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北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案


北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2015.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 设 i 为虚数单位,则复数 z ? 1 ? i 的模 z = A. 1 B. 2 C.

2

D. 2 2

2 2. 已知全集 U ? R ,若集合 A ? x x ? x ? 0 ,则 ? UA?

?

?

A.

? x x ? 0 ,或 x ? 1?

B.

? x x ? 0 ,或 x ? 1?

C.

?x 0 ? x ? 1?

D. x x ? 1

?

?

3.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

正视图

侧视图

俯视图

4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 i 的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 “ a = b ”是

5. 若 a , b 是 两 个 非 零 的 平 面 向 量 , 则 “ (a + b) ? (a ? b) = 0 ”的

A

A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图,塔 AB 底部为点 B ,若 C , D 两点相距为 100m 并且与点 B 在同一水 平线上,现从 C , D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45 和 30 ,则塔 AB 的
o o

D

C

B

高约为(精确到 0.1m, 3 ? 1.73 , 2 ? 1.41 )

-1-

A. 36.5

B. 115.6

C. 120.5

D. 136.5

7.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? 值范围是 A.

? x( x ? 1) x ? 1, ? 若直线 y ? a 与函数 f ( x ) 的图象恰有两个公共点, 则实数 a 的取 x 2 ? 2 x ? 1, ? ?
C. ? 0, 2? D. ?1, 2? D1 A1 N. B1 C1

? 0, 2 ?

B. ? 0, 2 ?

8. 如图,在正方体中 ABCD ? A1B1C1D1 , M 为 BC 的中点,点 N 在四边形 CDD1C1 及 其内部运动.若 MN ? AC 1 1 ,则 N 点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 A D

C M B

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的离心率是 4

;渐近线方程是



10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂 80 户居民月收入,列出频率分布表 如下: 按家庭人均月 收入分组(百 元) 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

?10,16 ?
0.1

?16, 22 ?
0.2

? 22, 28 ?
0.15

? 28, 34 ?
a

?34, 40 ?
0.1

?40, 46?
0.1

则这 80 户居民中, 家庭人均月收入在 ?2800,3400? 元之间的有

户(用数字作答);假设家庭人均月收

入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭 的概率是 .

11. 已知圆 C 的圆心位于第二象限且在直线 y ? 2 x ? 1 上, 若圆 C 与两个坐标轴都相切, 则圆 C 的标准方程是 _____. 12. 某单位有职工共 60 人,为了开展社团活动,对全体职工进行问卷调查,其中喜欢体育运动的共 28 人,喜欢文艺 活动的共 26 人,还有 12 人对体育运动和文艺活动都不喜欢, 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.

? y ? 0, ? 13. 在平面直角坐标系中, 若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, 表示一个三角形区域, 则实数 k 的取值范围是______. ? y ? k ( x ? 1) ?
14. 设 f ( x) ? a1 cos2 x ? (a2 ?1)sin x cos x ? 3sin 2 x ( a12 ? a22 ? 0 ) ,若无论 x 为何值,函数 f ( x ) 的图象总是一 条直线,则 a1 ? a2 的值是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

-2-

15. (本小题满分 13 分) 某幼儿园有教师 30 人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下: 本科 35 岁以下 35 ~ 50 岁 (含 35 岁 和 50 岁) 50 岁以上 5 17 研究生 2 3 合计 7 20

2

1

3

(Ⅰ)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率; (Ⅱ) 从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人, 求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率.

16. (本小题满分 13 分) 已知平面向量 a = (sin x, cos x) , b = (sin x, ? cos x) , c = (? cos x, ? sin x) , x ? R , 函数 f ( x) ? a ? (b ? c) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

(Ⅱ)若 f ?

2 ?? ? ,求 sin ? 的值. ?? ?2? 2

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD .点 E 是线段 BD 的中点,点 F 是线段 PD 上的动点. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证: EF //平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CE ? BF ; (Ⅲ)若 AB ? 2 , PD ? 3 ,当三棱锥 P ? BCF 的体积等于

4 时,试判断点 F 在边 PD 上的位置,并说明理由. 3
P

F

D E A B

C

-3-

18.(本小题满分 13 分) 已知公比为 q 的等比数列 ?an ? (n ? N? ) 中, a2 ? 2 ,前三项的和为 7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 0 ? q ? 1 ,设数列 {bn } 满足 bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n , n ? N ,求使 0 ? bn ? 1 的 n 的 最小值.
?

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x , a ? R . (I)若 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,求 a 的值: (Ⅱ)当 a ? e 时,求证: f ( x) ? e .

