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上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析


2016 年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. = .

2.设集合 A={x|x2﹣2x>0,x∈R},

,则 A∩B=

. . .

3.若函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则 a= 4.已知一组数据 6,7,8,9,m 的平均数是 8,则这组数据的方差是

5.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为棱 A1B1 的中点,则异面直线 AM 与 B1C 所成的 角的大小为 (结果用反三角函数值表示). . . .

6.若圆锥的底面周长为 2π,侧面积也为 2π,则该圆锥的体积为 7.已知 ,则 cos(30°+2α)=

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 值是

9.过点 P(1,2)的直线与圆 x2+y2=4 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则实数 a 的值 为 .

10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人.经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率是 .

11.已知直角梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P 是腰 AB 上的动点, 则 的最小值为 .

12.已知 n∈N*,若

,则 n=



13.对一切实数 x,令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为取整函数.若 ,n∈N*,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 = .

14.对于函数 y=f(x),若存在定义域 D 内某个区间[a,b],使得 y=f(x)在[a,b]上的值 域也是[a,b],则称函数 y=f(x)在定义域 D 上封闭.如果函数 R 上封闭,那么实数 k 的取值范围是 . (k≠0)在

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ”的( )

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.下列四个命题: ①任意两条直线都可以确定一个平面; ②若两个平面有 3 个不同的公共点,则这两个平面重合; ③直线 a,b,c,若 a 与 b 共面,b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; ④若直线 l 上有一点在平面 α 外,则 l 在平面 α 外. 其中错误命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

17.已知圆 M 过定点(2,0),圆心 M 在抛物线 y2=4x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的弦 为 AB,则|AB|等于( A.4 B.3 C.2 ) D.1 ,则数列{an}( )

18.已知数列{an}的通项公式为 A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

19. 如图①, 有一个长方体形状的敞口玻璃容器, 底面是边长为 20cm 的正方形, 高为 30cm, 内有 20cm 深的溶液.现将此容器倾斜一定角度 α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在

②均为容器的纵截面) 桌面上 (图①、 .

(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角 α 的最大值是多少; (2)现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液,当 α=60°时,能实现要求吗?请说明理由. 20.已知 x∈R,设 记函数 . , ,

(1)求函数 f(x)取最小值时 x 的取值范围; (2)设△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(C)=2, 的面积 S 的最大值. 21.设函数 f(x)=k?ax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 求实数 m 的值. 22.在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F(﹣1,0)的距离与 P 到定直线 x=﹣4 的 距离之比为 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为 1,求 m 的 值. (3)设点 A、B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1、B1, 且直线 OA、OB 的斜率之积等于 由. 23.设复数 zn=xn+i?yn,其中 xnyn∈R,n∈N*,i 为虚数单位,zn+1=(1+i)?zn,z1=3+4i,复 数 zn 在复平面上对应的点为 Zn. ,问四边形 ABA1B1 的面积 S 是否为定值?请说明理 ,且函数 g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2, ,求△ ABC

(1)求复数 z2,z3,z4 的值; (2)是否存在正整数 n 使得 说明理由; (3)求数列{xn?yn}的前 102 项之和. ∥ ?若存在,求出所有满足条件的 n;若不存在,请

2016 年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. = .

【考点】极限及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】分式的分子分母同时除以 n2,利用极限的性质能求出结果. 【解答】解:

=

= . 故答案为: . 【点评】本题考查极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极限性质的合理运用.

2.设集合 A={x|x2﹣2x>0,x∈R}, x∈R}(或[﹣1,0)) . 【考点】交集及其运算. 【专题】对应思想;转化法;不等式的解法及应用;集合. 【分析】化简集合 A、B,再计算 A∩B.

,则 A∩B=

{x|﹣1≤x<0,

【解答】解:集合 A={x|x2﹣2x>0,x∈R}={x|x<0 或 x>2,x∈R}, ={x|﹣1≤x<1,x∈R}, ∴A∩B={x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)).

故答案为:{x|﹣1≤x<0,x∈R}(或[﹣1,0)). 【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了集合的化简与运算问题,是基础题 目.

