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2012高考文科数学数列 (答案详解)


2012 高考数学(文科)真题—数列与不等式专题
一、选择题
1.(2012 安徽卷)公比为 2 的等比数列{ an }的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 a5 ? ( )

A.1

B .2

C .4

D .8

2.(2012 北京卷)已知{ an }为等比数列.下面结论中正确的是( ) A. a1 ? a3 ? 2a2
2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2

C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2 3.(2012 福建卷)数列{ an }的通项公式 an ? n cos ( ) A.1006

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012 等于 2

B.2012

C.503

D.0

4.(2012 江西卷)观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2 的不同 整数解(x,y)的个数为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 ….则|x|+|y|=20 的不 同整数解(x,y)的个数为( ) A.76 B.80 C.86 D.92

5.(2012 辽宁卷)在等差数列{ an }中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? ( ) (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24

6.(2012 全国大纲卷)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn = ( ) A. 2
n?1

B. ?

?3? ? ?2?

n?1

C. ?

?2? ? ?3?

n?1

D.
3

1 2 n?1

7.(2012 四川卷)设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( )
A.0 B.7 C.14 D.21

8.(2012 新课标)数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 ?an ? 的前 60 项和为( ) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

9.(2012 重庆卷)不等式

x ?1 ? 0 的解集是为( ) x?2
(C) (?2,1) (D) (??, ?2) ? (1, ??)

(A) (1, ??) (B) (??, ?2)

二、填空题 1.(2012 北京卷)已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ?

1 , S2 ? a3 ,则 2

a2 ?

; Sn =

.
2

2.(2012 福建卷)已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范 围是_________。 3.(2012 广东卷)等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 = _____ 2

4.(2012 湖北卷)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示 数. 他们研究过如图所示的三角形数:

··· 1 3 6 第 17 题图 10

将三角形数 1,3,6,10, ? 记为数列 ?an ? ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大 的顺序组成一个新数列 ?bn ? . 可以推测: (Ⅰ) b2012 是数列 ?an ? 中的第________项; (Ⅱ) b2k ?1 =________.(用 k 表示) 5.(2012 湖南卷)不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2



6.(2012 湖南卷)对于 n ? N ,将 n 表示为

?

n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ???? ? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,
当 i ? k 时, ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时, ai 为 0 或 1.定义 bn 如下:在 n 的上述表示 中,当 a0 , a1 , a2 , ???, ak 中等于 1 的个数为奇数时, bn ? 1;否则 bn ? 0 . (1) b2 ? b4 ? b6 ? b8 ? ;

(2)记 cm 为数列 ?bn ? 中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数, 则 cm 的最大值是 .

7.(2012 江苏卷)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 ?0,??? ,若关于 x 的不 等式 f ( x) ? c 的解集为 ? m, m ? 6? ,则实数 c 的值为 .

x2 ? 9 ? 0 的解集是___________。 8.(2012 江西卷)不等式 x?2
9.(2012 江西卷)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。若 a1 ? 1 ,且对任意的

n ? N ,都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 =_________________。
10.(2012 辽宁卷)已知等比数列 ?an ? 为递增数列.若 a1 ? 0 ,且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列

?an ? 的公比 q = _____________________.
11.(2012 陕西卷)观察下列不等式

1?

1 3 ? 22 2 1 1 5 ? ? , 22 32 3 1 1 1 7 ? ? ? , 22 32 42 4

1?

1?

……[来源:Z.xx.k.Com] 照此规律,第五个不等式为____________________. ... 12.(2012 陕西卷)(不等式选做题)若存在实数 x 使 x ? a ? x ?1 ? 3 成立,则实数 a 的 取值范是 .

13.(2012 上海卷)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项. 记为 V1 ,V2 , ???,Vn , ??? ,则 lim(V1 ? V2 ? ??? ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积分别 2

.

14.(2012 天津卷)集合 A ? x ? R x ? 2 ? 5 中最小整 数位

?

