3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 第3讲 平面向量专题强化精练提能 理


第一部分专题二 三角函数与平面向量 第 3 讲 平面向量专题强化精 练提能 理
1.向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2 解析:选 C.法一:因为 a=(1,-1),b=(-1,2),所以 a =2,a·b=-3, 2 从而(2a+b)·a=2a +a·b=4-3=1. 法二:因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选 C. → → → 2.已知 O,A,B,C 为同一平面内的四个点,若 2AC+CB=0,则向量OC等于( ) 2→ 1→ 1→ 2→ A. OA- OB B.- OA+ OB 3 3 3 3 → → → → C.2OA-OB D.-OA+2OB → → → → → → → → → → → → → 解析: 选 C.因为AC=OC-OA, CB=OB-OC, 所以 2AC+CB=2(OC-OA)+(OB-OC)=OC- → → → → → 2OA+OB=0,所以OC=2OA-OB,故选 C. → → 3.在△ABC 中,D 是 AB 的中点,E 是 AC 的中点,CD 与 BE 交于点 F,设AB=a,AC=b, → AF=xa+yb,则(x,y)为( ) 1 1 ? ? ?2 2? A.? , ? B.? , ? ?2 2? ?3 3? ?1 1? ?2 1? C.? , ? D.? , ? ?3 3? ?3 2? 解析:选 C.由题意知点 F 为△ABC 的重心,设 H 为 BC 中点, 1 1 → 2→ 2 1 → → 则AF= AH= × (AB+AC)= a+ b, 3 3 2 3 3 1 1 所以 x= ,y= . 3 3 π → → → 4.在△ABC 中,AB= 3,BC=2,∠A= ,如果不等式|BA-tBC|≥|AC|恒成立,则实 2 数 t 的取值范围是( ) ?1 ? A.[1,+∞) B.? ,1? ?2 ? 1? ? C.?-∞, ?∪[1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2? ? 3 → → → ,由|BA-tBC|≥|AC|, 2 1 →2 → → 2→2 →2 2 得BA -2tBA·BC+t BC ≥AC ,即 2t -3t+1≥0,解得 t≥1 或 t≤ . 2 → → → → 5. (2015·河北省五校联盟质量监测)已知|OA|=1, |OB|= 3, OA· OB=0, 点 C 在∠AOB m → → → 内,且∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则 等于( ) 解析:选 C.在直角三角形 ABC 中,易知 AC=1,cos∠ABC=

n

1 A. 3

B.3

1

C.

3 3

D. 3 → → 3 OC·OA 3 ,所以 = ? 2 → → 2 |OC|·|OA|

→ → 解 析 : 选 B. 由 题 设 知 : cos 〈 OC , OA 〉 = → → → (mOA+nOB)·OA 3 = ? 2 → → 2 → (mOA+nOB) ·|OA| → → → m|OA|2+nOB·OA

3 = . 2 → → → → → m2|OA|2+2mnOA·OB+n2|OB|2·|OA|

→ → → → 因为|OA|=1,|OB|= 3,OA·OB=0,所以

m m2+3n

= 2

3 m 2 2 ? m =9n ? 2=9,又因为点 2 n

2

m C 在∠AOB 内,所以 m>0,n>0,所以 =3,故选 B. n 6.(2015·聊城市第一次质量预测)在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两
→ → 个动点,且 MN= 2,则CM·CN的取值范围为( ) 5 ? ? A.?2, ? B.[2,4] ? 2? C.[3,6] D.[4,6] → → → → → 1 → → 2 → → 2 解析:选 D.记 MN 的中点为 E,则有CM+CN=2CE,CM·CN= [(CM+CN) -(CM-CN) ] 4 3 2 →2 1→2 →2 1 → → → =CE - NM =CE - .又|CE|的最小值等于点 C 到 AB 的距离,即 ,故CM·CN的最小值为 4 2 2 ?3 2? 2 1 → → ? ? - 2 = 4. 当 点 M 与 点 A( 或 B) 重 合 时 , | CE | 达 到 最 大 , | CE | 的 最 大 值 为 ? 2 ? 13 → → ,因此CM·CN的取值范围是[4,6],选 D. 2 7.(2014·高考北京卷)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λ a+b=0(λ ∈R), 则|λ |=________. 解析:因为 λ a+b=0,所以 λ a=-b, 2 2 所以|λ a|=|-b|=|b|= 2 +1 = 5, 所以|λ |·|a|= 5.又|a|=1,所以|λ |= 5. 答案: 5 → → → → → → 8.已知圆 O 为△ABC 的外接圆, 半径为 2,若AB+AC=2AO,且|OA|=|AC|,则向量BA在 → 向量BC方向上的投影为________. → → → 解析:因为AB+AC=2AO,所以 O 是 BC 的中点,故△ABC 为直角三角形.在△AOC 中, → → → → → 有|OA|=|AC|, 所以∠B=30°.由定义, 向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos B=2 3× 3 =3. 2 答案:3 → → 9. (2014·高考江苏卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD, → → → → AP·BP=2,则AB·AD的值是________.