3.若函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1),则 a= 【考点】反函数. 【专题】方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用互为反函数的性质即可得出. 【解答】解:∵函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的反函数的图象过点(3,﹣1), ∴3=a﹣1, 解得 a= . 故答案为: .



【点评】本题考查了互为反函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

4.已知一组数据 6,7,8,9,m 的平均数是 8,则这组数据的方差是 2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】由一组数据 6,7,8,9,m 的平均数是 8,先求出 m=10,由此能求出这组数据的 方差. 【解答】解:∵一组数据 6,7,8,9,m 的平均数是 8, ∴ ∴这组数据的方差 S2= 故答案为:2. 【点评】本题考查一组数据的方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、方 差计算公式的合理运用. ,解得 m=10, [(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=2.

5.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为棱 A1B1 的中点,则异面直线 AM 与 B1C 所成的 角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示).

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出异面直线 AM 与 B1C 所成的角. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2, 则 A(2,0,0),M(2,1,2),B1(2,2,2),C(0,2,0), =(0,1,2), =(﹣2,0,2),

设异面直线 AM 与 B1C 所成的角为 θ, cosθ= = = .

∴θ=

. .

∴异面直线 AM 与 B1C 所成的角为 arccos 故答案为: .

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合 理运用.

6.若圆锥的底面周长为 2π,侧面积也为 2π,则该圆锥的体积为



【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】数形结合;综合法;立体几何. 【分析】根据底面周长计算底面半径,根据侧面积计算母线长,再根据勾股定理求出圆锥的 高,代入体积公式计算体积. 【解答】解:∵圆锥的底面周长为 2π,∴圆锥的底面半径 r=1,设圆锥母线为 l,则 πrl=2π, ∴l=2, ∴圆锥的高 h= 故答案为: . = .∴圆锥的体积 V= πr2h= .

【点评】本题考查了圆锥的结构特征,侧面积与体积计算,属于基础题.

7.已知

,则 cos(30°+2α)=



【考点】二阶矩阵;三角函数的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;矩阵和变换. = , =cos[180° 【分析】 由二阶行列式展开式得到 cos (75°﹣α) 再由诱导公式得 cos (30°+2α) ﹣2(75°﹣α)],由此利用二倍角公式能求出结果. 【解答】解:∵ ,

∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos(75°﹣α)= , cos(30°+2α)=cos[180°﹣2(75°﹣α)] =﹣cos[2(75°﹣α)] =﹣[2cos2(75°﹣α)﹣1] =﹣[2× ﹣1] = . 故答案为: . 【点评】本题考查三角函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式展开 式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用.

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 值是



【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=2016 时,不满足条件 k≤2015,退出循环,输出 S 的值,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 k=1,S=0 满足条件 k≤2015,S= 满足条件 k≤2015,S= … ,k=2 + ,k=3

满足条件 k≤2015,S= 满足条件 k≤2015,S=

+ +

+…+ +…+

,k=2015 + ,k=2016

不满足条件 k≤2015,退出循环,输出 S 的值. 由于 S= =1﹣ = + . . +…+ + =1﹣ ﹣…+

故答案为:

【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了循环结构和条件语句,用裂项法求 S 的 值是解题的关键,属于基本知识的考查.

9.过点 P(1,2)的直线与圆 x2+y2=4 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则实数 a 的值为 ﹣ .

【考点】圆的切线方程. 【专题】分类讨论;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】先判断 a≠0,可得要求的直线的方程为 y﹣2= (x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0,再 根据圆心 O 到 x﹣ay+2a﹣1=0 的距离等于半径 2,求得 a 的值. 【解答】解:当 a=0 时,直线 ax﹣y+1=0,即直线 y=1,根据所求直线与该直线垂直,且过 点 P(1,2), 故有所求的直线为 x=1,此时,不满足所求直线与圆 x2+y2=4 相切,故 a≠0. 故要求的直线的斜率为 ,要求的直线的方程为 y﹣2= (x﹣1),即 x﹣ay+2a﹣1=0.

再根据圆心 O 到 x﹣ay+2a﹣1=0 的距离等于半径 2,可得

=2,求得 a=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式,体现了分类讨论的数学 思想,属于中档题.