20. (本小题满分 14 分) 已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? 2 相交于 P, Q 两点(点 P 在 x 轴上方) ,且 a b 2

PQ ? 2 .点 A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点,且 ?APQ ? ?BPQ .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求四边形 APBQ 面积的取值范围.

-4-

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案(文史类)
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B

2015.1

8 A

二、填空题: (满分 30 分) 题 9 号 10 11 12 13 14

答 案

5 ; 2
1 y?? x 2

1 1 1 28;0.3 (x + ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 3 9

22

k?0

4

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设: “从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历”为事件 A , 由题可知幼儿园总共有教师 30 人,其中“具有研究生学历”的共 6 人. 则 P ( A) =

6 1 = . 30 5 1 . ………4 分 5

答:从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历的概率为

(Ⅱ)设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为 A1 , A2 ,35~50 岁(含 35 岁和 50 岁)具有研究生学历的教师 为 B1 , B2 , B3 , 50 岁以上具有研究生学历的教师为 C ,从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人, 所有可能结果有 15 个,它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B1 , C ) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , C ) , ( B3 , C ) , 记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生”为事件 D , 则 D 中的结果共有 12 个,它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 ,C ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C ) , ( B1 , C ) , ( B2 , C ) , ( B3 , C ) ,故所求概率为 P ( D ) = B2 )

12 4 = . 15 5

答:从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率为

4 . 5
16.(本小题满分 13 分)

………………13 分

-5-

(Ⅰ)因为 a = (sin x, cos x) , b = (sin x, ? cos x) , c = (? cos x, ? sin x) , 所以 (b ? c) ? ?sin x ? cos x,sin x ? cos x ? ,

f ( x) ? a ? (b ? c) = sin x(sin x ? cos x) ? cos x(sin x ? cos x) .
? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ?? ?? ?? ? x ? k? ? 则当 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? 时,即 k ? ? 时, 2 4 2 8 8
2 2 则 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? cos x = sin 2 x ? cos 2 x ?

函数 f ( x ) 为减函数, k ? Z . 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? k ? ?

? ?

?? ?? ? , k? ? ? , k ? Z . 8 8?
………………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

? 2 sin(2 x ? ) ,又 4

2 ?? ? , f ? ?? ?2? 2

则 2 sin(? ? ) ?

? 4

? 1 2 , sin(? ? ) ? . 4 2 2
2

因为 sin (? ? ) ? cos (? ? ) ? 1 ,所以 cos(? ? ) ? ?
2

? 4

? 4

? 4

3 . 2

π π π π ? ?? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin . 4 4 4 4 4 4? ?
所以当 cos(? ? ) ?

? 4

3 1 2 3 2 6? 2 ? ? ? 时, sin ? ? ? ; 2 2 2 2 2 4

当 cos(? ? ) ? ?

? 4

3 1 2 3 2 2? 6 ? (? ) ? ? 时, sin ? ? ? . 2 2 2 2 2 4
………………13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 在 ?PDB 中,因为点 E 是 BD 中点,点 F 是 PD 中点, 所以 EF // PB . 又因为 EF ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC , 所以 EF //平面 PBC .…………4 分 (Ⅱ)证明: 因为 PD ? 平面 ABCD , 且 CE ? 平面 ABCD , A F P

D E B

C

-6-

所以 PD ? CE . 又因为底面 ABCD 是正方形,且点 E 是 BD 的中点, 所以 CE ? BD . 因为 BD

PD ? D ,所以 CE ? 平面 PBD ,

而 BF ? 平面 PBD ,所以 CE ? BF . ????9 分 (Ⅲ)点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点. 说明如下: 由(Ⅱ)可知, CE ? 平面 PBF . 又因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD . 设 PF ? x . 由 AB ? 2 得 BD ? 2 2 , CE ? 2 , 所以 VP ? BCF ? VC ? BPF ? 由已知

1 1 1 2 ? ? PF ? BD ? CE ? ? 2 2 ? 2 x ? x . 3 2 6 3

2 4 x ? , 所以 x ? 2 . 3 3

因为 PD ? 3 ,所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点.????14 分

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由已知得, ?

?a2 ? 2 1 ,解得 q ? 2 , a1 ? 1 或 q ? , a1 ? 4 . 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 7
1 2
n ?3

则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 或 an ? ( ) (Ⅱ)因为 0 ? q ? 1 ,所以 an ? ( )

, n ? N ……………5 分

?

1 2

n ?3

, n?N .

?

