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反证法(上课)


路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘?

王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的

推理方法?

王戎回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.”小伙伴摘取一 个尝了一下,果然是苦李.

实例2:南方某风水先生到北方看风水,恰逢天降 大雪。乃作一歪诗:“天公下雪不下雨,雪到地上 变成雨;早知雪要变成雨,何不当初就下雨。”他 的歪诗又恰被一牧童听到,亦作一打油诗讽刺风水 先生 :“先生吃饭不吃屎,饭到肚里变成屎;早知饭要变成屎,何不当初就吃屎。”
实际上,小牧童正是巧妙运用了反证法,驳斥了风水先生否定 事物普遍运动的规律,只强调结果,不要变化过程的形而上学 的错误观点:假设风水先生说的是真理,只强调变化最后的结 果,不要变化过程也可,那么,根据他的逻辑,即可得出先生 当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。 那么,显然,他说的就是谬论了。 这就是反证法的威力,一个原本非常复杂难证的哲学问题 被牧童运用了“以其人之道,还其人之身”的反证法迎刃而解 了。

三国时期,蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时,派 大将魏延领兵去攻打魏国,只留下少数老弱 军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵 马杀来,靠几个老弱军士出城应战,无异以 卵击石,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,决 定打开城门,让老弱军士在城门口洒扫道路, 自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态 度从容,琴声幽雅,司马懿见此情景,心中 疑虑:“诸葛亮一生精明过人,谨慎有余, 从不冒险,今天如此这般,城内恐怕必有伏 兵,故意诱我入城,绝不能中计也。”

数学中常见实例分析:

1.a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 求证:a, b中至少有 1 一个不大于 2 2.a, b, c不全为零,a ? b ? c ? 0, 求证:a, b, c 中至少有一个大于 0

先假设结论的反面是正确 的,然后通过逻辑推理,推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾,说明假设不 成立,从而得到原结论正确.

这种证明方法叫做

一、探究定义
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.
反证法:先假设命题不成立,

从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定 义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立,是错误的, 即所求证的命题正确.这样的证明方法叫做反证法

反证法是一种常用的间接证明方法.
肯定条件p 否定结论 q
导致逻辑矛盾
归缪矛盾:

“﹁q”为假 “q”为真

正确的推理

(1)与已知条件矛盾;

(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。

常用的互为否定的表述方式: ≥1 <1
3 < 3 至少有一个≥ —— 一个也没有 ≥n <n 至多有两个 至少有三个——
≤1 至多有(n-1) >1 至少有n个—— 个 最多有一个—— 至少有两个

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于

否定词
不等于 不是

原词语 任意的
至少有一个

否定词
某个

是 都是 大于 小于

一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立

写出下列结论的反面情况:
(1)a∥b; (2)AB=CD;

(3)x是负数;
(4)a>b; (5)∠A是锐角;

写出下列结论的反面情况: (6)三角形的外角中,至少

有两个钝角.
(7)三角形中最多有一个角

是直角.

试一试

求证:在一个三角形中, 至少有一个内角小于或等 于60°. A

B

C

证明:假设结论不成立,即:
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°, ∠C ___ 60°,

则∠A+∠B+∠C>180 °.这与 三角形内角和等于 180 ° _____________________相矛盾.

所以______ 假设 不成立,所求证的

结论成立.



< <

试一试:

已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角(如图) 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B

用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A

证明:假设所求的结论不成立,即 < 60 ° ,∠ B__60 < ∠A__ ° ,∠ C < __60 ° 则∠A+∠ B+∠ C<180 ° 180 °” 这与“三角形的三个内角之和等于 ______________________ 相矛盾 假设 不成立, 所求证的结论成立 所以______

C

试一试
已知:如图,直线a,b被直线c所截, ∠1 ≠ ∠2

c
1

a b

求证:a∥b
2

证明:假设结论不成立,则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴a∥b

二、应用新知 例1 证明:如果a ? b ? 0, 则 a否定要全面 ? b
证明: 假设

a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
与已知a ? b ? 0矛盾

(1)若 a < b ? a ? b
与已知a ? b ? 0矛盾 (2)若 a = b ? a = b,
所以假设错误,故原命题

a? b

成立

三归纳步骤
反证法的一般步骤
分清条件和结论 先假设命题不成立 从假设出发,经过推理 得出矛盾 假设不成立 所求证命题正确

求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交 于点P. l 求证: l3与l2相交. l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾.
3

P

l1 l2

所以假设不成立,即求证的命题正确.

四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面: (1)a是实数。a不是实数 (2)a大于2。 a小于或等于2 (3)a小于2。 a大于或等于2(4)至少有2个 没有两个 两直线相交 (5)最多有一个 一个也没有(6)两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的 角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。 假设a=b

大家议一议!
通过本节内容的学习,你 们觉得哪些题型宜用反证法 ?

我来告诉你(经验之谈)
(1)以否定性判断作为结论的命题;

(2)以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题; (3)关于“唯一性”结论的命题;
(4)一些不等量命题的证明; (5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明)

注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止 否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题 的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。

反思与收获
1、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗?

同学们,学了这节课, 你们有何体会? ---德国数学家希尔伯特说, 禁止数学家使用反证法, 就象禁止拳击家使用拳头。

推理 合情推理 (归纳、类比) 证明 直接证明 (分析法、综合法) 间接证明 (反证法) 演绎推理 (三段论)

数学—公理化思想


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