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南京师大附中2013届高三数学模拟考试5月卷及答案


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南京师大附中 2013 届高三模拟考试





2013.05

注意事项: 1. 本试卷共 4 页, 包括填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分. 本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的 答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ... 4 参考公式:球体的体积公式为 V= πR3,其中 R 是球体的半径. 3 一、填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.已知集合 A={x|x2-2x≥0},B={-1, 0, 1, 2, 3},则 A∩B= ▲ . .

2 2.设 a,b 是实数,若 =a+bi(i 是虚数单位) ,则 a+b 的值是 ▲ 1-i

3. “|x|≤3”是“x≥-3 且 x≤3”的 ▲ 条件. (从 “充分不必要”“必要不充分” 、 、 “充要”和“既不充分也不必要”中选填)

4.一只口袋装有形状、大小都相同的 5 只小球,其中 2 只白球,3 只红球. 从中一次随机摸 出 2 只球,则 2 只球不同色的概率是 ▲ . 5.为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名高三男生的体重. 根据抽 样测量后的男生体重(单位:kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这 100 名学 生中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是 ▲ . 开始 P←0 n←1 1 P ←P+ n(n+1) (第 5 题) n ← n+1 . P<0.70 N 输出 n 结束 ( 第6题 )
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6.如图所示的流程图,最后输出的 n 的值是 ▲

Y

7.已知向量 a,b,满足|a|=1,| b |= 3,a+b=( 3,1),则向量 a+b 与向量 a-b 的夹角是 ▲ .

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: 2- 2=1(a>b>0)的一条渐近线方程为 a b y= 3x,则该双曲线的离心率的值是 ▲ . 32 9.已知正方体的外接球的体积是 π,则此正方体的棱长为 ▲ 3 .

10.在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线方程为 x2=2py(p>0). 若直线 x-y-2=0 与该 抛物线相切,则实数 p 的值是 ▲ . 11.已知锐角 A,B 满足 tan(A+B)=2tanA,则 tanB 的最大值是 ▲ . a8 的值 a2+a5

12.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N*).若 S3,S9,S6 成等差数列,则 是 ▲ .

13.设函数 f(x)的定义域为 D,如果?x∈D,?y∈D,使

f(x)+f(y) =C(C 为常数)成立, 2

1 则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C. 已知四个函数: ①y=x3 (x∈R);②y=( )x (x∈R); 2 ③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为 1 的函数是 ▲ 有的函数的序号) . (填满足要求的所

?x+y=2a-1, 14.设实数 a,x,y,满足? 2 2 则 xy 的取值范围是 ▲ 2 ?x +y =a +2a-3,



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) π 设△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 C= ,acosA=bcosB. 3 (1)求角 A 的大小; (2)如图,在△ABC 的外角∠ACD 内取一点 P,使得 PC=2.过点 P 分别作直线 CA、 CD 的垂线 PM、PN,垂足分别是 M、N.设∠PCA=α,求 PM+PN 的最大值及此 时 α 的取值.

A P

M B

α C N D

(第 15 题)

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16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,BA?平面 PAD,AP=AD,DC//AB,DC=2AB,E 是棱 PD 的中点. (1)求证:AE//平面 PBC; (2)求证:平面 PBC?平面 PDC. P

E A B

D

(第 16 题)

C

17.(本小题满分 14 分) 交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为 10m 的公共汽车行 驶的专用车道. 据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公 共汽车间的安全距离 d(m)与车速 v(km/h)之间满足二次函数关系 d=f(v). 现已知 车速为 15 km/h 时,安全距离为 8 m;车速为 45 km/h 时,安全距离为 38 m;出现堵车 状况时,两车安全距离为 2 m. (1)试确定 d 关于 v 的函数关系 d=f(v); (2)车速 v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是 多少辆?

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18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2,离心率为 3 . 2 x2 y2 + =1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为 a2 b2

(1)求 a,b 的值. (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点. (ⅰ)若 k=1,求△OAB 面积的最大值; (ⅱ)若 PA2+PB2 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.