?

.

15.(2012 新课标)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 3S2 ? 0 ,则公比 q =_______ 16.(2012 重庆卷)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 = ______

三、解答题
1.(2012 安徽卷)设函数 f ( x ) ?

?xn ? .
(Ⅰ)求数列 ?xn ? ;

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 2

(Ⅱ)设 ?xn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 sin Sn 。 2.(2012 福建卷)在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8 , ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 55 。 (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这 两项的值相等的概率。 3.(2012 广东卷)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足

Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * .
(1)求 a1 的值;(2)求数列 ?an ? 的通项公式。 4.(2012 湖北卷)已知等差数列 ?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和. 5.(2012 湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第 一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投 入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1 , a2 ,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m ? 3) 年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表式). 6.(2012 江苏卷)已知各项均为正数的两个数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足: an?1 ?

? ?

an ? bn an 2 ? bn 2



n? N? ,

?? b ? 2 ? bn ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? , n ? N ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?
(2)设 bn ?1 ?

b 2 ? n , n ? N ? ,且 ?an ? 是等比数列,求 a1 和 b1 的值。 an

7.(2012 江西卷)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c ,k 为常数),且

a2 ? 4, a6 ? 8a3
(1)求 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 。 8.(2012 辽宁卷)选修 4 ? 5:不等式选 已知 f ( x) ? ax ? 1 (a ? R) ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?2 ? x ? 1 (Ⅰ)求 a 的值 (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 f ( ) ? k 恒成立,求 k 的取值范围。

?

?

x 2

9.(2012 全国大纲卷)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

n?2 an . 3

10.(2012 山东卷)已知等差数列 ?an ? 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N ,将数列 ?an ? 中不大于 7
? 2m

的项的个数记为 bm .求数列 ?bm ? 的前 m 项和

Sn
11.(2012 陕西卷)已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ? ?

1 . 2

(Ⅰ)若 a3 ?

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N? , ak , ak ?2 , ak ?1 成等差数列

12.(2012 上海卷)对于项数为 m 的有穷数列数集 ?an ? ,记

bk ? max ?a1, a2 ,?, ak ? (k ? 1, 2, ???, m) ,即 bk
为 a1 , a2 , ???, ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? ;(4 分) (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, (k ? 1, 2, ???, m) . 求证: bk ? ak (k ? 1, 2, ???, m) ;(6 分) (3)设 m ? 100 ,常数 a ? ?
n ( n ?1) ?1 ? ,1? .若 an ? an2 ? ? ?1? 2 n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数 ?2 ?

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ???? ? (b100 ? a100 ) . 13.(2012 四川卷)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一 切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0, ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 ?lg

? ?

1? ? 的前 n 项和最大? an ?

14.(2012 天津卷)已知 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , ?bn ? 是等比数列,

a1 ? b1 ? 2 , a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ;证明: Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N ? , n ? 2) 15.(2012 新课标)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围. 16.(2012 浙江卷)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n2 ? n, n ? N ? ,数列 ?bn ? 满 足 an ? 4log2 bn ? 3, n ? N . (1)求 an , bn ;
?

(2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn .

?an ? 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)记 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的
17.(2012 重庆卷)已知 值。

2012 高考数学(文科)真题—数列与不等式丏题(答案) 一、 选择题
1.A 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 2 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 2.B 【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时, C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a1 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾。因此根据均值 定理可知 B 选项正确。 3.A 【解析】 a4 n ?1 ? (4n ? 1) ? cos

(4n ? 1)? ? ? (4n ? 1) cos ? 0 2 2 (4n ? 2)? ? (4n ? 2) ? cos ? ? ?(4n ? 2) 2

a4 n ? 2 ? (4n ? 2) ? cos a4 n ?3 ? (4n ? 3) ? cos

(4n ? 3)? 3? ? (4n ? 3) ? cos ?0 2 2

a4 n ? 4 ? (4n ? 4) ? cos

(4n ? 4)? ? (4n ? 4) ? cos 2? ? 4n ? 4 2 所以 a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? 2 。
即 S 2012 ?

