见,系统对输入信号某一频率分量的影响表现为两个方面,一是信号的幅度要被

H ( j?) 加权,二是信号的相位要被 ? (? ) 移相。
由于 H ( j?) 和 ? (? ) 都是频率?的函数,所以,系统对不同频率的频率分量造成的 幅度和相位上的影响是不同的。 (二)MATLAB 中计算系统频率响应的函数 已知系统的频率响应函数为 H ( j? ) ,则: Mag = abs(H):求系统的幅度频率响应; Phi= angle(H):求系统的相位频率响应; real(H):求 H 的实部; imag(H):求 H 的虚部; 若连续时间 LTI 系统以微分方程给出,微分方程两端的系数向量分别为 a 和 b,则 相应的计算系统频率响应的函数如下: [H,w] = freqs(b,a):返回的频率响应在各频率点的样点值(复数)存放在 H 中,系 统默认的样点数为 200 点; 计算频率响应的函数 freqs()的另一种形式是: H = freqs(b,a, ?): 在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。 在使用该函数前, 要先定义频率变量?。 三、实验内容: 1、已知系统的频率响应函数为: H ( jw) ?
1 ( jw) ? 2( jw) 2 ? 2( jw) ? 1
3

(1)用 MATLAB 画出该系统的幅频特性 H ( j?) 和相频特性 ? (? ) ;(2)根据绘制的幅

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频特性曲线,分析系统具有什么滤波特性(低通、高通、带通、全通还是带阻)? 2、已知描述某连续系统的微分方程为:
d 2 y (t ) dy(t ) dx(t ) ? ? 25y (t ) ? 2 2 dt dt dt

(1)计算并绘制该系统的幅频特性 H ( j?) 和相频特性 ? (? ) 、频率响应的实部和频率 响应的虚部曲线图;(2)根据绘制的幅频特性曲线,分析系统具有什么滤波特性(低通、 高通、带通、全通还是带阻)?

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实验七
一、SIMULINK 简介:

设计性实验

SIMULINK 是 MATLAB 软件的扩展, 它是实现动态系统建模和仿真的一个软件包, 它与 MATLAB 语言的主要区别在于,其与用户交互接口是基于 Windows 的模型化图形 输入,这使得用户可以把更多的精力投入到系统模型的构建,而非语言的编程上。 所谓模型化图形输入是指 SIMULINK 提供了一些按功能分类的基本的系统模块, 用户只需要知道这些模块的输入输出及模块的功能,而不必考察模块内部是如何实现 的,通过对这些基本模块的调用,再将它们连接起来就可以构成所需要的系统模型 (以.mdl 文件进行存取) ,进而进行仿真与分析。 二、SIMULINK 的模块库介绍: SIMILINK 模块库按功能进行分类,主要包括以下子库:Continuous(连续模块) 、 Discrete(离散模块) 、Logic and Bit Operation(逻辑和位运算模块) 、Math Operation(数 学运算模块) 、Sinks(接收器模块) 、Sources(输入源模块) 各模块的作用及用法可查阅 MATLAB 帮助文件。 三、SIMULINK 简单模型的建立及模型特点: 1、简单模型的建立 (1)建立模型窗口 (2)将功能模块由模块库窗口复制(或拖)到模型窗口 (3)对模块进行连接,从而构成需要的系统模型 2、模型的特点 (1)在 SIMULINK 里提供了许多如 Scope 的接收器模块,这使得用 SIMULNK 进 行仿真具有像做实验一般的图形化显示效果。 (2)SIMULINK 的模型具有层次性,通过底层子系统可以构建上层母系统。 (3)SIMULINK 提供了对子系统进行封装的功能,用户可以自定义子系统的图标 和设置参数对话框。 四、SIMULINK 功能模块的处理:

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功能模块的基本操作,包括模块的移动、复制、删除、转向、改变大小、模块命名、 颜色设定、参数设定、属性设定、模块输入输出信号等。 五、SIMULINK 线的处理 SIMULINK 模型的构建是通过用线将各种功能模块进行连接而构成的。 用鼠标可以 在功能模块的输入与输出端之间直接连线。所画的线可以改变粗细、设定标签,也可以 把线折弯、分支。 六、SIMULINK 自定义功能模块 自定义功能模块有两种方法,一种方法是采用 Subsystem 功能模块,利用其编辑区 设计组合新的功能模块;另一种方法是将现有的多个功能模块组合起来,形成新的功能 模块。对于较大的 SIMULINK 模型,通过自定义功能模块可以简化图形,减少功能模 块的个数,有利于模型的分层构建。 方法一:将 Subsystem 功能模块复制到打开的模型窗口中,双击 Subsystem 功能模 块, 进入自定义功能模块窗口, 从而可以利用已有的基本功能模块设计出新的功能模块。 方法二:在模型窗口中建立所定义功能模块的子模块,用鼠标将这些需要组合的功 能模块框住,然后选择 Edit 菜单下的 Create Subsystem 即可。 自定义功能模块的封装:前面提到的两种方法都只是创建一个功能模块而已,如果 要命名该自定义功能模块、对功能模块进行说明、选定模块外观、设定输入数据窗口, 则需要对其进行封装处理。首先选中 Subsystem 功能模块,再打开 Edit 菜单中的 Mask Subsystem 进入 mask 的编辑窗口,通过 3 个标签页 Icon、Initialization、Documentation 分别进行功能模块外观的设定输入数据窗口的设定、功能模块的文字说明的设计。 七、SIMULINK 仿真的运行 构建好一个系统的模型之后,接下来的事情就是运行模型,得出仿真结果。运行一 个仿真的完整过程分成三个步骤:设置仿真参数,启动仿真和仿真结果分析。 一、设置仿真参数和选择解法器 选择 Simulation 菜单下的 Parameters 命令,在弹出的仿真参数对话框中主要通过三 个页面来管理仿真的参数:Solver 页、Workspace I/O 页和 Diagnostics 页。Solver 页允许 用户设置仿真的开始和结束时间,选择解法器,说明解法器参数及选择一些输出选项。 Workspace I/O 页主要用来设置 SIMULINK 与 MATLAB 工作空间交换数值的有关选项。

第24页

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Diagnostics 页,允许用户选择 Simulink 在仿真中显示的警告信息的等级。 二、启动仿真 设置仿真参数和选择解法器之后, 就可以启动仿真而运行。 选择 Simulink 菜单下的 start 选项来启动仿真,如果模型中有些参数没有定义,则会出现错误信息提示框。如果 一切设置无误,则开始仿真运行,结束时系统会发出一鸣叫声。 八、实验内容及要求: 熟悉 Simulink 的使用方法之后, 结合所学理论知识及已做过的实验内容, 设计一实 验项目,实验题目、实验目的、实验原理及内容自拟。 实验项目参考: 1、连续时间周期信号的分解与合成 2、连续时间系统的滤波功能的实现 3、信号的幅度调制与解调 4、连续时间信号的抽样(抽样定理的验证)

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实验八
一、实验目的:

连续时间系统的复频域分析

1、掌握用 MATLAB 计算拉普拉斯正反变换的方法。 2、熟悉拉普拉斯变换的物理意义及基本性质。 3、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间 LTI 系统的时域响应的方法。 4、掌握系统函数的概念,掌握系统函数的零、极点分布(零、极点图)与系统的 稳定性、时域特性等之间的相互关系。 5、掌握用 MATLAB 语言对系统进行变换域分析的编程方法。 二、实验原理: (一)用 MATLAB 进行 Laplace 正、反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算 Laplace 正、反变换的函数 Laplace 和 ilaplace,其调用格式为
F ? laplace( f ) f ? ilaplace( F )

上述两式右端的 f 和 F 分别为时域表示式和 s 域表示式的符号表示,可以应用函数 sym 实现,其调用格式为 S=sym(A) 式中,A 为待分析表示式的字符串,S 为符号数字或变量。 例 1:求 f (t ) ? e ?t| sin(at)u(t ) 的 Laplace 变换 f=sym('exp(-t)*sin(a*t)'); F=laplace(f) 或 syms a t F=laplace(exp(-t)*sin(a*t)) 例 2:求 F ( s) ?