?3 2?2 2 ? ? +( 2) = ? 2 ?

2

→ → → 1→ 1→ → → → → 1→ → → → → 1→ → 解析: 由CP=3PD, 得DP= DC= AB, AP=AD+DP=AD+ AB, BP=AP-AB=AD+ AB-AB 4 4 4 4 → 3→ → → →2 1→ → 3 →2 ?→ 1→? ?→ 3→? =AD- AB.因为AP·BP=2,所以?AD+ AB?·?AD- AB?=2,即AD - AD·AB- AB =2.又 4 4 4 2 16 ? ? ? ? →2 →2 → → 因为AD =25,AB =64,所以AB·AD=22. 答案:22 10.设非零向量 a,b 的夹角为 θ ,记 f(a,b)=acos θ -bsin θ .若 e1,e2 均为单位 3 向量,且 e1·e2= ,则向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为________. 2 3 e1·e2 3 ,可得 cos〈e1,e2〉= = , 2 |e1||e2| 2 π 5π 故〈e1,e2〉= , 〈e2,-e1〉=π -〈e2,e1〉= . 6 6 解析:由 e1·e2=

f(e1,e2)=e1cos -e2sin = f(e2,-e1)=e2cos

π 6

π 6

3 1 e1- e2, 2 2

5π 5π 1 3 -(-e1)sin = e1- e2. 6 6 2 2 3 1 ? ?1 3 ? ? 3 e1- e2?·? e1- e2?= -e1·e2=0, 2 ? ?2 2 ? 2 ?2

f(e1,e2)·f(e2,-e1)=?

所以 f(e1,e2)⊥f(e2,-e1). π 故向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为 . 2 π 答案: 2 3 → → 11. 如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC= ,AB·AC= 5 120.

(1)求 cos∠BAD; → → → (2)设AC=xAB+yAD,求 x,y 的值. 解:(1)设∠CAB=α ,∠CAD=β , → → AB·AC 120 12 3 cos α = = = ,cos β = , → → 130 13 5 |AB||AC| 5 4 所以 sin α = ,sin β = , 13 5 所以 cos∠BAD=cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65 → → → (2)由AC=xAB+yAD得

3

→ → → → → ? ?AC·AB=xAB2+yAD·AB, ? → → → → → ? ?AC·AD=xAB·AD+yAD2,
? ?120=169x+16y, 所以? 解得 ?30=16x+25y, ?

40 ? ?x=63, ? 50 ?y=63. ?

