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浙江高考历年真题之立体几何大题(理科1)


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浙江历年理科高考题之立体几何大题
(教师版)

1、 (2005 年)18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP⊥底面 ABC. (Ⅰ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; 2

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 解:方法一: (Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点,? OD∥PA

又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB
(Ⅱ)

? OA ? OB ? OC, AB ? BC,OA ? OC,

OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC.

取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE

P D F A O B
王新敞
奎屯 新疆

作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC ? ?ODF 是OD与平面PBC所成的角.
又 OD∥PA ,? PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF ,

OF 210 在Rt ?ODF中, sin ?ODF ? ? , OD 30 ? PA与平面PBC所成的角为arcsin 210 . 30

C E

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, OF ? 平面PBC ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影

∵D 是 PC 的中点,若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1

王新敞
奎屯

新疆

反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥,∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心 方法二:

王新敞
奎屯

新疆

OP ? 平面ABC , OA ? OC, AB ? BC ,?OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP.
以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图)
王新敞
奎屯 新疆

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? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 设 AB ? a, 则 A ? ? 2 a, 0, 0 ? ?, B? ? 0, 2 , 0 ? ?,C ? ? ? 2 , 0, 0 ? ?, ? ? ? ? ? ?
设 OP ? h ,则 P ? 0,0, h? (Ⅰ) D 为 PC 的中点,? OD ? ? ?

z

P D

? ? ?

2 1 ? a, 0, h ? , 4 2 ? ?

A

x

O B

C

又 PA ? ?

? 2 ? 1 a , 0, ? h , ? OD ? ? PA,? OD // PA ,? OD∥平面PAB ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 1 7 7 ? a,? PA ? ? a, 0, ? a ? ,即 PA ? 2a,? h ? , ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? 1? PA ? n 210 ,? cos? PA, n? ? , ? ? ? 7? 30 | PA | ? | n |

y

(Ⅱ)

k?

可求得平面 PBC 的法向量 n ? ?1, ?1, ?

设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos? PA, n? |?

210 , 30

(Ⅲ) ?PBC 的重心 G ? ?

? ? ?

? 2 2 1 ? 2 2 1 ? a, a, h ? a, a, h ? ,? OG ? ? ? , ? ? 6 6 3 ? 6 3 ? ? 6 ?

? ? 2 1 2 1 2 2 0, a , ? h OG ? 平面PBC,?OG ? PB ,又 PB ? ? ? ? 2 ? ,? OG ? PB ? 6 a ? 3 h ? 0,? h ? 2 a , ? ?

? PA ? OA2 ? h2 ? a ,即 k ? 1 ,反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥,
∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心
王新敞
奎屯 新疆

2、 (2006 年)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。 解:方法一: (I)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB,所以 AN⊥PB。 因为 AD 平面 PAB,所以 AD⊥PB,从而 PB⊥平面 ADMN, 因为 DM ? 平面 ADMN,所以 PB⊥DM (II)取 AD 的中点 G,连结 BG、NG,则 BG∥CD,
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所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等。 因为 PB⊥平面 ADMN,所以∠BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角。

在 RtΔ BGN 中, sin ?BGN ?

BN 10 ? BG 5 10 。 5

故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin

方法二:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-XYZ,设 BC=1,则 A(0,0,0) , P(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,M(1,

1 ,1) ,D(0,2,0) 2

P B PB D M ? ? DM? ? (2, 0 2 , ( , 1 ( 2 )0, ? ) 1 ? ,2 2)(1, ? ? ,1) (Ⅰ)因为 ) · (
所以 PB⊥ DM。

3 3 2 2

?0

(Ⅱ)因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0, 2,0) ? 0 ,所以 PB⊥AD, 又因为 PB⊥DM,所以 PB⊥平面 ADMN, 因此 ? PB ? DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角。

因为 cos ? PB ? DC ??

PB ? DC PB ? DC

=

10 5
10 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin

3、 (2007 年) 19. (本题 14 分) 在如图所示的几何体中,EA ? 平面 ABC ,DB ? 平面 ABC , AC ? BC , 且 AC ? BC ? BD ? 2 AE , M 是 AB 的中点. (I)求证: CM ? EM ; (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角. 解:方法一: (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB . 又 EA ? 平面 ABC ,所以 CM ? EM .

D E

A

C
M
B

(II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连结 CH 交延长交 ED 于点 F ,

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连结 MF , MD .∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. 因为 MH ? 平面 CDE ,所以 MH ? ED , 又因为 CM ? 平面 EDM ,所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , 在直角梯形 ABDE 中, AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点, 所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ? 6a , 得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 , 所以 MF ?

