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三角函数所有公式及基本性质[整理]


一、任意角的三角比
(一)诱导公式
sin(2kπ + α ) = sin α sin(?α ) = ? sin α sin(π + α ) = ? sin α sin(π ? α ) = sin α sin(2π ? α ) = ? sin α cos(2kπ + α ) = cos α cos(?α ) = cos α cos(π + α ) = ? cos α cos(π ? α ) = ? cos α cos(2π ? α ) = cos α tg (2kπ + α ) = tgα tg (?α ) = ?tgα tg (π + α ) = tgα tg (π ? α ) = ?tgα tg (2π ? α ) = ?tgα ctg (2kπ + α ) = ctgα ctg (?α ) = ?ctgα ctg (π + α ) = ctgα ctg (π ? α ) = ?ctgα ctg (2π ? α ) = ?ctgα

sin( sin(

π π
2

? α ) = cos α + α ) = cos α

cos( cos(

π π
2

? α ) = sin α + α ) = ? sin α

tg ( tg (

π π
2

? α ) = ctgα + α ) = ?ctgα

ctg ( ctg (

π π
2

? α ) = tgα

2 3π sin( ? α ) = ? cos α 2 3π sin( + α ) = ? cos α 2

2 3π cos( ? α ) = ? sin α 2 3π cos( + α ) = sin α 2

2 3π tg ( ? α ) = ctgα 2 3π tg ( + α ) = ?ctgα 2

+ α ) = ?tgα 2 3π ctg ( ? α ) = tgα 2 3π ctg ( + α ) = ?tgα 2

(二)关系结构图

sinα tgα
secα

cosα
ctgα
cscα

1

(三)三角比符号

+ _

+ _

_ _

+ +

_ +

+ _

sinα&cscα

cosα&secα

tgα&ctgα

—1—

二、三角恒等式
1.同角三角比的关系 1.同角三角比的关系 倒数关系 商数关系 平方关系
sin α csc α = 1 cos α sec α = 1

tgαctgα = 1

tgα =

sinα cos α

ctgα =

cosα sin α

sin 2 α + cos 2 α = 1

1 + tg 2α = sec 2 α

1 + ctg 2α = csc 2 α

2.两角和与差的三角比 2.两角和与差的三角比
两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正切公式 cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β tg (α ? β ) = tgα ? tgβ 1 + tgαtgβ tgα + tgβ 1 ? tgαtgβ

_

两角和的正切公式

tg (α + β ) =

A sin(α + ? )形式

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) cos ? = a a +b
2 2

, sin ? =

b a + b2
2

,0 ≤ ? < 2π

3.二倍角的三角比 3.二倍角的三角比
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α tg 2α = 2tgα 1 ? tg 2α

4.半角的三角比 4.半角的三角比
sin tg

α
2

=± =±

α 1 ? cos α 1 + cos α cos = ± 2 2 2
1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

α
2

5.万能置换公式 5.万能置换公式
sin α = 2tg

α
2 cos α =

1 ? tg 2 1 + tg 2

α α
2 tgα = 2

2tg

α
2

1 + tg 2

α

2

1 ? tg 2

α
2

—2—

三、解斜三角形
1. 三角形的面积
S ?= 1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2

2. 正弦定理
a b c (= 2 R) = = sin A sin B sin C

3. 余弦定理
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ? b 2 = a 2 + c 2 ? 2ca cos B ? c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C 或 cos A = b2 + c2 ? a2 c2 + a2 ? b2 a2 + b2 ? c2 ? cos B = ? cos C = 2bc 2ca 2ab

三角比补充概念或公式
sinα cosα tgα tgα |sinα |cosα |tgα |ctgα 一、 有关 sinα与 cosα,tgα与 tgα,|sinα|与|cosα|,|tgα|与|ctgα|大小比较 1.sinα cosα 下左图) 1.sinα与 cosα(下左图) 的终边在第一、第三象限的角平分线上时,sinα=cosα 当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时,sinα=cosα 的终边在此角平分线的上方,即图中区域① sinα>cosα 当α的终边在此角平分线的上方,即图中区域①时,sinα>cosα 的终边在此角平分线的下方,即图中区域② sinα<cosα 当α的终边在此角平分线的下方,即图中区域②时,sinα<cosα