s2 的 Laplace 反变换 s2 ?1

F=sym('s^2/(s^2+1)'); ft=ilaplace(F) 或

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syms s ft= ilaplace(s^2/(s^2+1)) (二)用 MATLAB 进行部分分式展开法计算拉普拉斯反变换 计算拉普拉斯反变换通常有长除法和部分分式展开法。MATLAB 的内部函数 residue( )可以复杂有理分式 F(s) 的部分分式展开。其调用格式为 [r, p, k] = residue (b, a) 其中,b, a 分别为 F(s)的分子和分母多项式的系数向量,r 为部分分式的系数,p 为 极点,k 为 F(s)中整式部分的系数,若 F(s)为有理真分式,则 k 为零。 例 1 用部分分式展开法求 F(s)的反变换
F ( s) ? 1 s ? 3s ? 2
2

由于题目没有指定收敛域,所以必须考虑所有可能的情况。为此,可以先计算出该 信号的拉普拉斯变换表达式的极点。 format rat; b = 1; a = [1 3 2]; [r, p, k] = residue (b, a) 程序中 format rat 是将结果数据以分数形式显示 根据 r、p、k 之值,可以写出 X(s)的部分分式和的表达式为:
X ( s) ? ? 1 1 ? s ? 2 s ?1

然后根据不同的收敛域,可写出 X(s)的时域表达式 x(t)。 第一种情况为 Re{s} < -2,则 x(t)为左边信号,其数学表达式为

x(t ) ? e ?2t u(?t ) ? e ?t u(?t )
第二种情况为-2 < Re{s} < -1,则 x(t)为双边信号,其数学表达式为
x(t ) ? ?e ?2t u(t ) ? e ?t u(?t )

第三种情况为 Re{s} > -1,则 x(t)为因果信号,其数学表达式为
x(t ) ? ?e ?2t u(t ) ? e ?t u(t )

在这个例题中,函数 residue( )仅仅完成了部分分式展开的任务,至于反变换的数学 表达式还得结合收敛域的不同才能写出。 如果 X(s)的分子的阶数不小于分母的阶数,则 k 将不是一个空矩阵,例如,当

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s3 时, X ( s) ? 2 s ? 3s ? 2

b = [1 0 0 0]; a = [1 3 2]; [r,p,k]=residue(b,a) 则: r= 8 -1 p= -2 -1 k= 1 -3 这里的 k = [1 3],实际上是将 X(s)做了一个长除法后,得到的商的多项式。所以, 根据上面的 r、p、k 的值,可写出 X(s)的部分分式和的表达式为:
X ( s) ? s ? 3 ? 8 1 ? s ? 2 s ?1

有关函数 residue( )的详细用法,可查阅 MATLAB 帮助文件。 (三)连续时间 LTI 系统的复频域描述 除了时域描述系统的数学模型微分方程以外, 描述系统的另一种数学模型就是建立 在拉普拉斯变换基础上的“系统函数(System Function) ”——H(s):

H ( s) ?

Y ( s) ? 系 统 响 应 信 号 的 拉换L? y(t )? 氏变 X ( s) ? 系 统 激 励 信 号 的 拉换L?x(t )? 氏变

(1)

系统函数 H(s)的实质就是系统单位冲激响应 h(t)的拉普拉斯变换。因此,系统函数
?

也可以定义为: H ( s) ?

??

? h(t )e

? st

dt 。因此求系统函数的方法,除了按照定义式的方法之

外,更常用的是对描述系统的线性常系数微分方程经过拉氏变换之后得到系统函数 H(s)。 假设描述一个连续时间 LTI 系统的线性常系数微分方程为:

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?a
k ?0

N

k

d k y(t ) M d k x(t ) ? ? bk dt k dt k k ?0

(2)

对(2)式两边做拉普拉斯变换,则有

? ak s k Y (s) ? ? bk s k X (s)
k ?0 k ?0

N

M



H ( s) ?