2012 ? 2 ? 1006 。 4

4.B 【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同 整数解的个数可以构成一个首项为 4, 公差为 4 的等差数列,则所求为第 20 项,可计算得结果. 5.B 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ? a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16
6.B

,故选 B

【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an ②

1 1 S1 ? 2 2

①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为 2 2 2

1 ? ( n ? 1) ? n?2 公比的等比数列,故数列通项公式为 a ? ? 1 ? 3 ? n ? ? ? ( n ? 2) ?2 ? 2 ?

1 ? 3? [1 ? ? ? ? 2 ? 2? 故当 n ? 2 时, S n ? 1 ? 3 1? 2
当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( )

n ?1

]

?3? ?? ? ?2?

n ?1

3 2

1?1

,故选答案 B

7.D 【解析】依题意,函数 f ( x) ? ? x ? 3? ? ? x ? 3? ? 2 的图像可视为由函数
3

g ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ? x3 ? x 的图像按向量 a ? ?3,2? 平移所得到的,函数 g ( x) ? x3 ? x 是
递增的奇函数。 由已知等式得, g (a1 ? 3) ? g (a2 ? 3) ???? ? g (a7 ? 3) ? 0 ,若 a4 ? 3 ? 0 ,则有

? a1 ? 3? ? ? a7 ? 3? ? ? a2 ? 3? ? ? a6 ? 3? ? ? a3 ? 3? ? ? a5 ? 3? ? 2 ? a4 ? 3? ? 0 ,
g (a4 ? 3) ? 0 ,又 g ( x) 是递增的奇函数。
g (a1 ? 3) ? g ? ? ? a7 ? 3? ? ? ? g (a7 ? 3), g (a1 ? 3) ? g (a7 ? 3) ? 0 ,同理 ? ?

g (a2 ? 3) ? g (a6 ? 3) ? 0,g (a3 ? 3) ? g (a5 ? 3) ? 0 , g (a1 ? 3) ? g (a2 ? 3) ???? ? g (a7 ? 3) ? 0 这与 g (a1 ? 3) ? g (a2 ? 3) ???? ? g (a7 ? 3) ? 0 相 矛盾,因此 a4 ? 3 ? 0 也不可能,故 a4 ? 3 ? 0 ,因此
a1 ? a2 ? ??? ? a7 ?
8.D 【解析】有题设知

7 ? a1 ? a7 ? ? 7a4 ? 21 2

a2 ? a1 ? 1 ①

a3 ? a2 ? 3 ② a4 ? a3 ? 5 ③ a5 ? a4 ? 7 , a6 ? a5 ? 9 ,

a7 ? a6 ? 11 , a8 ? a7 ? 13 , a9 ? a8 ? 15 , a10 ? a9 ? 17 , a11 ? a10 ? 19 , a12 ? a11 ? 21 ,
…… ∴②-①得 a1 ? a3 ? 2 ,③+②得 a4 ? a2 ? 8 ,同理可得 a5 ? a7 ? 2 , a6 ? a8 ? 24 ,

a9 ? a11 ? 2 , a10 ? a12 ? 40 ,…,

∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,…,是各项均为 2 的常数列, a4 ? a2 , a6 ? a8 ,

a10 ? a12 ,…是首项为 8,公差为 16 的等差数列,
∴ ?an ? 的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 9.C 【解析】

1 ?16 ?15 ?14 ? 1830 . 2

x ?1 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 1 x?2

二、 填空题
1.1,

1 n(n ? 1) 4

【解析】? S2 ? a3 ,所以

a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ?
2. (0,8)

1 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? n(n ? 1) 。 2 4

【解析】本题考查的知识点为一元二次函数的图像,开口朝上,无根即可。 令?

?a ?1 ? 0 2 2 ? ? ? b0 ? 4a0c0 ? (?a) ? 4 ?1? 2a ? 0 ?