19. (本小题满分 16 分) (1)已知一条直线 l 与函数 y=sinx(x∈R)的图象相切,且有无穷多个切点. 试写出这 条直线的方程,并说明理由. (2)是否存在函数 y=f(x)满足它的图象上任意两点处的切线都不相同?若存在,请举 例说明;若不存在,请说明理由. x>0, ? ?lnx, 1 2 1 (3)设函数 g(x)=? 的图象上存在 k(k≥2,k∈N*)个不同的点, ?2x +2x-2,x≤0 ? 使得函数 y=g(x)的图象在这 k 个点处的切线是同一条直线 l,求这 k 个点的坐标和 直线 l 的方程.

20. (本小题满分 16 分) 设 k 为正整数,若数列{an}满足 a1=1,且 (an+1-an)2=(n+1)k(n∈N*) ,称数列{an} 为“k 次方数列”. an (1)设数列{an}(n∈N*)为“2 次方数列” ,且数列{ }为等差数列,求 a4 的值; n (2)设数列{an}(n∈N*)为“4 次方数列” ,且存在正整数 m 满足 am=15,求 m 的最小 值; (3)对于任意正整数 c,是否存在“4 次方数列”{an}(n∈N*)和正整数 p,满足 ap=c.

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南京师大附中 2013 届高三模拟考试 数 学(附加题)
2013.05

21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 .. 纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A、 (几何证明选讲选做题) 1 在△ABC 中,已知 AC= AB,CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 边于点 2 N,求证:BN=2AM.

A M O N C

B
B、 (矩阵与变换选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设圆 x2+y2=1 在矩阵 A=? ? 线 F,求曲线 F 的方程. 1 0

0? 对应的变换作用下得到曲 2?

C、 (坐标系与参数方程选做题) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上在第一象限的点, a b A(a,0)和 B(0,b) 是椭圆的两个顶点,求四边形 MAOB 的面积的最大值.

D、 (不等式选做题) 设 a,b,c,d∈R,求证: a2+b2+ c2+d2≥ (a+c)2+(b+d)2,等号当且仅当 ad= bc 时成立.

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22、 【必做题】 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BA⊥AC,AB=AC=A1B=2,顶点 A1 在底面 ABC 上 的射影恰为点 B. (1)求异面直线 AA1 与 BC 所成角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP= 14,并求出二面角 P-AB-A1 的平面角的余弦 值.
A1 C1

B1

A B

C

(第 22 题)

23、 【必做题】 设 a 为实数,若数列{an}的首项为 a,且满足 an+1=an2+a1(n∈N*) ,称数列{an}为理 想数列. 若首项为 a 的理想数列满足:对于任意的正整数 n≥2,都有|an|≤2,称实数 a 为伴侣数.记 M 是所有伴侣数构成的集合. (1)若 a∈ (-∞,-2),求证:a∈M; ∕ 1 (2)若 a∈ (0, ] ,求证:a∈ M. 4

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南京师大附中 2013 届高三模拟考试 数学参考答案
一、填空题 1.{-1,0,2,3} 2 7. π 3 13.①③④ 2.2 8.2 3.充要 4 9. 3 3 3 4. 5 10.4 5.40 11. 2 4 6.4 1 12. 2

11 3 11 3 14.[ - 2, + 2] 4 2 4 2

二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 解(1)由 acosA=bcosB 及正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,又 A∈(0,π),B∈(0,π), π 所以有 A=B 或 A+B= . 2 ………………… 2 分

A P

π 2π π 又因为 C= ,得 A+B= ,与 A+B= 矛盾,所以 A=B, 3 3 2 π 因此 A= . 3 (2)由题设,得 在 Rt△PMC 中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα; 在 Rt△PNC 中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) π π 2π =2sin[π-(α+ )]=2sin (α+ ),α∈(0, ). 3 3 3 …………………4 分
B

M 60°

α C N D

(第 15 题)

……………… 6 分 π π 所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+ )=3sinα+ 3cosα=2 3sin(α+ ). 3 6 ……………… 10 分 2π π π 5π π 1 因为 α∈(0, ),所以 α+ ∈( , ),从而有 sin(α+ )∈( ,1], 3 6 6 6 6 2 π 即 2 3sin(α+ )∈( 3,2 3]. 6 π π π 于是,当 α+ = ,即 α= 时,PM+PN 取得最大值 2 3. 6 2 3 …………… 14 分