Y ( s) ? X (s)

?b s ?a s
k ?0 k k ?0 N k

M

k

(3)
k

(3)式说明, 对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间 LTI 系统, 它的系 统函数是一个关于复变量 s 的有理多项式的分式,其分子和分母的多项式系数与系统微 分方程左右两端的系数是对应的。由此,可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达 式,或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。 系统函数 H(s)大多数情况下是复变函数,因此,H(s)可以有多种表示形式: (1)直角坐标形式: H (s) ? Re(s) ? j Im(s)

(2)零极点形式: H ( s) ?

k ? (s ? z j )
j ?1

M

? (s ? p )
i i ?1

N

(3)部分分式和形式: H ( s) ? ?

Ak (假设 N>M,且无重极点) k ?0 s ? s k

N

根据所要分析的问题的不同,可以采用不同形式的系统函数 H(s)表达式。在 MATLAB 中,是用系统函数的分子、分母多项式的系数向量来表示 H(s)。由于系统函 数的分母、分子的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的,因此,此实验 中各函数用到的向量 a、b 和前面实验中微分方程左右两端的系数向量含义相同。 (四)应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容 1、求系统的频率响应; H = freqs(b,a,w):计算由系数向量 b,a 描述的系统的频率响应特性。返回值 H 为频 率向量 w 规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值 H,则执行此函数后,将直 接绘制出系统的对数频率响应曲线(包括幅频特性曲线和相频特性曲线) 。 2、求系统的单位冲激响应;

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H = impulse(b,a):求系统的单位冲激响应,若不带返回值,则直接绘制响应曲线, 带返回值则将冲激响应数值存于向量 H 中。注意:MATLAB 总是把由分子和分母多项 式表示的任何系统都当作是因果系统。所以,利用 impulse ()函数求得的单位冲激响应 总是因果信号。 3、绘制系统函数的零极点图,判断系统的稳定性 系统函数 H(s)通常是一个有理分式,其分子和分母均为多项式。计算 H(s)的零极点 可以应用 MATLAB 中的 roots 函数,求出分子和分母多项式的根,也可以应用 tf2zp 函 数,其调用格式为:[z,p,k] = tf2zp(b,a) ,其中 b 和 a 分别为系统函数 H(s)的分子和分母 多项式的系数向量,返回值 z 为零点行向量,p 为极点行向量,k 为系统传递函数的零 极点形式的增益。求出根后用 plot 命令以 real(p)(实部)为横坐标,imag(p)(虚部)为 纵坐标画图。 在 MATLAB 中还有一种更简便的画系统函数的零极点分布图的方法,即用 pzmap 函数画图。其调用格式为:pzmap(sys),sys 表示 LTI 系统的模型,要借助 tf 函数获得, 其调用格式为:sys=tf(b,a),其中 b 和 a 的含义同前。 系统的稳定性主要取决于系统函数的收敛域是否包含整个虚轴, 因此要根据系统的 其他性质结合零极点图得出系统函数的收敛域,进而判断系统的稳定性,而系统的因果 性则取决于系统极点位置的分布。 三、实验内容: 已知某连续因果系统的微分方程为:
d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy(t ) 1 d 2 x(t ) ?2 ?2 ? y (t ) ? ? ? x(t ) dt a dt 2 dt 3 dt 2
a=1

1、写出该系统的系统函数表达式。 2、绘制该系统的幅度响应特性、相位响应特性曲线图,并判断该系统具有何种滤 波特性。 3、绘制该系统的零极点图,判断该系统的稳定性。 4、写出该系统的单位冲激响应 h(t)。 5、改变方程中的 a 值,分别取 0.6、0.8、4、16 等不同的值,观察 a 取不同的值时 系统的幅度频率响应特性曲线的变化(带宽、过渡带宽和阻带衰减等) ,说明零点位置 对系统滤波特性的影响。

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6、已知该系统的输入信号为 x(t ) ? sin(t ) ? sin(8t ) ,要求输出信号 y(t ) ? K sin(t ) ,K 为一个不为零的常数,根据 5 中不同 a 值得到的幅度频率响应曲线,选择一个合适的 a 值使得本系统能够满足该滤波要求。

第31页


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