所以 a ? ? 0,8? 。 3.

1 4 1 1 1 2 2 4 ? a3 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 2 2 4

【解析】 a2 a4 ?

4.(Ⅰ)5030;(Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 2
n(n ? 1) ,写出其若 2

【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,…,的一个通项公式为 an ?

干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,110,故 b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 . 从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数), 2

b2 k ?1 ? a5 k ?1 ?

(5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) ? , 2 2

故 b2012 ? b2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 5. x 2 ? x ? 3

?

?

【解析】由 x2-5x+6≤0,得 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为

? x 2 ? x ? 3? .

6.(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 一次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2 ? b4 ? b6 ? b8 ? 3 ;(2)由(1)知 c2 的最大值为 2.
7.9 【解析】由值域为 ?0,??? ,当 x ? ax ? b ? 0 时有 ? ? a ? 4b ? 0 ,即 b ?
2 2

a2 , 4

a2 ? a? ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? ??x? ? 。 4 ? 2?
2 2

2

∴ f ( x) ? ? x ?

? ?

a a a a? ? ? c 解得 ? c ? x ? 2 ? c , ? c ? 2 ? x ? c ? 2 。 2?
a a ? (? c ? )? ? 2 c ? 6 , 2 2

2

∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 ? m, m ? 6? ,∴ c ? 解得 c ? 9 . 8. (?3, 2) ? (3, ??)

【解析】不等式可化为 ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 3) ? 0 采用穿针引线法解不等式即可. 9.11 【解析】由已知可得 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ? an q2 ? an q ? 2an ? 0 公比 q ? ?2 ,则 a1 ? 1 可得 S5 ? 10. q ? 2 【解析】

1 ? 1 ? ? ?2 ? 3

?

5

? ? 11



? 2(an ? an? 2 ) ? 5an?1 ? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q, 2(1 ? q 2 ) ? 5q,
q ? 2或q ?
1 2

因为数列为递增数列,且 a1 ? 0 ,所以 q ? 1 ,? q ? 2 11. 1 ?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? 22 32 42 52 62 6

【解析】观察不等式的左边发现,第 n 个不等式的左边= 1 ?

1 1 , ? ??? ? 2 2 2 n ? 1? ?

右边=

2(n ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 11 ,所以第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . n ?1 2 3 4 5 6 6

12. ?2 ? a ? 4 【解析】 x ? a ? x ?1 ? 3 表示在数轴上,a 到 1 的距离小于等于 3,即 a ? 1 ? 3 , 则?2 ? a ? 4. 13.

8 7 1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成 2

【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项,

了一个以 1 为首项,

1 为公比的等比数列,因此, lim(V1 ? V2 ? ??? ? Vn ) ? n ?? 8

1 1? 1 8

?

8 . 7

14.-3 【解析】不等式 x ? 2 ? 5 ,即 ? 5 ? x ? 2 ? 5 , ? 3 ? x ? 7 ,所以集合

A ? {x ? 3 ? x ? 7} ,所以最小的整数为 ? 3 。
15. q ? ?2 【解析】当 q ? 1 时, S3 ? 3a1 , S2 ? 2a1 ,由 S3 ? 3S2 ? 0 得, 9a1 ? 0,? a1 ? 0 与 ?an ? 是

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) 等比数列矛盾,故 q ? 1 ,由 S3 ? 3S2 ? 0 得, ? ? 0 ,解 q ? ?2 . 1? q 1? q
16.15

【解析】: S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

三、解答题
1.【解析】I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3

f ?( x) ? 0 ? 2k? ?
f ?( x) ? 0 ? 2k? ?
得:当 x ? 2k? ? 得: xn ? 2n? ?

2? 2? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3
2? 4? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) 3 3

2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 3

2? 3
2? 3 2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? 3 3

(II)由(I)得: xn ? 2n? ?

Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?
得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ?
*

3 2 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

2.【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q 则 S10 ? 10a1 ? 45d ? 55 ? d ? 1 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? n

b4 ? b1q3 ? 8 ? q ? 2 ? bn ? b1qn?1 ? 2n?1
得: an ? n, bn ? 2n?1 (Ⅱ) a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 ,各随机抽取一项写出相应的基本事件有

?1,1? , ?1,2? , ?1,4? , ? 2,1? , ?2,2? , ?2,4? , ?3,1?, ?3,2?, ?3,4 ? 共 9 个
符合题意有 ?1,1? , ? 2,2? 共 2 个

这两项的值相等的概率为

2 9

3.【解析】(1)在 Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * 中,令 n ? 1 ? a1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 (2) Tn ? 2Sn ? n2,Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ? 1)2 ,相减得: Sn?1 ? 2Sn ? (2n ? 1)

Sn?1 ? 2Sn ? (2n ? 1) , Sn?2 ? 2Sn?1 ? (2n ? 3) ,相减得: an?2 ? 2an?1 ? 2
a1 ? 1 ? S2 ? 2S1 ? 3 ? a2 ? 4 ,得 an?1 ? 2an ? 2 an?1 ? 2an ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2(an ? 2)
得:数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,公比为 2 的等比数列

an ? 2 ? 3? 2n?1 ? an ? 3? 2n?1 ? 2
4.【解析】:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,

由题意得 ?

a ?2 a ??4 3a1 ? 3d ? ?3 解得 1 或 1 ? a (a ? d )(a ? 2d ) ? 8 d ??3 d ?3 ? 1 1 1
? ?

?

?

所以由等差数列通项公式可得

an ? 2 ? 3(n ?1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ?1) ? 3n ? 7 .
故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1, ?4, 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1, 2, ?4 ,成等比数列,满足条件.

n ? 1, 2 故 an ? 3n ? 7 ? ?3n?7 n?3

?3n?7

记数列 an 的前 n 项和为 Sn . 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 5 ; 当 n ? 3 时,

? ?

Sn ? S2 ? a3 ? a4 ????? an ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ??? ? (3n ? 7)

? 5?

(n ? 2) ?2 ? ? 3n ? 7 ?? ? ? 2

3 11 ? n2 ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2

n ?1 4 ? ? 综上, S n ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10 n ? 1 ?
5.【解析】(Ⅰ)由题意得

a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,
a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ? 3 a1 ? d , 2

an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ?

3 an ? d . 2

3 an ?1 ? d 2

3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2

?

3 3 ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2

??
3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?
整理得

3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? 2 ? 2 ?
3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2

由题意,

3 an ? 4000,? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2? ?1000 1000(3n ? 2n?1 ) ? 解得 d ? ? . ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 4000 元.

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 n(n ? 3) 年企业的剩余资金为 3n ? 2n

6.【解析】:(1)∵ bn ?1 ? 1 ?

an ? bn bn ? ,∴ an ?1 ? an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 ? 2 ? bn?1 ? ? bn ? ? ? 1 ? ? bn ? ? ? ? bn ? ? 1(n ? N ? ) 。 ∴? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? 2 2 2

2

?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
(2)? an ? 0, bn ? 0,? ∴ 1 ? an?1 ?

(an ? bn )2 ? an 2 ? bn 2 ? (an ? bn )2 2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 。(﹡)

设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,由 an ? 0 知 q ? 0 ,下面用反证法证明 q ? 1

若 q ? 1 则 a1 ? 盾。

a2 2 ? a2 ? 2 ,∴当 n ? log q 时, an?1 ? a1qn ? 2 ,与(﹡)矛 q a1

若 0 ? q ? 1 则 a1 ?

a2 1 ? a2 ? 1 ,∴当 n ? log q 时, an?1 ? a1qn ? 1与(﹡)矛盾。 q a1

∴综上所述, q ? 1 ∴ an ? a1 (n ? N ? ) ,∴1 ? a1 ? 2 。

又∵bn?1 ?