E

E
H

D

A M B

C

EM MD ? 2a . DE MF ? 1 ,所以∠FCM ? 45 , MC

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 . 方法二: 如图,以点 C 为坐标原点,以 CA ,CB 分别为 x 轴和 y 轴,过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,

A ? a , 2 a, ?, )? ,B(0, 2a, 0) ,E (2a, 0,a) .D(0, 2a, 2a) ,M (a,a, 0) . 建立直角坐标系 C ? xyz , 设E 则 A(
(I)证明:因为 EM ? (?a,a, ? a) , CM ? (a,a, 0) , 所以 EM CM ? 0 ,故 EM ? CM . (II)解:设向量 n = ?1 ,y0,z0 ? 与平面 CDE 垂直,则 n ? CE , n ? CD , 即 n CE ? 0 , n CD ? 0 . 因为 CE ? (2a, 2a, 2a) ,所以 y0 ? 2 , x0 ? ?2 , 0,a) , CD ? (0,

D

z

E

2 , 2, ? 2) , cos n, CM ? ? 即 n ? (1 , 2 CM n

CM n

x
A M y B

C

直线 CM 与平面 CDE 所成的角 ? 是 n 与 CM 夹角的余角,所以 ? ? 45 , 因此直线 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 .

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4、 (2008 年)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF, ? BCF= ? CEF= 90 ? , AD= 3 ,EF=2。 (Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60 ? ? 方法一: (Ⅰ )证明:过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G ,连结 DG , 可得四边形 BCGE 为矩形,又 ABCD 为矩形, 所以 AD ∥EG ,从而四边形 ADGE 为平行四边形, 故 AE ∥ DG .因为 AE ? 平面 DCF , DG ? 平面 DCF , 所以 AE ∥ 平面 DCF . (Ⅱ )解:过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H ,连结 AH . 由平面 ABCD ? 平面 BEFC , AB ? BC ,得 AB ? 平面 BEFC , 从而 AH ? EF .所以 ? AHB 为二面角 A ? EF ? C 的平面角. 在 Rt△EFG 中,因为 EG ? AD ? 3 , EF ? 2 ,所以 ?CFE ? 60 , FG ? 1 . 又因为 CE ? EF ,所以 CF ? 4 , 从而 BE ? CG ? 3 . A 于是 BH ? BE sin ?BEH ? 因为 AB ? BH tan ?AHB , z D H E A D C B G F

3 3 . 2

C F E y

x

B

9 所以当 AB 为 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴, 建立空间直角坐标系 C ? xyz .设 AB ? a,BE ? b,CF ? c ,

0, 0) , A( 3, 0) . 则 C (0, 0,a) , B( 3, 0, 0) , E( 3,b, 0) , F (0,c,
(Ⅰ )证明: AE ? (0,b, ? a) , CB ? ( 3, 0, 0) , BE ? (0,b, 0) , 所以 CB CE ? 0 , CB BE ? 0 ,从而 CB ? AE , CB ? BE , 所以 CB ? 平面 ABE .因为 CB ? 平面 DCF ,所以平面 ABE ∥ 平面 DCF . 故 AE ∥ 平面 DCF .
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(Ⅱ )解:因为 EF ? (? 3,c ? b,0) , CE ? ( 3,b, 0) , 所以 EF CE ? 0 , | EF |? 2 ,从而

? ??3 ? b(c ? b) ? 0, 解得 b ? 3,c ? 4 .所以 E( 3, 4, 0) . 3, 0) , F (0, ? 2 ? ? 3 ? (c ? b) ? 2,
设 n ? (1 ,y,z ) 与平面 AEF 垂直,则 n AE ? 0 , n EF ? 0 , 解得 n ? (1 ,3,

3 3 ) .又因为 BA ? 平面 BEFC , BA ? (0, 0,a) , a
9 | BA n | 3 3a 1 ? ? ,得到 a ? . 2 | BA | | n | a 4a 2 ? 27 2

所以 | cos ? n, BA ?|? 所以当 AB 为

9 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2 5、 (2009 年)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为
PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE , 并求点 M 到 OA , OB 的距离. 解:方法一: (Ⅰ)证明:如图,连结 OP ,以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .

0,, 0) A(0, ? 8,, 0) B(8, 0,, 0) C(0, 8,, 0) P(0, 0,, 6) E(0, ? 4,, 3) F (4, 0, 3) . 则 O(0, 4, 0) . 由题意,得 G (0,
因为 OB ? (8, 0,, 0) OE ? (0, ? 4, 3) , P E A x B F G O C y z

3, 4) . 所以平面 BOE 的法向量 n ? (0,

· FG ? 0 . 由 FG ? (?4, 4, ? 3) ,得 n
又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG ∥ 平面 BOE .

(Ⅱ)解:设点 M 的坐标为 ( x0,y0, 0) ,则 FM ? ( x0 ? 4,y0, ? 3) . 因为 FM ⊥ 平面 BOE ,所以 FM ∥ n .

