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高考必备——高等数学公式手册


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高等数学公式手册
一些初等函数: 一些初等函数: 两个重要极限: 两个重要极限:

ex ? e?x 2 x e + e ?x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx = = chx e x + e ? x 双曲正弦 : shx = arshx = ln( x + x 2 + 1) archx = ± ln( x + x 2 ? 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1? x
三角函数公式: 三角函数公式: 诱导公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式: 和差角公式:

lim

sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x

sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα

cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα

tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα

ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα

·和差化积公式: 和差化积公式:

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 m tgα ? tgβ ctgα ? ctgβ m 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα
·倍角公式: 倍角公式:

sin α + sin β = 2 sin

α +β

2 2 α+β α?β sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α ?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α ?β cos α ? cos β = 2 sin sin 2 2

cos

α ?β

-1-

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sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α = cos 2 α ? sin 2 α ctg 2α ? 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 ? tg 2α
·半角公式: 半角公式:

sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α ? 3 cosα tg 3α = 3tgα ? tg 3α 1 ? 3tg 2α

sin tg

α
2

=± =±

α 1 ? cosα 1 + cosα              cos = ± 2 2 2 α 1 ? cosα 1 ? cosα sin α 1 + cosα 1 + cosα sin α = =   ctg = ± = = 1 + cosα sin α 1 + cos α 2 1 ? cosα sin α 1 ? cosα
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
·余弦定理: c = a + b ? 2ab cos C 余弦定理:
2 2 2

α
2

·正弦定理: 正弦定理:

·反三角函数性质: arcsin x = 反三角函数性质: 导数公式: 导数公式:

π
2

? arccos x   arctgx =

π
2

? arcctgx

(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = ? csc x (sec x)′ = sec x ? tgx (csc x)′ = ? csc x ? ctgx
2

(arcsin x)′ =

1

(a x )′ = a x ln a (log a x)′ =
基本积分表: 基本积分表:

1 x ln a

1? x2 1 (arccos x)′ = ? 1? x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = ? 1+ x2

-2-

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∫ tgxdx = ? ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x ? ctgx + C
dx 1 x = arctg +C 2 +x a a dx 1 x?a ∫ x 2 ? a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 ? x 2 = 2a ln a ? x + C dx x ∫ a 2 ? x 2 = arcsin a + C

∫ cos ∫ sin

dx
2

x x

= ∫ sec 2 xdx = tgx + C = ∫ csc 2 xdx = ?ctgx + C

dx
2

∫a

∫ sec x ? tgxdx = sec x + C ∫ csc x ? ctgxdx = ? csc x + C
x ∫ a dx =

2

ax +C ln a

∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫
dx x ±a
2 2

= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C

π
2

π
2

I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =
0 0

n ?1 I n?2 n

∫ ∫ ∫
sin x =

x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 2 2 2 x ? a dx = x ? a ? ln x + x 2 ? a 2 + C 2 2 x 2 a2 x a 2 ? x 2 dx = a ? x 2 + arcsin + C 2 2 a x 2 + a 2 dx =

三角函数的有理式积分: 三角函数的有理式积分:

2u 1? u 2 x 2du ,  x = cos , u = tg , dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: ——莱布尼兹
k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( n?k ) v ( k ) k =0 n

= u ( n ) v + nu ( n?1) v′ +

n(n ? 1) ( n?2) n(n ? 1)L(n ? k + 1) ( n?k ) ( k ) u v′′ + L + u v + L + uv ( n ) 2! k!

中值定理与导数应用: 中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理:f (b) ? f (a) = f ′(ξ )(b ? a) f (b) ? f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理: = F (b) ? F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率: 曲率:
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弧微分公式:ds = 1 + y ′ 2 dx, 其中y ′ = tgα K 平均曲率: = ?α .?α : 从M点到M ′点,切线斜率的倾角变化量;?s:MM ′弧长。 ?s y ′′ ?α dα M点的曲率:K = lim = = . ?s →0 ?s ds (1 + y ′ 2 ) 3

直线:K = 0; 1 半径为a的圆:K = . a
定积分的近似计算: 定积分的近似计算:
b

矩形法: f ( x) ≈ ∫
a

b?a ( y0 + y1 + L + y n?1 ) n b?a 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n?1 ] n 2 b?a [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n?2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n?1 )] 3n