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16.(本小题满分 14 分) 证明(1)取 PC 中点 F,连结 BF,EF. 因为点 E、F 分别为棱 PD、PC 的中点, 1 所以 EF//DC,且 EF= DC. 2 ……………2 分 1 又 AB// DC,且 AB= DC,所以 EF//AB,且 EF=AB. 2 于是,四边形 ABFE 为平行四边形,故有 AE//BF. ……………4 分 ?平面 PBC,BF? 平面 PBC,所以 AE//平面 PBC. 又因为 AE /
E

P

F A B

D

C

……………7 分 (2)在△PAD 中,因为 AP=AD,且 E 为 PD 的中点,所以 AE⊥PD. 因为 AB⊥平面 PAD,DC//AB,所以 DC⊥平面 PAD. 又 AE? 平面 PAD,所以 DC⊥AE. …………………………9 分 所以,由 AE⊥PD,DC⊥AE, PD∩DC=D,PD、DC? 平面 PCD, 得到 AE⊥平面 PCD. 又 BF//AE,所以 BF⊥平面 PCD. …………………………12 分 又因为 BF? 平面 PBC, 所以,平面 PBC?平面 PDC. …………………………14 分

(第 16 题)

17.(本小题满分 14 分) 解(1)由题设可令所求函数关系 f (v)=av2+bv+c. 由题意得 v=0 时,d=2; v=15 时,d=8; v=45 时,d=38.

………….… 2 分

?c=2, ? 152 则 ?a× +15b+c=8, ? ?a×452+45b+c=38.
1 1 解得:a= ,b= ,c=2. 75 5 1 1 所以 d 关于 v 的函数关系为 d= v2+ v+2(v≥0). 75 5 (2)两车间的距离为 d (m),则一辆车占去的道路长为 d+10 (m) . 设 1 小时内通过该车道的公共汽车数量为 y 辆, 则 y= 1000v . v2 v + +12 75 5 ………………9 分 ………………4 分 ………………6 分

v2 1000(- +12) 75 由 y'= =0,解得 v=30. 2 v v 2 ( + +12) 75 5 当 0<v<30 时,y′>0;当 v>30 时,y′<0.
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………………11 分

于是函数 y=

1000v 在区间(0,30)上递增,在区间(30, ?? )上递减, v2 v + +12 75 5

因此 v=30 时函数取最大值 y=1000. ………………13 分 答:汽车车速定为 30 km/h 时,每小时通过这条专用车道的公共汽车数量最多, 能通过 1000 辆. ………………14 分 18.(本小题满分 16 分) c 3 解(1)由题设可知 a=2,e= = ,所以 c= 3,故 b=1. a 2 因此,a=2,b=1. (2)由(1)可得,椭圆 C 的方程为 x +y2=1. 4
2

………………… 2 分

设点 P(m,0) (-2≤m≤2) ,点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . (ⅰ)若 k=1,则直线 l 的方程为 y=x-m.

?y=x-m ?2 联立直线 l 与椭圆 C 的方程,即?x .将 y 消去,化简得 2 ? ? 4 +y =1
2(2m- 1-m2) 2(2m+ 1-m2) 5 2 x -2mx+m2-1=0.解之得 x1= , x2= , 4 5 5 4(m2-1) 8m 从而有,x1+x2= , x1· x2= , 5 5 而 y1=x1-m,y2=x2-m, 因此,∣AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2(x1-x2)2= 2 (x1+x2)2-4 x1·x2 4 = 2· 5-m2, 5 ∣m∣ 点 O 到直线 l 的距离 d= , 2 1 2 所以,S△OAB= ×|AB|×d= 2 5
2

5-m2×|m|,
2 2

4 4 5-m +m 2 因此,S △OAB= ( 5-m2)×m2≤ ·( ) =1. 25 25 2 ………………… 6 分 又-2≤m≤2,即 m ∈[0,4]. 5 10 所以,当 5-m2=m2,即 m2= , m=± 时,S△OAB 取得最大值 1. 2 2 ………………… 8 分 (ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x-m).
2