2?

bn 2 2 的等比数列。 ? ? bn (n ? N ? ) ,∴?bn ? 是公比是 an a1 a1
2 ? 1,于是 b1 ? b2 ? b3 。 a1

若 a1 ? 2 ,则

又由 an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

即 a1 ?

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn ?

a1 ? a12 2 ? a12 。 a12 ? 1

∴b1 , b2 , b3 中至少有两项相同,与 b1 ? b2 ? b3 矛盾。∴a1 ? 2 。

∴bn ?

2? 2

2 2

2? 2

2

2 ?1

? 2。

∴ a1 ? b2 ? 2 。 7.【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c ? 2,? a2 ? 4 ,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k ? 2 , a3 c ? c
∴an ? 2n , (n ? 1) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1 Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

8.【解析】(Ⅰ ax ? 1 ? 3 得 ?4 ? ax ? 2 ,又 f ( x) ? 3 的解集为 x ? 2 ? x ? 1 ,所 )由 以 ,当 a ? 0 时,不合题意 当 a ? 0 时, ?

?

?

4 2 ? x ? ,得 a ? 2 a a

? ? 1, x ? ?1 ? 1 ? ? x? (Ⅱ h( x) ? f ( x) ? 2 f ? ? ,则 h( x) ? ??4 x ? 3, ?1 ? x ? ? , )记 2 ?2? ? 1 ? ?1, x ? ? ? ? 2
所以 h( x) ? 1 ,因此 k ? 1 9.【解析】:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3

S2 ? S3 ?

2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , 3 3? 2 2 a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3

故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。 (2)当 n ? 2 时, S n ?

n?2 an ① 3

Sn ?1 ?

n ?1 an ?1 ② 3

① -② 可得 S n ? S n ?1 ?

n?2 n ?1 an ? an ?1 即 3 3

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

故有 an ?

an an?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ????? 2 ? a1 ? ? ????? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2
?5a1 ? 10d ? 105, ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

10.【解析】(I)由已知得: ?

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 7
2m

,得 n ? 7

2 m ?1



即 bm ? 7

2 m ?1

.

bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , ∵ bk 7
∴{bm } 是公比为 49 的等比数列,

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . ∴Sm ? 1 ? 49 48
11.【解析】(Ⅰ )由 a3 ? a1q ?
2

1 1 及 q ? ? ,得 a1 ? 1 , 4 2

1 ? ? 1? ?1 ? (? ) n ? 2 ? (? 1 ) n?1 2 ? ? 2 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? . ? 1 3 1 ? (? ) 2
(Ⅱ )证明:对任意 k ? N? ,

2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 2a1qk ?1 ? (a1qk ?1 ? a1qk ) ? a1qk ?1 (2q2 ? q ?1) ,
1 2 得 2q ? q ? 1 ? 0 ,故 2ak ?2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 0 . 2

由q ? ?

所以,对任意 k ? N? , ak , ak ?2 , ak ?1 成等差数列. 12.【解析】(1)数列 ?an ? 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. (2)因为 bk ? max ?a1, a2 , ???, ak ? , bk ?1 ? max ?a1, a2 , ???, ak , ak ?1? , 所以 bk ?1 ? bk . 因为 ak ? bm?k ?1 ? C , ak ?1 ? bm?k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm?k ?1 ? bm?k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak . 因此, bk ? ak .