12.(2015·山师附中质检)已知向量 m=(cos A,-sin A),n=(cos B,sin B),m·n =cos 2C,其中 A,B,C 为△ABC 的内角. (1)求角 C 的大小; → → (2)若 AB=6,且CA·CB=18,求 AC,BC 的长. 解:(1)m·n=cos Acos B-sin Asin B =cos(A+B), 因为 A+B+C=π ,所以 cos(A+B)=-cos C=cos 2C, 2 即 2cos C+cos C-1=0, 1 故 cos C= 或 cos C=-1. 2 π 又 0<C<π ,所以 C= . 3 → → (2)因为CA·CB=18,所以 CA·CB=36,① π 2 2 2 由余弦定理 AB =AC +BC -2AC·BC·cos ,及 AB=6 得,AC+BC=12,② 3 由①②解得 AC=6,BC=6. 13.(2015·南平模拟)在△ABC 中,AC=10,过顶点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,AD=5, → 5→ 且满足AD= DB. 11 → → (1)求|AB-AC|; → → → → (2)存在实数 t≥1,使得向量 x=AB+tAC,y=tAB+AC,令 k=x·y,求 k 的最小值. → 5→ 解:(1)由AD= DB,且 A,B,D 三点共线, 11 5 → → 可知|AD|= |DB|. 11 又 AD=5,所以 DB=11. 2 2 2 在 Rt△ADC 中,CD =AC -AD =75, 2 2 2 在 Rt△BDC 中,BC =DB +CD =196, 所以 BC=14. → → → 所以|AB-AC|=|CB|=14. → → → (2)由(1),知|AB|=16,|AC|=10,|BC|=14. 2 2 2 10 +16 -14 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2×10×16 2 → → → → 由 x=AB+tAC,y=tAB+AC, 知 k=x·y → → → → =(AB+tAC)·(tAB+AC) → 2 → → → 2 2 =t|AB| +(t +1)AC·AB+t|AC| 1 2 =256t+(t +1)×16×10× +100t 2
4

=80t +356t+80. 由二次函数的图象, 可知该函数在[1,+∞)上单调递增, 所以当 t=1 时,k 取得最小值 516. → → 14.已知向量OA=(λ cos α ,λ sin α )(λ ≠0),OB=(-sin β ,cos β ),其中 O 为坐标原点. π → → (1)若 α -β = 且 λ =1,求向量OA与OB的夹角; 6 → → (2)若|AB|≥2|OB|对任意实数 α ,β 都成立,求实数 λ 的取值范围. → 解:(1)当 λ =1 时,OA=(cos α ,sin α ), → 2 2 故|OA|= cos α +sin α =1, → 2 2 |OB|= (-sin β ) +cos β =1. → → OA·OB=cos α (-sin β )+sin α cos β π 1 =sin(α -β )=sin = , 6 2 → → OA·OB 1 → → 故 cos〈OA,OB〉= = . → → 2 |OA||OB| → → 又因为〈OA,OB〉∈[0,π ], π → → 所以〈OA,OB〉= . 3 → → → (2)AB=OB-OA=(-λ cos α -sin β ,-λ sin α +cos β ), → → 2 |AB|≥2|OB|对任意实数 α ,β 都成立,即(-λ cos α -sin β ) +(-λ sin α +cos 2 β ) ≥4 对任意实数 α ,β 都成立, 2 整理得 λ +1+2λ sin(β -α )≥4 对任意实数 α ,β 都成立. 因为-1≤sin(β -α )≤1, ?λ >0, ?λ <0, ? ? 所以? 2 或? 2 ?λ +1-2λ ≥4 ? ?λ +1+2λ ≥4, ? 解得 λ ≥3 或 λ ≤-3. 所以所求实数 λ 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).

2

5


推荐相关:

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 第3讲 平面向量专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 第3讲 平面向量专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题二 三角函数与平面向量 第 3 讲...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题五第3讲 圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题第3讲 圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题五 解析几何 第 3 ...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题四 第3讲 空间向量与立体几何专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题第3讲 空间向量与立体几何专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题四 立体几何 第 3 讲...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题三 数列 第 1 ...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习专题三 数列 第2讲 数列求和与数列的综合应用专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习专题三 数列 第2讲 数列求和与数列的综合应用专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题三 数列 第 2 讲 ...


优化方案二轮 第一部分专题二第3讲专题强化精练提能

优化方案二轮 第一部分专题二第3讲专题强化精练提能_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.(2015· 浙江省部分重点中学高三联合测试)已知非零向量 a,b,则“a+b...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题第2讲 空间点、线、面的位置关系专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题四 立体几何 ...


【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化精练提能 理

【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题第2讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题五 解析几何 第 2 ...


2016年高考数学二轮复习 第一部分专题六 第3讲 统计与统计案例专题强化精练提能 理

2016年高考数学二轮复习 第一部分专题第3讲 统计与统计案例专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明...


2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形专题强化精练提能 理

2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形专题强化精练提能 理_数学_高中教育_教育专区。第一部分专题二 三角函数与...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com