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正弦、余弦、正切的二倍角公式


二倍角的 正弦、余弦、正切公式

一、温故知新
( S(?+?) ) sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? 用-?替换 ? ? ( S(?-?) ) sin(?-?)= sin?cos? - cos?sin? ( C(?+?) ) cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin? 用-?替换 ? ? ( C(?-?) ) cos(?-?)= cos?cos?+sin?sin?
tan ? ? tan ? ( T(?+?) ) tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 用-?替换 ? ? tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? ( T(?-?) ) 1 ? tan ? tan ?

问题1:两角和的正弦、余弦、正切公式你还记 得吗?

问题2:如果和角公式中的 ? 换成?公式又变成怎样 呢?

C? 2? ? S? 2? ?
相 除

令? =?

C?? ?? ?
相 除

S?? +? ?

?? 替代?

S?? ?? ?
C?? ?? ?
相 除

T? 2? ?

令? =?

T?? +? ?

?? 替代?

T?? -? ?

得出结论:

sin 2a = 2sin a cos a (S2a ) cos2a = cos a - sin a (C2a )
2 2

2tan a tan 2a = (T2a ) 2 1- tan a
2 ? cos 2 ? ? 2cos ? ?1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? ? ? ? ??? 2 2 2 cos ? 2? ? ? cos ? ? sin ? ? C2? ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2sin ? ? ? ? ? ? 2 2

C? 2? ? 还能变形吗? 问题3:利用我们已知的知识,

公式巩固训练 (1)sin? = 2sin(

)cos( 1 ? ); 22 2 (2)cos 6? = cos ( 3? )-sin ( 3? ) = 2cos2( 3? )-1 = 1-2sin2( 3? ); (3)cos25?-sin25?=cos( 10? ) ;
3? 3? ( 4) sin(3    cos . ? ) ? 2 sin 2 2

5 ? ? 例1 已知 sin 2? ? , <?< ,求 sin 4? , cos 4? , tan 4?的值 13 4 2
<2?<? 解: 由 4 ? ? ? 2 ,得  2 12 2 sin2?= 2sin?cos ? 所以  cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ?

二、例题分析
?

?

?

13 cos2?= 120 sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ? ? 169 cos2?=1-2sin2? 119 2 cos 4? ? 1 ? 2 sin 2? ? 2 cos2?=2cos ?-1 169 sin 4? 120 2 tan ? tan 4? ? ?? tan 2? ? cos 4? 119 1 ? tan 2 ?

cos2?-sin2?

变式练习:已知 tan2? 的值

5 sin ? ? ,求 sin2 13

cos2? 、 ?、

4 例2 在?ABC 中, cos A ? , tan B ? 2, 求 tan ?2 A ? 2 B ?的值. 5 解: 算出tanA,再求tan(A+B),最后求出tan2(A+B)
由于角A是三角形的一个内角,故0<A<π

3 所以 sin A ? 1 ? cos A = 5 sin A 3
2

得 tan A ?

tan A ? tan B 11 从而 tan( A ? B) ? =1 ? tan A tan B 2 2tan( A ? B) 44 于是 tan[2( A ? B)] ? = 2 1 ? tan ( A ? B) 117

cos A 4

=

变式训练2(教材P138习题3.1 A组16题) 5 等腰三角形一个底角的正弦值为 ,求 13 这个三角形的顶角的正弦

三、课堂练习
1.求下列各式的值。(P135页练习第5题)

?1? sin15

0

cos15 ? 2 ? cos
0 0

2

?
8

-sin

2

?
8

?? ? 2.(P135页练习第3题)已知 sin 2? =-sin ? ,? ? ? ,? ? ?2 ? 求 tan ?的值 1 3.(P135页练习第4题) 已知 tan 2? = ,求 tan ?的值。 3

tan 22.5 2 0 4 2cos 22.5 -1 ? 3? 2 0 ? ? 1- tan 22.5

预备练习
? 一? 化简求值 ?1?.(sin
?
12 12 12 12 0 0 0 0 ? 2?.sin10 sin 30 sin 50 sin 70 ? cos

?

)(sin

?

? cos

?

)

?二? 化简
1 ? tan ? ?1? . tan ?

? 2 ? .cos

4

?

2

? sin

4

?
2

四、课堂小结
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导

S? 2? ? sin2? =2sin? cos?

? ?R

C? 2? ? cos 2? = cos 2 ? -sin 2 ?

? 2cos ? ? 1
2

T? 2? ?

2tan ? tan 2? = 2 1- tan ?

=1 ? 2sin ?
2

? ?R

k? ? ? ?? + 且? ? k? + 2 4 2

再 见!


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