?y=k(x-m) ? 2 将直线 l 与椭圆 C 的方程联立,即? x . 2 ? ? 4 +y =1
将 y 消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得, x1+x2= 4(k2m2-1) 8mk2 ,x1·x2= . 1+4k2 1+4k2

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………………… 10 分 所以, 3 PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22= (x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2 4 = m2·(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)·(8k2+8) (*). (1+4k2)2 …………………14 分

因为 PA2+PB2 的值与点 P 的位置无关,即(*)式取值与 m 无关, 1 所以有-8k4-6k2+2=0,解得 k=± . 2 1 所以,k 的值为± . 2 …………………16 分

19. (本小题满分 16 分) 解(1)存在直线 y=1 与函数 y=sinx(x∈R)的图象相切于无穷多个切点. π 对于 y=sinx,因为 y'=cosx,当 x=2kπ+ (k∈Z)时,y'=0,y=1. 2 π 所以,在点(2kπ+ ,1)( k∈Z)处,函数 y=sinx(x∈R)的图象的切线为同一条直 2 线 y=1. ?????????3 分

π 注:同样地可以说明:在点(2kπ- ,-1)( k∈Z)处,函数 y=sinx(x∈R)的图象的切 2 线为同一条直线 y=-1. (2)存在函数 f(x)=x2(x∈R)的图象上任意两点处的切线都不相同. 因为 f'(x)=2x,则函数 f'(x)=2x 在 x∈R 上单调递增. 所以,对于任意的 x1≠x2,都有 f'(x1)≠f'(x2). 从而可知,函数 f(x)=x2(x∈R)的图象上任意两点(x1, f(x1)),(x2, f(x2))处的切线斜率都 不相等. 于是,函数 f(x) =x2(x∈R)的图象上任意两点处的切线都不相同. ?????????7 分

?1, x>0, ? (3)由题设可知 g' (x)=?x ? ?x+2,x≤0.
1 因为 g'(x)在 x∈(-∞,0]上单调递增,所以当 x∈(-∞,0]时,函数 g(x)的图象上任 意两点处的切线的斜率都互不相同,从而知当 x∈(-∞,0)时,函数 g(x)的图象上任意 两点处的切线都不相同. 2 因为 g'(x)在 x∈(0,+∞)上单调递减,所以当 x∈(0,+∞)时,函数 g(x)的图象上任 意两点处的切线的斜率都互不相同,从而知当 x∈(0,+∞)时,函数 g(x)的图象上任
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o o

意两点处的切线都不相同. 因此,由 1 、2 及题设可知,k 只能为 2,且这两个点一定分别落在区间(-∞,0]和 (0,+∞)上. 1 1 o 3 设 a>0,b≤0,记点 A(a,lna),B(b, b2+2b- ), 2 2 1 则函数 g(x)的图象在点 A 处的切线方程为 y-lna= (x-a),即 a 1 y= x+lna-1. a ① ?????????9 分
o o

1 1 函数 g(x)图象在点 B 处的切线为 y-( b2+2b- )=(b+2)(x-b),即 2 2 1 1 y=(b+2)x- b2- . 2 2 1 ②

③ ?a=b+2, 因为方程①、②表示同一条直线, 则有? 1 1 ?lna-1=-2b -2. ④
2

?????12 分 1 1 1 1 1 把③代入④,得 ln -1=- b2- ,即 b2-ln(b+2)- =0,b∈(-2,0]. 2 2 2 2 b+2 (b+1) 2-2 1 1 1 记 h(b)= b2-ln(b+2)- ,b∈(-2,0],则 h'(b)=b- = . 2 2 b+2 b+2 因为 b∈(-2,0],所以(b+1) 2-2∈[-2,-1]. 又因为 b+2>0,则 h'(b)<0 在 b∈(-2,0]上恒成立,所以函数 h(b)在(-2,0]上单调 递减.由 h(-1)=0,得 b=-1,a=1. 所以,所求的 k 个点的坐标分别为(1,0)和(-1,-2),直线 l 的方程为 y=x-2. ??????16 分