10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人.经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种,找出第 3 次球恰好传回给甲的情况, 由此能求出经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率. 【解答】解:用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有: 甲→乙→甲→乙;甲→乙→甲→丙;甲→乙→丙→甲;甲→乙→丙→乙; 甲→丙→甲→乙;甲→丙→甲→丙;甲→丙→乙→甲;甲→丙→乙→丙; 则共有 8 种传球方法. .

第 3 次球恰好传回给甲的有两种情况, ∴经过 3 次传球后,球仍在甲手中的概率是 p= 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. .

11.已知直角梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°.AD=2,BC=1,P 是腰 AB 上的动点, 则 的最小值为 3 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】应用题;数形结合;向量法;平面向量及应用. 【分析】先建立坐标系,以直线 AD,AB 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,设 P(0,b) (0≤b≤1),根据向量的坐标运算和模的计算得到, 题得以解决. 【解答】解:如图,以直线 AD,AB 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(2,0) 设 P(0,b)(0≤b≤1) 则 ∴ ∴ ∴ =(1,1﹣b), + =(2,﹣b), = ≥3,问

=(3,1﹣2b), = 的最小值为 3, ≥3,当且仅当 b= 时取等号,

故答案为:3.

【点评】此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵 活应用知识分析解决问题的能力.

12.已知 n∈N*,若 【考点】二项式定理的应用. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】由题意可得 由此求得 n 的值. 【解答】解:∵n∈N*,若 则 ?2+ ?22+ ?23+…+ ?2n﹣1+ ?2n=40?2, ?2+ ?22+ ?23+…+ ?2n﹣1+

,则 n=

4 .

?2n=40?2,即(1+2)n﹣1=80,



即(1+2)n﹣1=80,∴n=4, 故答案为:4. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.

13.对一切实数 x,令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为取整函数.若 ,n∈N*,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;分类法;等差数列与等比数列. 【分析】 = ,n∈N*,当 n=1,2,…,9 时,an=0;当 n=10,11,12,…, = 100 .

19 时,an=1;…,即可得出 S2009. 【解答】解: 当 n=1,2,…,9 时,an=0; 当 n=10,11,12,…,19 时,an=1;…, ∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10 =10× 则 =100. =201000, = ,n∈N*,

故答案为:100. 【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

14.对于函数 y=f(x),若存在定义域 D 内某个区间[a,b],使得 y=f(x)在[a,b]上的值 域也是[a,b],则称函数 y=f(x)在定义域 D 上封闭.如果函数 R 上封闭,那么实数 k 的取值范围是 (1,+∞) . 【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 由题意便知方程组 至少有两个解, 从而可得到 至少 (k≠0)在

有两个解,从而有 k=1+|x|>1,这样即求出 k 的取值范围. 【解答】解:根据题意知方程 即 ∴ ∴k=1+|x|>1; ∴实数 k 的取值范围为(1,+∞). 故答案为:(1,+∞). 【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解,清楚函数 y=x 的定义域和值域相同. 至少有两个不同实数根;

至少有两个实数根; ;

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ”的( )

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:若 φ= 时,y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数; +kπ,k∈Z;

若 y=sin(x+φ)为偶函数,则 φ=

∴“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ= 故选 B.

”的必要不充分条件,

【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用三角函数的性质是解决本题的关键, 难度不大.

16.下列四个命题: ①任意两条直线都可以确定一个平面; ②若两个平面有 3 个不同的公共点,则这两个平面重合; ③直线 a,b,c,若 a 与 b 共面,b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; ④若直线 l 上有一点在平面 α 外,则 l 在平面 α 外. 其中错误命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】两条异面直线不能确定一个平面;若两个平面有 3 个共线的公共点,则这两个平面 相交;若 a 与 b 共面,b 与 c 共面,则 a 与 c 不一定共面;若直线 l 上有一点在平面 α 外, 则由直线与平面的位置关系得 l 在平面 α 外. 【解答】解:在①中,两条异面直线不能确定一个平面,故①错误; 在②中,若两个平面有 3 个不共线的公共点,则这两个平面重合, 若两个平面有 3 个共线的公共点,则这两个平面相交,故②错误; 在③中,直线 a,b,c,若 a 与 b 共面,b 与 c 共面,则 a 与 c 不一定共面, 如四面体 S﹣ABC 中,SA 与 AB 共面,AB 与 BC 共面,但 SA 与 BC 异面,故③错误; 在④中,若直线 l 上有一点在平面 α 外,则由直线与平面的位置关系得 l 在平面 α 外,故 ④正确. 故选:C.

