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高中数学必修5知识点总结(史上最全版) (1)


解三角形
一.三角形中的基本关系: (1) sin( A ? B) ? sin C,
cos( A ? B) ? ? cos C,

tan( A ? B) ? ? tan C,
(2) sin
A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2

(3)a>b 则A>B则 sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R . R 为 ??? C 的外接圆的半径) sin ? sin ? sin C

正弦定理的变形公式:
b ? 2 R sin ? , a ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ①化角为边:
a 2R

②化边为角: sin ? ?

, sin ? ?

c b sin C ? , 2R ; 2R

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ;
a?b?c a b c ? ? ? ④ sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C .

两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角,求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注 意解的情况(一解、两解、无解))

三.余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ?

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ?

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
注意:经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论:

b2 ? c2 ? a 2 cos ? ? 2bc

a 2 ? c2 ? b2 cos ? ? 2ac
a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab
2 2 2 ? a ? b ? c C ? 90 ①若 ,则 ;

②若 a ? b ? c ,则 C
2 2 2

? 90

?



? 2 2 2 C ? 90 a ? b ? c ③若 ,则 .

余弦定理主要解决的问题: (1).已知两边和夹角求其余的量。 (2).已知三边求其余的量。 注意:解三角形与判定三角形形状时,实现边角 转化,统一成边的形式或角的形式 四、三角形面积公式:

等差数列
一.定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数, 则这个数列称 为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 二.符号表示: an?1 ? an ? d (n>=1) 三.判断数列是不是等差数列有以下四种方法: (1) an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) (可用来证明) (2)2

a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 )(可用来证明)

(3) a n ? kn ? b ( n, k 为常数) (4) sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 是一个关于 n 四.等差中项
的 2 次式且无常数项

a , ? , b 成等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中
项.若 b ?
a?c a c 2 ,则称 b 为 与 的等差中项.

五.通项公式:

an ? a1 ? ? n ?1? d (是一个关于的一次式,一次项系数是公差)
通项公式的推广:

an ? am ? ? n ? m? d ;

an ? a m d? n?m .

六.等差数列的前 n 项和的公式:

n ? a1 ? an ? ① Sn ? (注意利用性质特别是下标为奇数) 2
n ? n ? 1? ② Sn ? na1 ? 2 d (是一个关于 n 的 2 次式且

无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质: (1)若 m ? n (2)若 2n ?

? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq ;

p ? q 则 2an ? a p ? aq .

(3) Sn , S2n ? S n , S3n ? S 2 n ?

成等差数列
(4)
{
* 2 n n ? ? ? ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? , (5)①若项数为

Sn }成等差数列 , 且公差为原公差的 n

S奇 an ? S ? S ? nd 且 偶 奇 ,S an ?1 . 偶

②若项数为 2n ? 1? n ? ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且
*

S奇 ? S偶 ? an , 奇

S n ? (其中 S奇 ? nan , . S偶 ? ? n ?1? an ) S偶 n ? 1

( 6 ) 若 等 差 数 列 { an} {bn} 的 前 n 项 和 为 S n , Tn 则 an S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1

八.等差数列前 n 项和的最值 (1)利用二次函数的思想: S n ? (2)找到通项的正负分界线
?a1 ? 0 ?若 ? 则 d ? 0 ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

sn 有最大值,当 n=k 时取到的

? ak ? 0 最大值 k 满足 ?a ? 0 ? k ?1
?a1 ? 0 ? ?若 ? d ? 0 则

sn 有最大值,当 n=k 时取到的最大

? ak ? 0 值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0

等比数列 一.定义、如果一个数列从第 2 项起,每一项与 它的前一项的比等于同一个常数, 则这个数列称 为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
an ?1 二.符号表示: a ? q n

注:①等比数列中不会出现值为 0 的项; ②奇数项同号,偶数项同号 (3)合比性质的运用 三.数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? an?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)(可用来证明)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 )(可用来证明)

n a ? cq ③ n ( c, q 为非零常数).(指数式)

④从前 n 项和的形式(只用来判断) 四.等比中项: 在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等
2 比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab , 2 则称 G 为 a 与 b 的等比中项.(注:由 G ? ab 不能

得出 a , G , b 成等比,由 a , G , b ? G

2

? ab



五.等比数列的通项公式: an 通项公式的变形: (1) (2)

? a1q

n ?1



an ? amqn?m ;
q n?m ? an am .(注意合比性质的利用)

六.前 n 项和的公式:
?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ① ? 1 n ? q ? 1? . ? 1? q ? 1? q

② sn

? a1 ? a2 ? ? ? an =A+B*q ,则 A+B=0
n

七.等比数列性质: (1)若 m ? n ?

p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;
2 a ? a p ? aq . 则 n

(2)若 2n ? p ? q (3)

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ? 成等比数列

通项公式的求法: (1).归纳猜想 (2).对任意的数列{ a }的前 n 项和 S 与通项 a 的关
n n n

?s1 ? a1 (n ? 1) a ? 系: n ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

检验第②式满不满足第①式, 满足的话写一个式 子,不满足写分段的形式 (3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法: an ?1 ? an ? f (n) 3、迭乘法: 4、构造法:
an ?1 ? f ( n) an

an?1 ? qan ? p

5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式 6.如果是分式时可用取倒数 (4)同时有和与通项有两种方向 一种: 当 n 大于等于 2,再写一式,两式相减,可以 消去前 n 项和 二种:消去通项

数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、 等比数列或可转化为等 差、等比数列的数列。
c 2. 裂项相消法 : 适用于 ? ? aa ?
n

? ? n ?1 ?