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因此, x0 ? 4,y0 ? ?

9 . 4

即点 M 的坐标是 ? 4, ? , 0? .

? ?

9 4

? ?

? x ? 0, ? 在平面直角坐标系 xOy 中, △ AOB 的内部区域可表示为不等式组 ? y ? 0, ? x ? y ? 8. ?
经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组. 所以,在 △ AOB 内存在一点 M ,使 FM ⊥ 平面 BOE . 由点 M 的坐标,得点 M 到 OA,OB 的距离分别为 4, . 方法二: (Ⅰ)证明:取 PE 的中点为 H ,连结 HG,HF . 因为点 E,O,G,H 分别是 PA,AC,OC,PE 的中点, 所以 HG ∥ OE,HF ∥ EB . 因此平面 FGH ∥ 平面 BOE . 因为 FC 在平面 PGH 内,所以 FG ∥ 平面 BOE . (Ⅱ)解:在平面 OAP 内,过点 P 作 PN ⊥ OE ,交 OA 于点 N ,交 OE 于点 Q . 连结 BN ,过点 F 作 FM ∥ PN ,交 BN 于点 M . 下证 FM ⊥ 平面 BOE . 由题意,得 OB ⊥ 平面 PAC ,所以 OB ⊥ PN . 又因为 PN ⊥ OE ,所以 PN ⊥ 平面 BOE . 因此 FM ⊥ 平面 BOE . 在 Rt△OAP 中, A E N M B O P B A P H E F G O C

9 4

Q F G C

OE ?

1 24 PQ 4 PA ? 5,PQ ? , cos ?NPO ? ? , 2 5 OP 5 9 ON ? OP · tan ?NPO ? ? OA , 2

所以点 N 在线段 OA 上. 因为 F 是 PB 的中点,所以 M 是 BN 的中点. 因此点 M 在 △ AOB 内,点 M 到 OA,OB 的距离分别为

1 1 9 OB ? 4, ON ? . 2 2 4

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6、 (2010 年)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB,AD 上,AE=EB=AF= EF 将 ?AEF 翻折成 ?A' EF, 使平面 A' EF ? 平面 BEF. (I)求二面角 A'? FD ? C 的余弦值; (II)点 M,N 分别在线段 FD,BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长. 方法一: (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A?H 因为 A?E ? A?F 及 H 是 EF 的中点,所以 A?H ? EF 又因为平面 A?EF ? 平面 BEF,及 A?H ? 平面 A?EF . 所以 A?H ? 平面 BEF。 如图建立空间直角坐标系 A ? xyz. 则 A?(2, 2, 2 2), C(10,8,0), F (4,0,0), D(10,0,0). 故 FN ? (?2, 2, 2 2), FD ? (6,0,0) 设 n ? ( x, y, z) 为平面 A?FD 的一个法向量 所以 ?

2 FD ? 4. 沿直线 3

? ??2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ,取 z ? 2, 则n ? (0, ?2, 2) ? ?6 x ? 0

又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,故 cos ? n, m ??

n?m | n|?| m|

?

3 3

所以二面角的余弦值为

3 . 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x??则M (4 ? x,0,0) 因为翻折后,C 与 A 重合,所以 CM= A?M 故 (6 ? x)2 ? 82 ? 02 ? (?2 ? x)2 ? 22 ? (2 2)2 ,得 x ? 经检验,此时点 N 在线段 BG 上,所以 FM ? 方法二: (Ⅰ)解:取截段 EF 的中点 H,AF 的中点 G,连结 A?G ,NH,GH 因为 A?E ? A?F 及 H 是 EF 的中点,所以 A? H//EF。
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21 4

21 . 4

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又因为平面 A? EF ? 平面 BEF,所以 A? H` ? 平面 BEF, 又 AF ? 平面 BEF,故 A?H ? AF , 又因为 G,H 是 AF,EF 的中点, 易知 GH//AB,所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A? GH 所以 ?A?GH 为二面角 A? —DF—C 的平面角, 在 Rt ?A?GH 中, A?H ? 2 2, GH ? 2, A?G ? 2 3 所以 cos ?A?GH ?

3 3 . 故二面角 A? —DF—C 的余弦值为 。 3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后,G 与 A? 重合,所以 CM ? A?M , 而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2

A?M 2 ? A?H 2 ? MH 2 ? A?H 2 ? MG2 ? GH 2 ? (2 2)2 ? ( x ? 2)2 ? 22 ,得 x ?
经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ?

21 4

21 . 4

7、 (2011 年)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不 存在,请说明理由。

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8、 (2012 年)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, ?BAD ? 120 ,且 PA ⊥平面

ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点。
(1)证明: MN // 平面 ABCD ; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。

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