【点评】本题考查命题真假的判断, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间中线线、线面、 面面间的位置关系的合理运用.

17.已知圆 M 过定点(2,0),圆心 M 在抛物线 y2=4x 上运动,若 y 轴截圆 M 所得的弦 为 AB,则|AB|等于( A.4 B.3 C.2 ) D.1

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】画出图形,可根据条件设 ,并可得出圆 M 的半径,从而得出圆

M 的方程为 即求出 A,B 点的坐标,根据 A,B 点的坐标便可得出|AB|. 【解答】解:如图,圆心 M 在抛物线 y2=4x 上;

, 这样令 x=0 便可求出 y,

∴设

,r=



∴圆 M 的方程为:



令 x=0,



∴ ∴y=y0±2;



∴|AB|=y0+2﹣(y0﹣2)=4. 故选:A. 【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系,圆的半径和圆心,以及圆的标准方程,直 线和圆的交点的求法,坐标轴上的两点的距离.

18.已知数列{an}的通项公式为 A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 【考点】数列的函数特性. 【专题】探究型. 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式,令

,则数列{an}(



,换元后是二次函数解析式,

内层是指数函数,由指数函数的性质可以求出 t 的大致范围,在求出的范围内分析二次函数 的最值情况. 【解答】解: 令 ,则 t 是区间(0,1]内的值,而 = ,

所以当 n=1,即 t=1 时,an 取最大值,使 项, 所以该数列既有最大项又有最小项. 故选 C.

最接近 的 n 的值为数列{an}中的最小

【点评】本题考查了数列的函数特性,考查了换元法,解答此题的关键是由外层二次函数的 最值情况断定 n 的取值,从而说明使数列取得最大项和最小项的 n 都存在,属易错题.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. 如图①, 有一个长方体形状的敞口玻璃容器, 底面是边长为 20cm 的正方形, 高为 30cm, 内有 20cm 深的溶液.现将此容器倾斜一定角度 α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在

②均为容器的纵截面) 桌面上 (图①、 .

(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角 α 的最大值是多少; (2)现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液,当 α=60°时,能实现要求吗?请说明理由. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】转化思想;数形结合法;立体几何. 【分析】(1)根据题意画出图形,结合图形,过 C 作 CF∥BP,交 AD 所在直线于 F,且 点 F 在线段 AD 上,用 tanα 表示出 DF、AF,求出容器内溶液的体积,列出不等式求出溶 液不会溢出时 α 的最大值; (2)当 α=60°时,过 C 作 CF∥BP,交 AB 所在直线于 F,则点 F 在线段 AB 上,溶液纵截 面为 Rt△ CBF,由此能求出倒出的溶液量,即可得出结论.

【解答】解:(1)根据题意,画出图形,如图 a 所示,

过 C 作 CF∥BP,交 AD 所在直线于 F, 在 Rt△ CDF 中,∠FCD=α,CD=20cm,DF=20tanα, 且点 F 在线段 AD 上,AF=30﹣20tanα, 此时容器内能容纳的溶液量为: S 梯形 ABCF?20= =(30﹣20tanα+30)?20?10 =2000(6﹣2tanα)(cm3); 而容器中原有溶液量为 20×20×20=8000(cm3), ?20

令 2000(6﹣2tanα)≥8000, 解得 tanα≤1, 所以 α≤45°, 即 α 的最大角为 45°时,溶液不会溢出; (2)如图 b 所示,当 α=60°时, 过 C 作 CF∥BP,交 AB 所在直线于 F, 在 Rt△ CBF 中,BC=30cm,∠BCF=30°,BF=10 ∴点 F 在线段 AB 上,故溶液纵截面为 Rt△ CBF, ∵S△ ABF= BC?BF=150 容器内溶液量为 150 cm2, cm3, )cm3<3000cm3, cm,

×20=300

倒出的溶液量为(8000﹣3000 ∴不能实现要求.