2.tgα ctgα 上右图) 2.tgα与 ctgα(上右图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,tgα=ctgα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,tgα=ctgα 的终边在图中区域① 不包括坐标轴) tgα>ctgα ,tg 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时(不包括坐标轴) tgα>ctgα , 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时(不包括坐标轴) tgα<ctgα 的终边在图中区域② 不包括坐标轴) tgα<ctgα ,tg , |sinα |cosα 下左图) 3. |sinα|与|cosα|(下左图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|sinα|=|cosα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|sinα|=|cosα| 的终边在图中区域① |sinα|>|cosα 当α的终边在图中区域①或③时,|sinα|>|cosα| 的终边在图中区域② |sinα|<|cosα 当α的终边在图中区域②或④时,|sinα|<|cosα|

—3—

4. |tgα|与|ctgα|(上右图) |tgα |ctgα 上右图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|tgα|=|ctgα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|tgα|=|ctgα| 的终边在图中区域① 不包括坐标轴) |tgα|>|ctgα ,|tg 当α的终边在图中区域①或③时(不包括坐标轴) |tgα|>|ctgα| , 的终边在图中区域② 不包括坐标轴) |tgα|<|ctgα ,|tg 当α的终边在图中区域②或④时(不包括坐标轴) |tgα|<|ctgα| , 二、三角中常用的手法 sinα+sinβ cosα+cosβ 分别平方后相加, cos(α (sinα+sinβ)与(cosα+cosβ)分别平方后相加,可以产生 cos(α-β) sinα+sinβ cosα+cosβ 分别平方后相加, sin(α (sinα+sinβ)与(cosα+cosβ)分别平方后相加,可以产生 sin(α+β) 三、 1.在非直角Δ 1.在非直角ΔABC 中,有 tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 在非直角

2.在 tgA,tgB, 存在的前提下,A+B+C=kπ 属于整数) 2.在 tgA,tgB,tgC 存在的前提下,A+B+C=kπ(k 属于整数)是 tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 的充要条 件。 四、 增补公式

1 sin 2α sin(α + β ) tgα + tgβ = cos α cos β sin(α ? β ) tgα ? tgβ = cos α cos β ctgα ? ctg 2α =
三角比的积化和差公式

sin α cos β = cos α sin β = cos α cos β =

1 2 1 2 1

[sin(α + β ) + sin(α ? β )] [sin(α + β ) ? sin(α ? β )]

[cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2
三角比的和差化积公式

sin α + sin β = 2 sin sin α ? sin β = 2 cos

α +β α +β
2

cos

α ?β α ?β
2

sin 2 2 α +β α ?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α ?β cos α ? cos β = ?2 sin sin 2 2

—4—

三角函数的性质 三角函数的性质
函 数

y = sin x

y = cos x

y = tgx

y = ctgx

定义域

R

R

? x | x ∈ R且 ? ? ? ? ? π ? x ≠ kπ + 2 , k ∈ Z ? ? ?
R

? x | x ∈ R且 ? ? ? ? x ≠ kπ , k ∈ Z ?
R

值 域

[? 1,1]
当x = 2kπ +

[? 1,1]
π
2

(k ∈ Z )时 (k ∈ Z )时

当x = 2kπ (k ∈ Z )时 当x = 2kπ + π (k ∈ Z )时 y min = ?1
周期是 2kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 2π 偶函数

最 值

y max = 1; 当x = 2kπ ? y min = ?1

y max = 1;

π
2

无最大值、 无最大值、最小值

无最大值、 无最大值、最小值

周期性 奇偶性 对 称 对 轴 称 对 性 称 点

周期是 2kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 2π 奇函数

周期是 kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 π 奇函数

周期是 kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 π 奇函数

x = kπ +

π
2

(k ∈ Z )

x = kπ (k ∈ Z )

(kπ ,0)(k ∈ Z )
递增区间

π ? ? ? kπ + ,0 ?(k ∈ Z ) 2 ? ?
递增区间

(kπ ,0)(k ∈ Z )
递增区间

π ? ? ? kπ + ,0 ?(k ∈ Z ) 2 ? ?