(3)对 k ? 1, 2, ???, 25 , a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3)

a4k ?2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ; a4k ?1 ? a(4k ?1)2 ? (4k ?1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4k ?2 ? a4 k ?3 . 因为

1 ? a ? 1 ,所以 a4k ?1 ? a4k ?2 ? (a ?1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4k ?1 ? a4k ?2 ; 2

a4k ? a4k ?2 ? 2(2a ?1)(4k ?1) ? 0 ,即 a4k ? a4 k ?2 . 又 a4k ?1 ? a4k ,
从而 b4k ?3 ? a4k ?3 , b4k ?2 ? a4k ?2 , b4k ?1 ? a4k ?1 , b4k ? a4k , 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ????? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ???? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ???? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ???? ? (a4k ?2 ? a4 k ?1 ) ???? ? (a98 ? a99 ) =

? (a
k ?1

25

4 k ? 2 ? a4 k ?1 ) ? (1 ? a)? (8k ? 3) ? 2525(1 ? a) k ?1

25

13.【解析】取 n ? 1 ,得 ?a1 ? 2S1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0 若 a1 ? 0 ,则 S1 ? 0 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 an ? 0 若 a1 ? 0 ,则 a1 ?

2

?

,当

n ? 2 时, an ?

2

?

? Sn , 2an ?1 ?

2

?

? S n ?1

上述两个式子相减得: an ? 2an?1 ,所以数列 ?an ? 是等比数列 综上,若 a1 ? 0 ,则 an ? 0 若 a1 ? 0 ,则 an ?

2n

?
1 ,所以, bn ? 2 ? n lg 2 an

(2)当 a1 ? 0 ,且 ? ? 100 时,令 bn ? lg

所以, ?bn ? 单调递减的等差数列(公差为-lg2) 则 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b6 ? lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 2 64

当 n ? 7 时, bn ? b7 ? lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 7 2 128

故数列 ?lg

? ?

1? ? 的前 6 项的和最大. an ?

14.【解析】(Ⅰ )设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ; 则?

? a4 ?b4 ?27 ? 2?3d ?2q3 ?27 ?? ? d ?3 q?2 S4 ?b4 ?10 4a1?6d ?2q3 ?10 ? ?

?

得: an ? 3n ?1, bn ? 2n (Ⅱ ak bk ? (3k ?1) ? 2k ? (3k ? 4) ? 2k ?1 ? (3k ? 7) ? 2k ? ck ?1 ? ck (k ? N ? ) )

Tn ? (c2 ? c1 ) ? (c3 ? c2 ) ???? ? (cn?1 ? cn ) ? cn?1 ? c1 ? (3n ? 4) ? 2n?1 ? 8
当 n ? 2 时, Tn ? 8 ? an?1bn?1

? ?2 x ? 5, x ? 2 ? 2 ? x ? 3, 15.【解析】(Ⅰ a ? ?3 时, f ( x ) = ?1, )当 ? 2 x ? 5, x ? 3 ?
当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 3 得 ?2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ? 1 ; 当 2< x <3 时, f ( x) ? 3 ,无解; 当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 3 得 2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ≥8, ∴ f ( x) ? 3 的解集为{ x | x ≤1 或 x ≥8}; (Ⅱ f ( x) ? x ? 4 ? x ? 4 ? x ? 2 ? x ? a , ) 当 x ??1, 2? 时, x ? a ? x ? 4 ? x ? 2 ? 4 ? x ? x ? 2 ? 2 , ∴?2 ? a ? x ? 2 ? a ,有条件得 ?2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ?3 ? a ? 0 , 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 16.【解析】(1)由 Sn ? 2n2 ? n ,得 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 ? 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? n ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 , n ? N . ? ?

由 an ? 4log2 bn ? 3 ,得 bn ? 2n ?1, n ? N .

?

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 , n ? N ? , 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11? 22 ???? ? (4n ?1)2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ???? ? (4n ?1)2n ,
2Tn ? Tn ? (4n ? 1) ? 2n ? ?3 ? 4(2 ? 22 ? ??? ? 2n ?1 ) ? ? ?

? (4n ? 5)2n ? 5

Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 , n ? N? .
17.【解析】:(Ⅰ )设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ )由(Ⅰ )可得 S n ? 以 ak 2 ? a1SK ?2

? 2a1?2d ?8 解得 a1 ? 2, d ? 2 ? 2a1?4d ?12

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所 2 2 2 从而 (2k ) 2 ? 2( k ? 2)( k ? 3) ,即 k ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。


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