【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题,解题时要认真审题,注意空 间思维能力的培养,是综合性题目.

20.已知 x∈R,设 记函数 .





(1)求函数 f(x)取最小值时 x 的取值范围; (2)设△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(C)=2, 的面积 S 的最大值. 【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 【专题】综合题;转化思想;向量法;综合法;解三角形. 【分析】(1)先根据向量的数量积的运算,以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到 f(x)= ,再根据正弦函数的性质即可求出答案; ,求△ ABC

(2)先求出 C 的大小,再根据余弦定理和基本不等式,即可求出 ab≤3,根据三角形的面积 公式即可求出答案. 【解答】解: (1) = . , . , , . ,k∈Z,

当 f(x)取最小值时, 所以,所求 x 的取值集合是 (2)由 f(C)=2,得 因为 0<C<π,所以 所以 ,

在△ ABC 中,由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC, 得 3=a2+b2﹣ab≥ab,即 ab≤3, 所以△ ABC 的面积 因此△ ABC 的面积 S 的最大值为 . ,

【点评】 本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式, 余弦定理和基 本不等式,三角形的面积公式,属于中档题.

21.设函数 f(x)=k?ax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 求实数 m 的值. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质. 【专题】分类讨论;分析法;函数的性质及应用. 【分析】(1)方法一、由奇函数的性质:f(0)=0,解方程可得 k=1,检验成立;方法二、 运用奇函数的定义,由恒等式的性质即可得到 k=1; ,且函数 g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣2,

(2)求得 a=3,即有 g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x),令 t=3x﹣3﹣x,则 t 是关于 x 的增 函数,可得 ,h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2,讨论对称轴和区间的关系,

运用单调性,可得最小值,解方程可得 m 的值. 【解答】(1)解法一:函数 f(x)=k?ax﹣a﹣x 的定义域为 R, f(x)是奇函数,所以 f(0)=k﹣1=0,即有 k=1. 当 k=1 时,f(x)=ax﹣a﹣x,f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x), 则 f(x)是奇函数,故所求 k 的值为 1; 解法二:函数 f(x)=k?ax﹣a﹣x 的定义域为 R, 由题意,对任意 x∈R,f(﹣x)=﹣f(x), 即 k?a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k?ax,(k﹣1)(ax+a﹣x)=0, 因为 ax+a﹣x>0,所以,k=1. (2)由 ,得 ,解得 a=3 或 (舍).

所以 g(x)=32x﹣3﹣2x﹣2m(3x﹣3﹣x), 令 t=3x﹣3﹣x,则 t 是关于 x 的增函数, g(x)=h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2, 当 解得 当 综上, 时,则当 ; 时,则当 t=m 时, . ,m=±2(舍去). 时, , ,

【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用,考查可化为二次函数的最值的求法,注意运 用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题.

22.在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F(﹣1,0)的距离与 P 到定直线 x=﹣4 的 距离之比为 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M(m,0)(0<m<2)的距离的最小值为 1,求 m 的 值.

(3)设点 A、B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1、B1, 且直线 OA、OB 的斜率之积等于 由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)设 P(x,y),由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点 P 的轨迹 C 的方程. (2)设 N(x,y),利用两点间距离公式能求出 m. (3)法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 B 在椭圆 C 上,得 ,得 ,由点 A、 ,问四边形 ABA1B1 的面积 S 是否为定值?请说明理

,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条 . ,

件能求出四边形 ABA1B1 的面积为定值

y1) B y2) B1 法二: 设A (x1, , (x2, , 则 A1 (﹣x1, ﹣y1) , (﹣x2, ﹣y2) , 由 ,点 A、B 在椭圆 C 上,得



.由此利用点到直线的距离公式、椭圆 . ,

的对称性,结合已知条件能求出四边形 ABA1B1 的面积为定值

y1) B y2) B1 法三: 设A (x1, , (x2, , 则 A1 (﹣x1, ﹣y1) , (﹣x2, ﹣y2) , 由 B 在椭圆 C 上, , 点 A、 得 .



