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【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题六 立体几何 第一讲 空间几何体及三视图素能提升练 理


专题六 立体几何 第一讲 空间几何体及三视图
素能演练提升九 SUNENG YANLIAN TISHENG JIU 掌握核心,赢在课堂 1.(2014 福建高考,理 2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )

A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是 三角形,所以选 A. 答案:A 2.设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则的值等于( ) A. B. C. D. 2 2 解析:设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R =a ,即 a=R,则.故选 D. 答案:D 3.(2014 云南昆明三中、玉溪一中统考,4)如图,三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面 垂直,且 VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )

A. B. C. D. 解析:设三棱锥 V-ABC 的底面边长为 a,侧面 VAC 边 AC 上的高为 h,则 ah=,其侧视图是由底面三角形 ABC 边 AC 上的高与侧面三角形 VAC 边 AC 上的高组成的直角三角形,其面积为.故选 B. 答案:B 4.(2014 甘肃兰州、张掖联考,4)下面为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A. B.π C.3π D.3 解析:由三视图知该几何体是由直径为 1 的球与底面边长为 2、高为 3 的正三棱柱组合的几何体.故 该几何体的体积 V=V 正三棱柱+V 球=×2××3+×π ×=3. 答案:D 5.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积分别为,则该三棱锥外接 球的表面积为( ) A.2π B.6π C.4π D.24π

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解析:依题意可知解得 而三棱锥 A-BCD 可补成一个长方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故其外接球的 2 半径 R=,所求表面积 S 球=4π R =6π . 答案:B 6.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB⊥ 平面 ABC,则三棱锥 S-ABC 的体积的最大值为( ) A. B. C. D. 解析:记球 O 的半径为 R,作 SD⊥AB 于 D,连接 OD,OS,则有 R=,SD⊥平面 ABC. 注意到 SD=,因此要使 SD 最大,则需 OD 最小,而 OD 的最小值等于,因此高 SD 的最大值是=1.又 2 三棱锥 S-ABC 的体积等于 S△ABC·SD=×2 ×SD=SD,因此三棱锥 S-ABC 的体积的最大值是×1=. 答案:D 7.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则 该几何体的全面积为 .

解析:由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2 的圆台,则此几何体的全面积 S=π ×1+π ×9+π =10π +4π =26π . 答案:26π 8.(2014 河南洛阳高三统考,14)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=BC=2, ∠ABC=90°,AA1=2,则球 O 的表面积为 . 解析:由题设可知,直三棱柱 ABC-A1B1C1 可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体 2 对角线长,即=4,故球 O 的表面积 S=4π R =16π . 答案:16π 2 9.在半径为 25cm 的球内有一个截面,它的面积是 49π cm ,求球心到这个截面的距离. 解:设球半径为 R,截面圆的半径为 r,球心到截面的距离为 d,如图.

∵S=π r =49π cm ,∴r=7cm. ∴d==24(cm). ∴球心到这个截面的距离为 24cm.

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10.(2014 四川资阳模拟)如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD⊥平面 CDEF, ∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD=2,M 是线段 AE 上的动点. (1)试确定点 M 的位置,使 AC∥平面 MDF,并说明理由;

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(2)在(1)的条件下,求平面 MDF 将几何体 ADE-BCF 分成的两部分的体积之比. 解:(1)当 M 是线段 AE 的中点时,AC∥平面 MDF.

证明如下: 连接 CE,交 DF 于 N,连接 MN, 由于 M,N 分别是 AE,CE 的中点,所以 MN∥AC, 由于 MN? 平面 MDF,又 AC?平面 MDF, 所以 AC∥平面 MDF. (2)如图,将几何体 ADE-BCF 补成三棱柱 ADE-B'CF,

三棱柱 ADE-B'CF 的体积为 V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体 ADE-BCF 的体积 VADE-BCF=V 三棱柱 ADE-B'CF-VF-BB'C=8-×2=. 三棱锥 F-DEM 的体积 V 三棱锥 M-DEF=×1=,故两部分的体积之比为=1∶4(答 1∶4,4,4∶1 均可). 11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D 是棱 AA1 的中点.

(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. (1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1? 平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, 所以∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC. 又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1? 平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)解:设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1. 由题意得 V1=×1×1=. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1, 所以(V-V1)∶V1=1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1.

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