单调性

π π? ? ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ? ? ? (k ∈ Z )
递减区间

[2kπ ? π ,2kπ ](k ∈ Z )
递减区间

π π? ? ? kπ ? , kπ + ? 2 2? ? (k ∈ Z )
递减区间

π 3π ? ? ?2kπ + 2 ,2kπ + 2 ? ? ? (k ∈ Z )

[2kπ ,2kπ + π ](k ∈ Z )
y = sin x

(kπ , kπ + π ) (k ∈ Z )

图 象

y = cos x

—5—

反三角函数性质
函数

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctgx

? π π? y = sin x 在 x ∈ ?? , ? 的 ? 2 2?
定义 反函数叫反正弦函数,记作

y = cos x 在 x ∈ [0, π ] 的 反 函
数 叫 反 余 弦 函 数 , 记 作

? π π? y = tgx 在 x ∈ ? ? , ? 的 反 ? 2 2?
函数叫反正切函数,记作

y = arcsin x , x ∈ [? 1,1]
① 表示一个角的弧度数 意义

y = arccos x , x ∈ [? 1,1]

y = arctgx , x ∈ R

② 这个角的范围是 ?? , ?或[0,π ]或? ? , ? ? 2 2? ? 2 2? ③这个角的正弦(或余弦或正切)等于 x 这个角的正弦(或余弦或正切)

? π π?

? π π?

定义 域 值域 单调 性 奇偶 性 常用 等式

[? 1,1]
? π π? ?? 2 , 2 ? ? ?
增函数 奇函数

[? 1,1] [0, π ]
减函数 非奇非偶函数

R

? π π? ?? , ? ? 2 2?
增函数 奇函数

arcsin(? x) = ? arcsin x

arccos(? x) = π ? arccos x
arcsin x + arccos x =

arctg (? x) = ?arctgx

π
2

y = arcsin x

图像

反三角函数其它常用等式
?arcsin(? x) = ? arcsin x ?arccos(? x) = π ? arccos x ? (1 ? ) ?arctg (? x) = ? arctgx ?arcctg (? x) = π ? arcctgx ? ?sin(arcsin x) = x( x ≤ 1) ? ?cos(arccos x) = x( x ≤ 1) (2) ? ?tg (arctgx) = x ?ctg (arcctgx) = x ?

—6—

? ? ? π π? ? ? x, 当x ∈ ?? 2 , 2 ?时, ? ? ?arcsin(sin x) = ? ? ? ? x ′, 当x ? ?? π , π ?时, ? x ′ ∈ ?? π , π ?, sin x = sin x ′ ? ? ? ? ? ? 2 2? ? ? 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?arccos(cos x) = ? x, 当x ∈ [0, π ]时 ? ? ? ? x ′, 当x ? [0, π ]时, ( x ∈ [0, π ], cos x = cos x ′) (3)? ? ? π π? ? ? x, 当x ∈ ? ? 2 , 2 ?时, ? ? ? ? ?arctg (tgx) = ? ? ? x ′, 当x ? ? ? π , π ?时, ? x ′ ∈ ? ? π , π ?, tgx = tgx ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2? ? ? 2 2? ? ? ? ? ? x, 当x ∈ (0, π )时 ?arcctg (ctgx) = ? ? ? x ′, 当x ? (0, π )时, ( x ∈ (0, π ), ctgx = ctgx ′) ?

最简三角方程 最简三角方程
方程 解集

a >1
sin x = a

Φ

a =1

{x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }

a <1

{x | x = kπ + (?1)

k

arcsin a, k ∈ Z

}

a >1 cos x = a a =1 a <1
tgx = a

Φ

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z } {x | x = 2kπ ± arccos a, k ∈ Z } {x | x = kπ + arctga, k ∈ Z }

解最简三角方程补充公式
(1) sin x = sin a ? x = a + 2kπ或x = (π ? a ) + 2kπ (k ∈ Z ) (2) cos x = cos a ? x = a + 2kπ或x = (2π ? a ) + 2kπ (k ∈ Z ) (3)tgx = tga ? x = a + kπ (k ∈ Z ) (4)ctgx = ctga ? x = a + kπ (k ∈ Z )

—7—



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