. 由此利用行列式性质及椭圆的对称性,

能求出四边形 ABA1B1 的面积为定值 【解答】解:(1)设 P(x,y),

∵动点 P 到定点 F(﹣1,0)的距离与 P 到定直线 x=﹣4 的距离之比为 ,

∴由题意, 化简得 3x2+4y2=12,… ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 (2)设 N(x,y),

,…

. …

则 = ①当 0<4m≤2,即 解得 , ,此时 ,﹣2≤x≤2. …

时,当 x=4m 时,|MN|2 取最小值 3(1﹣m2)=1, ,故舍去. …

②当 4m>2,即

时,当 x=2 时,|MN|2 取最小值 m2﹣4m+4=1,

解得 m=1,或 m=3(舍). … 综上,m=1. (3)解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则由 ,得 ,, ,

∵点 A、B 在椭圆 C 上,∴







=

,化简得

. …

①当 x1=x2 时,则四边形 ABA1B1 为矩形,y2=﹣y1,则





,得 . …

,解得





S=|AB|?|A1B|=4|x1||y1|=

②当 x1≠x2 时,直线 AB 的方向向量为 直线 AB 的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0, 原点 O 到直线 AB 的距离为



∴△AOB 的面积



根据椭圆的对称性,四边形 ABA1B1 的面积 S=4S△ AOB=2|x1y2﹣x2y1|,… ∴

=

,∴



∴四边形 ABA1B1 的面积为定值





解法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2), 由 ,得 ,…

∵点 A、B 在椭圆 C 上,所以







=

,化简得

. …

直线 OA 的方程为 y1x﹣x1y=0,点 B 到直线 OA 的距离 △ ABA1 的面积 根据椭圆的对称性,四边形 ABA1B1 的面积 ∴ ,… =2|x1y2﹣x2y1|,…



= ∴四边形 ABA1B1 的面积为定值 . …

,∴



解法三:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A1(﹣x1,﹣y1),B1(﹣x2,﹣y2) 由 ,得 ,…

∵点 A、B 在椭圆 C 上,所以







=

,化简得

. …

△ ABA1 的面积

=|x1y2﹣x2y1|,…

根据椭圆的对称性,四边形 ABA1B1 的面积 ∴

=2|x1y2﹣x2y1|,…

=

,∴



∴四边形 ABA1B1 的面积为定值

. …

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查四边形面积是否为 定值的求法与证明,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式、椭圆的对称 性的合理运用.

23.设复数 zn=xn+i?yn,其中 xnyn∈R,n∈N*,i 为虚数单位,zn+1=(1+i)?zn,z1=3+4i,复 数 zn 在复平面上对应的点为 Zn. (1)求复数 z2,z3,z4 的值; (2)是否存在正整数 n 使得 说明理由; (3)求数列{xn?yn}的前 102 项之和. 【考点】数列的求和;复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】(1)利用已知条件之间求解 z2,z3,z4. (2)求出 (3) 通过 然后求解数列的和即可. 【解答】本题,第 1 小题,第 2 小题,第 3 小题. 解:(1)z2=(1+i)(3+4i)=﹣1+7i,z3=﹣8+6i,z4=﹣14﹣2i.… (算错一个扣,即算对一个得,算对两个得 3 分) (2)若 ∥ ,则存在实数 λ,使得 ,故 zn=λ?z1, ,利用复数的幂运算,求解即可. yn+4=﹣4yn, , 推出 xn+4=﹣4xn, 得到 xn+4yn+4=16xnyn, ∥ ?若存在,求出所有满足条件的 n;若不存在,请

即(xn,yn)=λ(x1,y1),… 又 zn+1=(1+i)zn,故 ,即(1+i)n﹣1=λ 为实数,… …

故 n﹣1 为 4 的倍数,即 n﹣1=4k,n=4k+1,k∈N. (3)因为 所以 xn+4yn+4=16xnyn,… 又 x1y1=12,x2y2=﹣7,x3y3=﹣48,x4y4=28, x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100

,故 xn+4=﹣4xn,yn+4=﹣4yn,…

=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100) = ,…





,…

所以数列{xnyn}的前 102 项之和为 1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.… 【点评】本题考查复数的基本运算,复数的代数形式混合运算,考查数列求和,考查计算能 力.


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