梯形法: f ( x) ≈ ∫
a b

b

抛物线法: f ( x) ≈ ∫
a

定积分应用相关公式: 定积分应用相关公式:

功:W = F ? s 水压力:F = p ? A m1m2 , k为引力系数 r2 b 1 函数的平均值: = y f ( x)dx b?a ∫ a 引力:F = k 1 2 均方根: ∫ f (t )dt b?a a
空间解析几何和向量代数: 空间解析几何和向量代数:
b

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空间2点的距离:d = M 1 M 2 = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影: ju AB = AB ? cos ? ,?是 AB与u轴的夹角。 Pr v v v v Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 v v v v a ? b = a ? b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角: θ = cos i v v v c = a × b = ax bx j ay by a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z ? bx + b y + bz
2 2 2 2 2 2

k v v v v v v a z , c = a ? b sin θ .例:线速度:v = w × r . bz ay by cy az v v v bz = a × b ? c cos α ,α为锐角时, cz

ax v vv v v v 向量的混合积: b c ] = (a × b ) ? c = bx [a cx 代表平行六面体的体积。

1 2 3

A( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 x y z + + =1 a b c d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2

v n = { A , B , C }, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )

x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = = t, m n p

v s = { m , n , p };

? x = x 0 + mt ? ? y = y 0 + nt ? z = z + pt 0 ?

1 2 3

x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 x2 y2 + = z, p, q 2 p 2q x2 y2 z2 + ? =1 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ? + =1 a2 b2 c2

多元函数微分法及应用
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全微分:dz =

?z ?z ?u ?u ?u dx + dy   du = dx + dy + dz ?x ?y ?x ?y ?z

全微分的近似计算:?z ≈ dz = f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y 多元复合函数的求导法: dz ?z ?u ?z ?v z = f [u (t ), v(t )]    = ? + ?   dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z = f [u ( x, y ), v( x, y )]    =   ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x 当u = u ( x, y ),v = v( x, y )时, du = ?u ?u ?v ?v dx + dy   dv = dx + dy  ?x ?y ?x ?y

隐函数的求导公式: F F F dy dy d2y ? ? 隐函数F ( x, y ) = 0,   = ? x ,   2 = (? x )+ (? x ) ? ?x Fy ?y Fy dx dx Fy dx Fy F ?z ?z 隐函数F ( x, y, z ) = 0,  = ? x ,   = ? ?x Fz ?y Fz ?F ? F ( x, y , u , v ) = 0 ? ( F , G ) ?u 隐函数方程组:    J = = ? ?G ? (u , v) ?G ( x, y, u , v) = 0 ?u ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) =? ?      = ? ? ?x J ? ( x, v ) ?x J ? (u , x) ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G ) =? ?      = ? ? ?y J ? ( y, v) ?y J ? (u , y )
微分法在几何上的应用: 微分法在几何上的应用:

?F ?v = Fu ?G Gu ?v

Fv Gv

? x = ? (t ) x?x y ? y0 z ? z 0 ? 空间曲线? y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程: 0 = = ? ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) ? z = ω (t ) ? 在点M处的法平面方程:? ′(t 0 )( x ? x0 ) + ψ ′(t 0 )( y ? y0 ) + ω ′(t 0 )( z ? z 0 ) = 0 ? v Fy Fz Fz Fx Fx ? F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { , , 若空间曲线方程为: ? G y G z Gz G x Gx ?G ( x, y, z ) = 0 ? 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 ),则: v 1、过此点的法向量:n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x ? x0 y ? y0 z ? z0 3、过此点的法线方程: = = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )
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Fy Gy

}

2、过此点的切平面方程:Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z ? z 0 ) = 0

seniormath 方向导数与梯度: 方向导数与梯度:

?f ?f ?f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为: = cos ? + sin ? ?l ?x ?y 其中?为x轴到方向l的转角。 ?f v ?f v i+ j ?x ?y v v ?f v v 它与方向导数的关系是: = grad f ( x, y ) ? e ,其中e = cos ? ? i + sin ? ? j ,为l方向上的 ?l 单位向量。 ?f ∴ 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ?l 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度:gradf ( x, y ) =
多元函数的极值及其求法: 多元函数的极值及其求法:

设f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y 0 ) = 0,令:f xx ( x0 , y0 ) = A,  f xy ( x0 , y0 ) = B,  f yy ( x0 , y 0 ) = C ? ? A < 0, ( x0 , y0 )为极大值 2 ? ? AC ? B > 0时, ? A > 0, ( x0 , y0 )为极小值 ? ? 2 则: AC ? B < 0时,      无极值 ? ? AC ? B 2 = 0时,        不确定 ? ? ?
重积分及其应用: 重积分及其应用: 及其应用

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ
D D′

曲面z = f ( x, y )的面积A = ∫∫
D

? ?z ? ? ?z ? 1 + ? ? + ? ? dxdy ? ? ? ?x ? ? ?y ?
2

2

M 平面薄片的重心:x = x = M

∫∫ xρ ( x, y )dσ
D

∫∫ ρ ( x, y )dσ
D 2 D

,   y =

My M

=

∫∫ yρ ( x, y )dσ
D

∫∫ ρ ( x, y)dσ
D D

平面薄片的转动惯量:对于x轴I x = ∫∫ y ρ ( x, y )dσ ,   对于y轴I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dσ 平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a ), (a > 0)的引力:F = {Fx , Fy , Fz },其中: Fx = f ∫∫
D

ρ ( x, y ) xdσ
(x + y + a )
2 2 3 2 2

,  Fy = f ∫∫
D

ρ ( x, y ) ydσ
(x + y + a )
2 2 3 2 2

,  Fz = ? fa ∫∫
D

ρ ( x, y ) xdσ
(x + y + a )
2 2 3 2 2

柱面坐标和球面坐标: 柱面坐标和球面坐标:

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seniormath

? x = r cosθ ? 柱面坐标:y = r sin θ ,     f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,θ , z )rdrdθdz , ? ∫∫∫ ? ? ? z=z ? 其中:F (r ,θ , z ) = f (r cosθ , r sin θ , z ) ? x = r sin ? cosθ ? 球面坐标:y = r sin ? sin θ ,  dv = rd? ? r sin ? ? dθ ? dr = r 2 sin ?drd?dθ ? ? z = r cos ? ?

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,? ,θ )r
? ?

2

sin ?drd?dθ = ∫ dθ ∫ d?
0 0



π

r (? ,θ )

∫ F (r ,? ,θ )r
0

2

sin ?dr

重心:x =

1 M

∫∫∫ xρdv,   y = M ∫∫∫ yρdv,   z = M ∫∫∫ zρdv,  其中M = x = ∫∫∫ ρdv
? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?

1

1

转动惯量:I x = ∫∫∫ ( y + z ) ρdv,  I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρdv,  I z = ∫∫∫ ( x + y ) ρdv
曲线积分: 曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): ? x = ? (t ) 设f ( x, y )在L上连续,L的参数方程为: ,    ≤ t ≤ β ), 则: (α ? ? y = ψ (t )


L

? x=t f ( x, y )ds = ∫ f [? (t ),ψ (t )] ? ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt   < β )   特殊情况: (α ? ? y = ? (t ) α

β

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第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): ? x = ? (t ) 设L的参数方程为? ,则: ? y = ψ (t )

∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy = ∫{P[? (t ),ψ (t )]? ′(t ) + Q[? (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt
L

β

α

两类曲线积分之间的关系:Pdx + Qdy = ∫ ( P cosα + Q cos β )ds,其中α和β分别为 ∫
L L

L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式: ( ∫∫
D

?Q ?P ?Q ?P ? )dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式: ( ∫∫ ?x ? ?y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy ?x ?y L D L

?Q ?P 1 当P = ? y, Q = x,即: ? = 2时,得到D的面积:A = ∫∫ dxdy = ∫ xdy ? ydx ?x ?y 2L D ·平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域; 2、P( x, y ),Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数,且 减去对此奇点的积分,注意方向相反! ·二元函数的全微分求积: 在 ?Q ?P = 时,Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y
( x, y )

?Q ?P = 。注意奇点,如(0,0),应 ?x ?y

u ( x, y ) =
曲面积分: 曲面积分:

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy,通常设x
( x0 , y 0 )

0

= y0 = 0。

2 对面积的曲面积分: f ( x, y, z )ds = ∫∫ f [ x, y, z ( x, y )] 1 + z x ( x, y ) + z 2 ( x, y )dxdy y ∫∫ ∑ Dxy

对坐标的曲面积分: P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy,其中: ∫∫


∫∫ R( x, y, z)dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∑ Dxy

∫∫ P( x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑ D yz

∫∫ Q( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x, y( z, x), z ]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
∑ Dzx

两类曲面积分之间的关系: Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ )ds ∫∫
∑ ∑

高斯公式: 高斯公式:

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∫∫∫ ( ?x + ?y
?