1 ? bn ? a1 ? a2 ? ... ? a n ? ( ) ?2? 1 2
由 0 ? bn ? 1 ,即 0 ? ( )

? 0 ?. n .? . (

1 n ( n2? 5 ) ? ?( ) ,n?N . 2
3 )

1 2

n ( n ?5) 2

? 1 ,即

n(n ? 5) ? 0 ,即 2
…………………13 分

即 n ? 5 .则使 0 ? bn ? 1 的最小的 n 的值为 6 .

19. (本小题满分 13 分) (I)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 因为 f ?( x ) ? e ?
x

a , x

又 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(1) ? e ? a ? 0 ,解得 a ? e . 经检验, x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,

-7-

所以 a 的值为 e . (Ⅱ)证明: 方法 1: 当 a ? e 时, f ( x) ? e x ? eln x . 所以 f ?( x) ? e x ?

………5 分

e xe x ? e . ? x x

若 0 ? x ? 1 ,则 1<e x ? e ,所以 xe x ? e ,所以 xe x ? e<0 . 所以函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减. 若 x ? 1 ,则 e x >e ,所以 xe x >e ,所以 xe x ? e>0 . 所以函数 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. 所以当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? e . ( x ? 0 时, e x ? eln x ??? ; x ??? 时, e x ? eln x ??? .) 所以 f ( x) ? e . 方法 2: 当 a ? e 时, f ( x) ? e x ? eln x , 所以 f ?( x) ? e x ? ………13 分

e xe x ? e . ? x x

设 g ( x) ? xe x ? e ,则 g ?( x) ? e x ( x ? 1) ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增. 又 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增. (接下来表述同解法 1 相应内容) 所以 f ( x) ? e . ………13 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知得 e ?

b 1 x2 y2 3 ,则 ? ,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(b ? 0) a 2 4b b 2

由题意可知点 P(2,1) 在椭圆上, 所以

4 1 ? 2 ? 1 .解得 b2 ? 2 . 2 4b b

故椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 2

………4 分

-8-

(Ⅱ)由题意可知,直线 PA ,直线 PB 的斜率都存在且不等于 0. 因为 ?APQ ? ?BPQ ,所以 kPA ? ?kPB . 设直线 PA 的斜率为 k ,则直线 PA : y ? 1 ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) .

? x2 ? 4 y 2 ? 8 由? 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (1 ? 2k ) x ? 16k 2 ?16k ? 4 ? 0 ……(1). ? y ? kx ? (1 ? 2k ),
依题意,方程(1)有两个不相等的实数根,即根的判别式 ? ? 0 成立.
2 2 2 2 即 ? ? 64k (1 ? 2k ) ? 4(1 ? 4k ) 16k ? 16k ? 4 ? 0 ,

?

?

化简得 16(2k ? 1)2 ? 0 ,解得 k ? ?

1 . 2

因为 2 是方程(1)的一个解,所以 2 ? xA ?

16k 2 ? 16k ? 4 . 1 ? 4k 2

所以 xA ?

8k 2 ? 8k ? 2 . 1 ? 4k 2
1 ,此时直线 PA 与椭圆相切. 2

当方程(1)根的判别式 ? ? 0 时, k ? ?

由题意,可知直线 PB 的方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 2) . 同理,易得 xB ?

8(?k )2 ? 8(?k ) ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 . ? 1 ? 4(?k )2 1 ? 4k 2

由于点 A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点, ?APQ ? ?BPQ , 且能存在四边形 APBQ ,则直线 PA 的斜率 k 需满足 k ? 设四边形 APBQ 面积为 S ,则

1 . 2

S ? S?APQ ? S ?BPQ ?

1 1 PQ ? 2 ? x A ? PQ ? xB ? 2 2 2

?

1 8k 2 ? 8k ? 2 8k 2 ? 8k ? 2 PQ ? xB ? xA ? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
16k 1 ? 4k 2

?
由于 k ?

1 ,故 2

S?

16 k 16 ? . 2 1 1 ? 4k ?4 k k

-9-

当k ?

1 1 1 1 时, ? 4 k ? 4 ,即 0 ? ? ,即 0 ? S ? 4 . 1 2 k ?4 k 4 k

(此处另解:设 t ? k ,讨论函数 f (t ) ? ? 4t 在 t ? ?

1 t

?1 ? , ?? ? 时的取值范围. ?2 ?

f ?(t ) ? 4 ?
则当 t ?

1 1 4t 2 ? 1 ? 2 ,则当 t ? 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增. 2 2 t t

1 时, f (t ) ? (4, ??) ,即 S ? ? 0, 4 ? .) 2
………14 分

所以四边形 APBQ 面积 S 的取值范围是 ? 0, 4 ? .

- 10 -


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