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2015-2016学年高中数学 第二章 数列复习学案设计1 新人教A版必修5


第二章

数列

本章复习 本章复习(第 1 课时)
学习目标
掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、 等比数列的基本概念及性质,掌握等 差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和公式.掌握特殊数列的求和方法,如:倒序相加法、 错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.利用数列中 an 与 Sn 之间的关系,求通项公式及解 决其他数列问题.利用数列的递推关系,求通项公式,结合前 n 项和公式,解决数列的应用题. 利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问 题;利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前 n 项和 Sn 的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差数列、等 比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比 q 是否为 1 等问题.

合作学习
一、回顾本章所学知识和方法形成知识结构 本章知识结构:

二、通过再现题组和巩固题组进一步掌握本章所学知识和方法 (一)再现题组 1.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项和 S10 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 2.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项的和为( A.63 B.64 C.127 D.128 3.数列 1,3,5,7,?的通项公式是 . 【变式与拓展】已知数列的前几项求通项. (1)2,5,10,17,26; (2)1,-1,1,-1,1; (3)3,33,333,3333. 4.已知数列{an}满足 a1=1,an=+1(n≥2),则 a5= . 2 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=3n +n,则数列的通项公式 an= 2 * 6.已知 an=-n +25n(n∈N ),则数列{an}的最大项是 . 回顾:

)

.

1

1.数列的概念和通项公式. 2.等差数列 * * (1)定义:an+1-an=d(n∈N )或 an-an-1=d(n≥2,n∈N ). (2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-m)d. 2 2 (3)前 n 项和公式:Sn=,Sn=na1+d,Sn=n +n,Sn=An +Bn. (4)重要性质: * 等 差 数 列 {an} 中 , 若 m+n=p+q(m,n,p,q ∈ N ), 则 am+an=ap+aq, 数 列 {an} * 中,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N )?{an}是等差数列. 若 a,A,b 成等差数列,则称 A 为 a 与 b 的等差中项,且 2A=a+b,A 有唯一值. * 等差数列{an}中,公差为 d,则对任意的 k∈N ,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?构成等差数列,公差为

k2d.
3.等比数列 * * (1)定义:=q(n∈N )或=q(n≥2,n∈N )(q≠0). n-1 n-m n (2)通项公式:an=a1q ,an=amq ,an=aq (a,q≠0). (3)前 n 项和公式:Sn= (4)重要性质: * 等比数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ),则 aman=apaq,特别地,若 m+n=2p,则 aman=. * * 数列{an}中,an≠0,n∈N ,=an-1an+1(n≥2,n∈N )?{an}是等比数列. 2 若 a,A,b 成等比数列,则称 A 为 a 与 b 的等比中项,且 A =ab(ab>0),A=±. * 等比数列{an}中,公比为 q,Sn≠0,则对任意的 k∈N ,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?构成等比数列, k 公比为 q . 4.Sn 与 an 的关系. (二)巩固题组 【例 1】已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=n,求通项公式 an.

【例 2】设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

【例 3】设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,求 S5.

【例 4】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{}的前 n 项和 Sn.

【例 5】已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和 Sn.

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三、反思小结,观点提炼 1.等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 2.熟练运用性质解决问题. 3.产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题常归结为数列建模问 题. 4.将实际问题转化为数列问题时应注意: (1)分清是等差数列还是等比数列; (2)分清是求 an 还是求 Sn,特别要准确地确定项数 n. 5.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.









(一)再现题组 1.B 提示:设数列的公差为 d,则故 S10=10a1+d=100. 4 2.C 提示:因为 a1=1,a5=16,所以 q ==16. 因为 q>0,所以 q=2,从而 S7==127. 3.an=2n-1 提示:数列的前 4 项 1,3,5,7 都是序号的 2 倍减 1,所以通项公式为 an=2n-1. 2 n+1 n 【变式与拓展】(1)an=n +1;(2)an=(-1) ;(3)an=(10 -1). 4. 5.an=6n-2 提示:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n-2.当 n=1 时,a1=S1=4 也适合公式.所以数列的 通项公式为 an=6n-2. 6.第 12 项或第 13 项 提示:an 是关于 n 的二次函数,结合二次函数求最值,同时要考虑 n∈N*这一条件. (二)巩固题组 【例 1】解:方法一:迭代法:an=an-1+(n-1)=an-2+(n-1)+(n-2) =?=a1+(n-1)+(n-2)+?+1=1+. 方法二:累加法:由已知 an+1-an=n, ∴a2-a1=1,a3-a2=2,?,an-an-1=n-1, 以上各式相加得 an-a1=,∴an=. 【例 2】 【命题立意】本题主要考查等差数列的概念、求和公式等基础知识,同时考查运 算求解能力及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解即可. 解:(1)由题意知,S6==-3,a6=S6-S5=-8.所以 解得 a1=7.所以 S6=-3,a1=7. (2)方法一:因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 2 即 2+9da1+10d +1=0. 2 2 2 故(4a1+9d) =d -8.所以 d ≥8.故 d 的取值范围为 d≤-2 或 d≥2. 2 方法二:因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2+9da1+10d +1=0. 2 2 2 看成关于 a1 的一元二次方程,因为有实根,所以 Δ =81d -8(10d +1)=d -8≥0,解得 d≤-2 或 d≥2. 【例 3】 【命题立意】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式. 【思路点拨】列出关于 a1,q 的方程组,解出 a1,q 再利用前 n 项和公式求出 S5. 解:设该等比数列的首项为 a1,公比为 q,由题意知,解得

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∴S5=. 【例 4】 【命题立意】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式的 应用,考查学生的运算求解能力. 解:(1)由题设知公差 d≠0 2 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列,得=a1a9,即(1+2d) =1×(1+8d). 解得 d=1,d=0(舍去 d=0), 故{an}的通项公式为 an=1+(n-1)×1=n. n (2)由(1)知=2 , 2 3 n n+1 故 Sn=2+2 +2 +?+2 ==2 -2. 【例 5】 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式,熟练掌 握数列的基础知识是解答好本类题目的关键. 【思路点拨】(1)由 a3=-6,a6=0 可列方程组解出 a1,d,从而可求出通项公式;(2)求出 b2, 再求出通项公式.代入等比数列的前 n 项和公式即可. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 a3=-6,a6=0, 所以 解得所以 an=-10+(n-1)×2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q, 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即 q=3, n 所以{bn}的前 n 项和为 Sn==4×(1-3 ),

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