其中 {

an

} 是各项不

为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含 阶乘的数列等。(分式且分母能分解成一次式的 乘积) 3. 错位相减法 : 适用于 ?a b ? 其中 {
n n

an

} 是等差数

列, ?b ?是各项不为 0 的等比数列。
n

4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式 的推导方法. 5.常用结论

n( n ? 1) (1): 1+2+3+...+n = 2
(2) 1+3+5+...+(2n-1) = n
3 3 3

2
2

?1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n ( n ? 1 ) (3) ?2 ? ? ?

1 2 2 2 2 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ( 4 ) 6 ;
1 1 1 ? ? (5) n(n ? 1) n n ? 1

不等式
一、不等式的主要性质: (1)对称性:
a?b?b?a

(2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4)同向不等式加法法则: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (5)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (6)同向不等式乘法法则: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (7)乘方法则: a ? b ? 0 ? a
n
n

? b n (n ? N * 且n ? 1)
n

(8)开方法则: a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N * 且n ? 1) 1 1 (9)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ? a ? b 二、一元二次不等式 ax 其解法
??0 ??0
y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x 1 )( x ? x 2 )
2

? bx ? c ? 0

和 ax

2

? bx ? c ? 0(a ? 0)



??0

二次函 数
y ? ax 2 ? bx ? c

y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x 2 )

y ? ax 2 ? bx ? c

( a ? 0 )的 图象 一 元 二 次 有两相异实 有 两 相 等 方程 根 实根 实根 无

?a ? 0? 的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R
?

?x x

1

? x ?x 2 ?

三.含有参数的二次不等式的解法: (1) 二次项系数(正负零) (2) 根 一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。 二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论 (3)画图写解集 四、线性规划 1.在平面直角坐标系中,直线 ?x ? ?y ? C ? 0 同侧的点代入后符号相同,异侧的点相反 2.由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后, 看不等号方向: ①若是“ > ”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区 域为直线: ?x ? ?y ? C ? 0 的右边部分。 ②若是“<”号,则 ?x ? ?y ? C ? 0 所表示的区 域为直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的左边部分。

注意:

Ax ? By ? C ? 0(或 ? 0) 不 包 括 边 界 ;

Ax ? By ? C ? 0(? 0) 包括边界
3.求解线性线性规划问题的步骤 (1)画出可行域(注意实虚) (2)将目标函数化为直线的斜截式 (3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若 为负则上小下大 4.非线性问题: (1)看到比式想斜率 (2)看到平方之和想距离 四、均值不等式
a?b 1、设 a 、 b 是两个正数,则 2 称为正数 a 、 b 的

算术平均数(等差中项), ab 称为正数 a 、 b 的 几何平均数.(等比中项) 2、基本不等式(也称均值不等式): 如果 a,b 是正数,那么

a ? b ? 2 ab 即
注意:

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等

3、平均不等式:(a、b 为正数),即
a 2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? 1 1 (当 2 2 ? a b

a = b 时取等)

4、常用的基本不等式:
a 2 ? b2 ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ? 2 ? a, b ? R ? ;
2 2

? a?b ? ab ? a ?b ? a ?b ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ③ ④ ?? ? ? a, b ? R ? . ? 2 ? 2 ? 2 ? 5、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:
2 2 2

2

⑴若 x ?

y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,

s2 积 xy 取得最大值 4 .
⑵若

xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,

和 x ? y 取得最小值 2 p . 五、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:|

x | 是指数轴上点 x 到原

点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的 距离 ;
?a ? | a | ? ?0 代数意义: ?? a ? a?0 a?0 a?0

2、
(1)

如果a ? 0, 则不等式:

| x |? a
| x |? a

??? x ? a 或x ? ?a



(2) | x |? a (3) (4)

??? x ? a 或x ? ?a
??? ? a ? x ? a


| x |? a

??? ? a ? x ? a

注意:上式中的 x 可换成 f(x) 3、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对 值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 、其他常见不等式形式总结: ① 式不等式的解法:移项通分,化分为整
f ( x) ? 0 ? f ( x ) g( x ) ? 0 g( x )
? f ( x ) g( x ) ? 0 f ( x) ?0?? g( x ) ? g( x ) ? 0



②指数不等式:
a f ( x ) ? a g( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g( x )

a f ( x ) ? a g( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g( x )

③对数不等式:
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g( x )( a ? 1) ? ? g( x ) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ?
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g( x )( 0 ? a ? 1) ? ? g( x ) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ?

④高次不等式: 数轴穿线法口诀: “从右向左, 自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;小于 取下边,大于取上边”


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