20. (本小题满分 16 分) 解(1)因为数列{an}(n∈N*)为“2 次方数列” , 2 2 所以 a1=1, (an+1-an) =(n+1) (n∈N*). 于是 a2-a1=±2, a2=-1 或 a2=3. 得

………………2 分

an an 1 当 a2=3 时, 若数列{ }为等差数列,则数列{ }以 1 为首项, 为公差, n n 2 1 于是 an= (n2+n),经检验,满足题意; 2 an an 3 当 a2=-1 时,若数列{ }为等差数列,则数列{ }以 1 为首项,- 为公差, n n 2

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3 5 于是 an=- n2+ n,经检验,不合题意,舍去. 2 2 1 综上所述,所求的数列通项为 an= (n2+n),故 a4=10. 2 ………………… 4 分 (2)因为数列{an}(n∈N*)为“4 次方数列” 所以 a1=1,an+1-an=±(n+1), , 2 2 2 所以 an=1±2 ±3 ±…±n . 因为 am=15,当 m≤3 时,am 的最大值是 1+22+32=14,不可能成立. 当 m=4 时,在算式 1±22±32±42 中, 因为 1±22±32±42 等于-28,-20,-10,-2,4,12,22,30, 所以 m=4 时,不可能成立. 当 m=5 时,因为 1-22+32-42+52 等于 15, 所以 m 的最小值为 5. ……………… 8 分 2 2 2 2 (3)因为 n -(n+1) -(n+2) +(n+3) =4, 故只要 c 被 4 除余数分别 1,2,3 或整除存在即可. ……………12 分 因为 a1=1,故当 c 被 4 除余 1 时,存在“4 次方数列”{an}(n∈ N*)和正整数 p, 使得 ap=c. 因为 1-22+32=6,故当 c 被 4 除余 2 时,存在“4 次方数列”{an}(n∈ N*)和正整 数 p,使得 ap=c. 因为 1-22+32-42+52=15,故当 c 被 4 除余 3 时,存在“4 次方数列”{an}(n∈ N*) 和正整数 p,使得 ap=c. 因为 1-22-32+42=8,故当 c 能被 4 整除时,存在“4 次方数列”{an}(n∈ N*)和 正整数 p,使得 ap=c. 综上所述,对任意正整数 c,存在“4 次方数列”{an}(n∈ N*)和正整数 p,使得 ap=c. ………………… 16 分

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A、 (几何证明选讲选做题) 证明 如图,在△ABC 中,因为 CM 是∠ ACM 的平分线, 所以 AC AM = . BC BM ①

A M O N
????????8 分

1 AB 2AM 又 AC= AB,所以 = 2 BC BM

???????? 4 分 因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的弦, 所以,BM·BA=BN·BC,即 由①、②可知 2AM BN = , BM BM AB BN = BC BM ②

B

C

所以 BN=2AM.

????????10 分

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B、 (矩阵与变换选做题) 解 设 P(x0,y0)是圆上任意一点,点 P(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点 P′(x′0,y′0) 则有

?x0=x′0 ? x′0 ?=?1 0? ? x0 ?,即?x′0=x0 ,所以? ? 1 . ? ? y′0 ? ?0 2? ? y0 ? ?y′0=2y0 ?y0=2y′0 ?

???????? 4 分

1 又因为点 P 在圆 x2+y2=1 上,故 x02+y02=1,从而(x′0)2+( y′0)2=1. 2 ???????? 8 分 y 所以, 曲线 F 的方程是 x2+ =1. 4
2

???????? 10 分

C、 (坐标系与参数方程选做题) ?x=acosφ x2 y2 解 已知椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? . a b ?y=bsinφ π 由题设可令 M(acosφ,bsinφ),其中 0<φ< . 2 所以, 1 1 S 四边形 MAOB=S△MAO+S△MOB= OA·yM+ OB·xM 2 2 1 2 π = ab(sinφ+cosφ)= absin(φ+ ). 2 2 4