?P

?Q

+

?R ) dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ?z ∑ ∑

高斯公式的物理意义 — —通量与散度: v ? P ? Q ?R v 散度: div ν = + + ,即:单位体积内所产生 的流体质量,若 div ν < 0, 则为消失 ... ?x ? y ?z v v 通量: A ? n ds = ∫∫ An ds = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds , ∫∫
∑ ∑ ∑

v 因此,高斯公式又可写 成: div Adv = ∫∫ An ds ∫∫∫
? ∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: ——曲线积分与曲面积分的关系

∫∫ ( ?y ? ?z )dydz + ( ?z ? ?x )dzdx + ( ?x ? ?y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∑ Γ

?R

?Q

?P

?R

?Q

?P

dydz dzdx dxdy cosα ? ? ? ? 上式左端又可写成: ∫∫ ?x ?y ?z = ∫∫ ?x ∑ ∑ P Q R P

cos β ? ?y Q

cos γ ? ?z R

?R ?Q ?P ?R ?Q ?P 空间曲线积分与路径无关的条件: = ,  = ,  = ?y ?z ?z ?x ?x ?y i j k v ? ? ? 旋度:rotA = ?x ?y ?z P Q R v v v 向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量:Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A ? t ds ∫
Γ Γ

常数项级数: 常数项级数:

1? qn 1? q (n + 1)n 等差数列:+ 2 + 3 + L + n = 1 2 1 1 1 调和级数:+ + + L + 是发散的 1 2 3 n 等比数列:+ q + q 2 + L + q n?1 = 1
级数审敛法: 级数审敛法:

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1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法(柯西判别法): ? ρ < 1时,级数收敛 ? 设:ρ = lim n u n ,则? ρ > 1时,级数发散 n→∞ ? ρ = 1时,不确定 ? 2、比值审敛法: ? ρ < 1时,级数收敛 U n+1 ? 设:ρ = lim ,则? ρ > 1时,级数发散 n→∞ U n ? ρ = 1时,不确定 ? 3、定义法: s n = u1 + u 2 + L + u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发散。
n→∞

交错级数u1 ? u 2 + u 3 ? u 4 + L (或 ? u1 +u 2 ?u 3 + L, u n > 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理: ? u n ≥ u n+1 ? 如果交错级数满足 ? ,那么级数收敛且其和s ≤ u1 , 其余项rn的绝对值 rn ≤ u n+1。 ?lim u n = 0 ?n → ∞
绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:

(1)u1 + u 2 + L + u n + L,其中u n为任意实数; (2) u1 + u 2 + u 3 + L + u n + L 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数; 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1 (?1) n 调和级数: 发散,而∑ 收敛; ∑n n 1   级数: 2 收敛; ∑n p≤1时发散 1   p级数: p    ∑n p > 1时收敛
幂级数: 幂级数:

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1 x < 1时,收敛于 1? x 1 + x + x + x + L + x + L   x ≥ 1时,发散
2 3 n

对于级数(3)a0 + a1 x a 2 x 2 + L + a n x n + L,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 + x < R时收敛 数轴上都收敛,则必存在R,使 x > R时发散,其中R称为收敛半径。 x = R时不定

ρ ≠ 0时,R =

1

a 求收敛半径的方法:设 lim n+1 = ρ,其中a n,an+1是(3)的系数,则 ρ = 0时,R = +∞ n →∞ a n ρ = +∞时,R = 0
函数展开成幂级数: 函数展开成幂级数:

ρ

函数展开成泰勒级数:f ( x) = f ( x0 )( x ? x0 ) +

f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 + L + ( x ? x0 ) n + L 2! n!

f ( n+1) (ξ ) 余项:Rn = ( x ? x0 ) n+1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: Rn = 0 lim n→∞ (n + 1)! x0 = 0时即为麦克劳林公式:f ( x) = f (0) + f ′(0) x +
一些函数展开成幂级数: 一些函数展开成幂级数:

f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n x +L+ x +L 2! n!

m(m ? 1) 2 m(m ? 1)L(m ? n + 1) n x +L+ x + L    1 < x < 1) (? 2! n! x3 x5 x 2 n ?1 sin x = x ? + ? L + (?1) n?1 + L     < x < +∞) (?∞ 3! 5! (2n ? 1)! (1 + x) m = 1 + mx +
欧拉公式: 欧拉公式:

? e ix + e ? ix cos x = ? ? 2 e ix = cos x + i sin x   或? ix ?ix ?sin x = e ? e ? 2 ?
三角级数: 三角级数:

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n=1 n =1 其中,a0 = aA0,an = An sin ? n,bn = An cos ? n,ωt = x。 f (t ) = A0 + ∑ An sin(nωt + ? n ) = 正交性:sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x Lsin nx, cos nx L任意两个不同项的乘积在[?π , π ] 1, 上的积分=0。
傅立叶级数: 傅立叶级数:
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f ( x) =

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx),周期 = 2π 2 n=1

π ? 1 a n = ∫ f ( x) cos nxdx    = 0,1,2L) (n ? π ?π ? 其中? π ?b = 1 f ( x)sinnxdx    = 1,2,3L) (n ? n π ∫ ?π ?

π2 1 1 1+ 2 + 2 + L = 8 3 5   π2 1 1 1 + 2 + 2 +L = 22 4 6 24
正弦级数:a n = 0,bn = 余弦级数:bn = 0,an =

1+

π2 1 1 1 + 2 + 2 + L = (相加) 6 22 3 4 π2 1 1 1 1 ? 2 + 2 ? 2 + L = (相减) 2 3 4 12
π

2

π
2

∫ f ( x) sin nxdx  n = 1,2,3L  f ( x) = ∑ b
0 0

n

sin nx是奇函数

f ( x) cos nxdx  n = 0,1,2L  f ( x) = π∫

π

a0 + ∑ a n cos nx是偶函数 2

的周期函数的傅立叶级数: 周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数:

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seniormath

f ( x) =

a0 ∞ nπx nπ x + ∑ (a n cos + bn sin ),周期 = 2l 2 n=1 l l

l ? 1 nπ x dx    = 0,1,2L) (n ?a n = ∫ f ( x) cos l ?l l ? 其中? l ?b = 1 f ( x) sin nπx dx    = 1,2,3L) (n ? n l∫ l ?l ?

微分方程的相关概念: 微分方程的相关概念:

一阶微分方程:y ′ = f ( x, y )  或 P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g ( y )dy = f ( x)dx的形式,解法:

∫ g ( y )dy =∫ f ( x)dx  得:G ( y ) = F ( x) + C称为隐式通解。
dy y = f ( x, y ) = ? ( x, y ),即写成 的函数,解法: dx x y dy du du dx du y 设u = ,则 = u + x ,u + = ? (u ), ∴ = 分离变量,积分后将 代替u, x dx dx dx x ? (u ) ? u x 齐次方程:一阶微分方程可以写成 即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程: 一阶线性微分方程:

dy 1、一阶线性微分方程: + P( x) y = Q( x) dx
? P ( x ) dx 当Q( x) = 0时, 为齐次方程,y = Ce ∫

当Q( x) ≠ 0时,为非齐次方程,y = ( ∫ Q( x)e ∫ dy 2、贝努力方程: + P( x) y = Q( x) y n, ≠ 0,1) (n dx
全微分方程: 全微分方程:

P ( x ) dx

? P ( x ) dx dx + C )e ∫

如果P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0中左端是某函数的全微分方程,即: ?u ?u du ( x, y ) = P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0,其中: = P( x, y ), = Q( x, y ) ?x ?y ∴ u ( x, y ) = C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程: 二阶微分方程:

f ( x) ≡ 0时为齐次 d2y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x), 2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*) y ′′ + py ′ + qy = 0,其中p, q为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: )r 2 + pr + q = 0,其中r 2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y ′′, y ′, y的系数; (? 2、求出(?)式的两个根r1 , r2
- 14 -

seniormath

3、根据r1 , r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r1,r2的形式
两个不相等实根 ( p ? 4q > 0)
2

(*)式的通解

y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)

两个相等实根 ( p ? 4q = 0)
2

一对共轭复根 ( p ? 4q < 0)
2

r1 = α + iβ,r2 = α ? iβ 4q ? p 2 p α = ? ,β = 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程

y ′′ + py ′ + qy = f ( x),p, q为常数 f ( x) = e λx Pm ( x)型,λ为常数; f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos ωx + Pn ( x) sin ωx]型

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