???????? 2 分

???????? 7 分 π 2 所以,当 φ= 时,四边形 MAOB 的面积的最大值为 ab. 4 2 ???????? 10 分

D、 (不等式选做题) 证明 由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,得

(a2+b2)(c2+d2)≥| ac+bd |≥ac+bd. ????????4 分

将上式两边同时乘以 2,再将两边同时加上 a2+b2+c2+d2,有 (a2+b2)+2 (a2+b2)(c2+d2)+(c2+d2)≥(a+c)2+(b+d)2, (a+c)2+(b+d)2)2, ???????? 8 分

即 ( a2+b2+ c2+d2)2≥(

所以, a2+b2+ c2+d2≥ (a+c)2+(b+d)2.

由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当 ad=
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bc 时成立.

???????? 10 分

22、 【必做题】 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 C(0, 2, 0),B(2, 0 , 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2). → → → 从而,AA1=(0,-2, 2),BC =B1C1=(-2, 2, 0). ????????2 分
A B1 A1 z C1

→ → 记AA1与BC 的夹角为 θ,则有 → → -4 AA1· BC 1 cosθ= = =- . → → 2 8· 8 |AA1|·|BC |
x

C

y

B

(第 22 题)

又由异面直线 AA1 与 BC 所成角的范围为(0,π) ,可得异面直线 AA1 与 BC 所成的角 为 60? . ????????4 分 (2)记平面 PAB 和平面 ABA1 的法向量分别为 m 和 n,则由题设可令 m=(x, y, z),且有平 面 ABA1 的法向量为 n=(0,2,0). → → 设B1P=λB1C1=(-2λ, 2λ, 0),则 P(4-2λ, 2λ, 2). 1 3 于是 AP= (4-2λ)2+(2λ)2+22= 14,解得 λ= 或 λ= . 2 2 3 1 又题设可知 λ∈(0, 1),则 λ= 舍去,故有 λ= . 2 2 从而,P 为棱 B1C1 的中点,则坐标为 P(3, 1, 2). → → 由平面 PAB 的法向量为 m,故 m⊥ AP 且 m⊥ PB . → 由 m· AP =0,即(x, y, z)·(3, 1 ,2)=0,解得 3x+y+2z=0; ① ?????6 分

→ 由 m· PB =0,即(x, y, z)· (-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0,② 解方程①、②可得,x=0,y+2z=0,令 y=-2,z=1, 则有 m=(0,-2, 1) . 记平面 PAB 和平面 ABA1 所成的角为 β, 2 5 m·n (0,-2, 1)·(0, 2, 0) -4 则 cosβ= = = =- . |m|·|n| 5 5·2 2 5 2 5 故二面角 P-AB-A1 的平面角的余弦值是 . 5 ?????10 分 ?????8 分

23、 【必做题】 证明(1)假设 a∈ M,则由 M 的定义知对于任意正整数 n≥2,都有|an|≤2,从而知
南京师大附中 2013 届高三模拟考试数学卷 第 14页

|a2|≤2. ??????1 分 2 由 a1=a,a2=a1 +a1=a(a+1),又 a∈ (-∞,-2),得 a<-2,a+1<-1, 所以| a2|=| a(a+1)|=| a|· a+1|>| a|· | 1>2,即| a2|>2,这与|a2|≤2 矛盾. ??????3 分 故当 a∈ (-∞,-2)时,a∈M. ∕ ??????4 分 1 1 1 5 (2)由 a2=a2+a=(a+ )2- ,又 a∈(0, ],所以 a2∈(0, ]. 2 4 4 16 同理可得,a3∈(0, 13 1 1 ]≤ .猜想 0<an≤ . 32 2 2 ??????6 分

下面用数学归纳法证明. 1 ①当 n ? 1 时,|a1|=|a |≤ 成立. 2 ②假设 n=k(k≥1)时|ak|≤2 成立, 1 1 1 所以,当 n=k+1 时, ak+1=ak2+a1≤( )2+ = . 2 4 2 1 * 故,对任意 n∈N ,|an|≤ <2,所以 a∈M. 2 ??????10 分

南京师大附中 2013 届高三模拟考试数学卷

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